Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5303 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Начертательная геометрия

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
5.19 Mб
Скачать
☆

пересечения с горизонтальным следом основания конуса и фронтальные проекции C" и D" этих точек. Искомые проекции точек M(M",M') и N(N",N') пересечения заданной прямой общего положения с поверхностью конуса находятся в местах пересечения с ней построенных образующих.

Аналогичные действия выполнены и для построения проекций M",M' и N",N' точек пересечения прямой общего положения k(k",k') с поверхностью наклонного эллиптического цилиндра (рис. 12.8, д). Для этого использовалось задание плоскости общего положения α(k∩l) также двумя пересекающимися прямыми, одна из которых, как и в предыдущем случае, – это заданная прямая k(k",k'), а пересекающаяся с ней в произвольной точке 1(1",1') вторая прямая линия – это прямая l(l",l'), параллельная образующим цилиндра. Строился горизонтальный след этой плоскости и по точкам пересечения его с горизонтальным следом заданного цилиндра находились образующие, по которым вспомогательная плоскость общего положения α(k∩l) пересекает цилиндр. В местах пересечения с проекциями этих образующих проекций прямой общего положения k(k",k') находятся искомые проекции M",M' и N",N' точек пересечения заданной прямой с поверхностью цилиндра.

КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой ее точке, называют плоскость, в которой можно провести две прямые линии, пересекающиеся в точке касания, касательные к двум пересекающимся в этой же точке линиям, принадлежащим поверхности.

 

 

 

 

n"

 

На чертеже касательную плоскость α(α",α') од-

 

 

 

 

 

 

 

α"

 

 

 

 

 

 

нозначно можно задать проекциями двух пересекаю-

 

 

 

K"

 

щихся прямых m(m",m') и n(n",n'). Эти линии строят

 

 

m"

 

l"

 

 

 

касательно к проекциям двух пересекающихся в точ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ке касания линий, принадлежащих поверхности. На

 

 

 

 

p"

 

рис. 12.4 линия m(m",m') является касательной к ли-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нии окружности l(l",l'), проходящей через точку каса-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния K(K",K') по поверхности цилиндра, а пересекаю-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щаяся с ней в этой точке линия n(n",n') сливается

α'≡m'

 

 

 

 

 

l'

с линией р(р",р') – образующей цилиндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичные действия (рис. 12.8, е, ж, з) выпол-

 

 

 

 

K'≡n'≡p'

 

 

 

 

нены и при построении касательных плоскостей к по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

верхностям прямого кругового конуса, самопересе-

 

 

 

Рис. 12.4

 

кающегося тора и сферы, касающихся этих поверхно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стей в некоторой точке A(A",A'). Пересекающиеся пря-

мые m(m",m') и n(n",n'), задающие касательные плоскости α(α",α') к ним, являются касательными к окружностям, построенным на этих поверхностях вращения и пересекающимся в точке касания A(A",A'). Следует отметить одну особенность при построении прямой n(n",n'), касательной к линии меридионального сечения поверхности самопересекающегося тора (рис. 12.8, ж).

200

Для упрощения построений вначале строят касательную к этой линии, парал-

лельной фронтальной плоскости проекций, определяют на оси вращения тора

точку S, через которую проходят касательные ко всем точкам, расположен-

ным на той же параллели поверхности, что и заданная точка касания A(A",A'),

а затем строят необходимую касательную n(n",n').

 

 

 

 

Эти построения использовались также для определения точки касания

K(K",K') на поверхности самопересекающегося тора в задаче на рис. 12.5,

где необходимо было задать общую касательную плоскость к поверхно-

стям самопересекающегося тора и прямого кругового конуса. Ключом

к решению задачи явилось заключение самопересекающегося тора в кони-

ческую поверхность с тем же углом наклона образующих, что и у заданно-

го конуса (справа). Общая касательная плоскость задана пересекающимися

прямыми, из которых m1(m1",m1'), являющаяся горизонтальным следом

плоскости, построена, как касательная к следам указанных конических по-

верхностей, а прямая

 

 

n

 

 

 

 

m2(m2",m2'), сливает-

 

 

 

m2

 

ся с одной из образу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ющих заданного ко-

 

K

 

 

 

 

 

нуса. Эта образующая

 

 

 

 

 

 

является и геометри-

m1

 

 

 

 

 

 

ческим элементом ка-

 

 

 

 

 

 

сания

построенной

 

 

 

 

 

 

 

плоскости α(m1∩m2)

 

 

 

 

 

 

 

с

поверхностью за-

 

 

 

 

 

 

 

данного конуса. По-

 

 

 

 

 

 

 

верхности самопере-

 

K

 

 

 

 

 

секающегося тора эта

 

 

 

 

 

 

m2

плоскость касается в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точке K(K",K'), кото-

m1

 

 

(m

U

m )

рая найдена благода-

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

ря

вышерассмотрен-

 

 

 

 

 

 

ным построениям и

 

 

 

 

 

 

 

образующей второго

n

(m Um

)

 

 

 

конуса,

охватываю-

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12.5

 

 

 

щего тор.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рассматриваемом чертеже показано также построение нормали

n(n",n'), к поверхности самопересекающегося тора в точке K(K",K'). Усло-

вием для построения нормали является ее перпендикулярность к плоско-

сти, касательной к поверхности в той же точке. Вначале нормаль построе-

на к очерковой образующей тора, затем на ней взята произвольная точка и

выполнен ее поворот вокруг оси тора в положение, в котором она окажется

расположенной в плоскости, перпендикулярной построенной касательной

плоскости (направления указанных перемещений показаны стрелками).

201

 

На рис. 12.6 показано построение точек пересечения P(P",P') и T(T",T')

фронтальной прямой MN(M"N",M'N') с поверхностью ¼ кольцевого тора

и построение касательной плоскости к этой поверхности в одной из постро-

енных точек, например, T(T",T').

 

Точки

P(P",P')

и

 

SK"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T(T",T') найдены благо-

 

 

 

 

 

 

 

даря заключению задан-

 

 

 

 

 

 

 

ной прямой MN во фрон-

 

 

 

 

 

 

z

тальную плоскость α(αH)

 

 

 

 

 

 

N"

и построению проекций

 

 

 

 

 

T"

линии

 

пересечения

по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

To"

точкам 1', 2', 3', … , 7',

 

 

 

 

m"

 

 

крайние

из

которых

1'

 

 

 

 

 

β"

и 7' взяты в местах пе-

 

 

 

 

 

 

 

O"

 

 

 

7"

 

ресечения

горизонталь-

 

 

 

 

 

 

ного очерка плоскостью

 

 

 

 

6"

 

 

 

1"

P"

2"

 

n"

тора, а остальные – про-

 

4"5"

 

 

 

 

 

 

3"

 

 

извольно на горизонталь-

 

 

 

 

 

 

ном следе

αH секущей

x

O'

 

 

 

 

O

 

 

 

 

плоскости. Для дальней-

 

M"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ших построений исполь-

 

 

 

 

 

 

 

зовались горизонтальные

 

 

 

 

 

 

 

сечения поверхности то-

 

M'

 

 

6'

 

αH

ра плоскостями.

 

 

1'

P'

2'

3' 4' 5'

7'

N'

Для задания каса-

 

n'

 

 

 

 

T'

 

тельной

 

плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m'

 

β'

β(m∩n) одна из задаю-

 

 

 

 

 

 

y

щих ее пересекающихся

 

 

 

 

 

 

прямых m(m",m') пост-

 

 

 

 

Рис. 12.6

 

 

роена

как

касательная

 

 

 

 

 

 

 

к линии кольцевого се-

чения поверхности тора в точке T(T",T'), а вторая – как касательная пря-

мая n(n",n') к линии окружности осевого сечения поверхности тора. Для

более точного построения второй прямой была найдена проекция SK" точ-

ки на оси вращения тора, в которой сходятся все касательные прямые к по-

верхности тора во всех точках, находящихся на той же параллели, что

и точка T(T",T').

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структуризация материала двенадцатой лекции в рассмотренном объ-

еме схематически представлена на рис. 12.7 (лист 1). На последующем ли-

сте 2 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального за-

крепления изученного материала при повторении (рис. 12.8).

 

 

202

Пересечение линии с поверхностью.

Касательные плоскости и нормаль к поверхности

Ðèñ. 12.8, à, á, â

Ðèñ. 12.6, 12.8, å, æ, ç

Ðèñ. 12.8, ã, ä

Касательная плоскость к кривой поверхности в некоторой точке - это

плоскость, в которой лежат все касательные прямые ко всем кривым, кото-

Касательная плоскость к кривой поверхности в некоторой точке –

рые можно провести на поверхности через туже точку.

это плоскость, в которой лежат все касательные прямые ко всем кривым,

Нормалью к поверхности в данной точке называется прямая, перпенди-

которые можно провести на поверхности через ту же точку.

кулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Нормалью к поверхности в данной точке называется прямая,

перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку

касания.

Ëèñò 1

Рис. 12.7

203

 

 

 

 

A"

B"

 

12.1. Пересечение прямой с поверхностью

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

C"

 

 

 

 

 

S"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l"

 

 

 

2"N"

 

 

 

 

2"(N")

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M"

 

N"

 

 

 

 

 

3"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m"

 

 

n"

 

M"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3"

 

 

1"

C"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1'

 

 

A'

 

C'

 

 

A'

2'

 

 

1'

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3'

m'

 

 

 

N'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N'

 

 

 

M'

S'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M'

 

 

 

n'

3'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l'

H

 

 

 

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M'

 

N'

 

 

 

 

 

2'

 

 

 

V

 

 

 

 

 

C'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. à12.1

 

 

 

 

 

Рис. 12á.2

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисâ.

12.3

 

 

 

 

 

 

S"

 

 

"

вспомогательная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1"

а

 

 

 

K"

1"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскость

 

 

 

 

 

 

 

M"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(N")

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ана

 

 

ан

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3"

V0

д

 

 

 

 

 

 

 

3"

 

 

 

 

 

 

 

V0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C"

 

 

D"

 

 

 

 

 

 

 

 

2"

 

 

 

 

 

 

 

 

2"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л'n'(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3'

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л'п'

 

 

 

 

S'

 

 

а'

 

 

 

 

 

 

 

 

l'

 

 

 

 

 

 

N'

 

 

 

дана

 

M'

 

 

1"

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'n

 

 

1'

 

 

 

 

 

 

 

 

2'

 

 

 

 

 

N'

 

b'

 

 

 

 

 

 

л

 

2'

 

M'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'

 

 

3'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D'

 

 

 

 

 

 

 

 

на

k'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

да

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(аU b) - проходит через вершину конуса

 

 

 

 

 

 

 

(k U l)

- параллельна образующим цилиндра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12ã.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12ä.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.2.

Касательные плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sкас. окр.

 

 

 

 

 

 

 

 

m"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

R

о

n"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

m"

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

n"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n"

образующая

 

 

 

n"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

р

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S"

 

 

m'

 

 

 

о

 

 

 

Sкас.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'

 

 

 

 

к

A'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р.

n'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n'

 

(m U n) - касательная плоскость

(m U n) - касательная плоскость

(m U n) - касательная плоскость

 

 

 

 

å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ëèñò 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

204

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекция 13

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ Метрические задачи

Определение натуральных величин геометриче - ских элементов

1.Определить натуральную величину отрезка общего положения:

способом прямоугольного треугольника;

способом замены плоскостей проекций преобразовать в прямую

уровня;

способом вращения вокруг проецирующей оси преобразовать в прямую уровня.

2.Определить натуральную величину плоскости общего положения (замкнутого отсека):

способом замены плоскостей проекций преобразовать в плоскость

уровня;

способом вращения вокруг линии уровня преобразовать в плоскость уровня;

способом плоскопараллельного перемещения преобразовать в плоскость уровня.

Определение расстояния между геометрически - ми элементами ( образами )

1.Определить расстояние от точки до прямой общего положения:

способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования; прямую и точку рассматривать как плоскость);

способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования);

способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;

способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;

способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип

задач), построить через заданную точку плоскость, перпендикулярную

кпрямой, и определить точку пересечения последней с плоскостью.

2.Определить расстояние между параллельными прямыми:

способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования);

способом замены плоскостей проекций преобразовать две параллельные общего положения в проецирующие прямые (задачи 1 и 2 преобразования);

205

способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня, ограничив ее замкнутым отсеком;

способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня;

способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить плоскость через любую точку, принадлежащую одной из прямых, перпендикулярную ко второй прямой, и определить точку пересечения этой плоскости со второй прямой.

3.Определить расстояние между скрещивающимися прямыми, преобразовав одну из прямых в проецирующую (задачи 1 и 2 преобразования).

4.Определить расстояние от точки до плоскости:

по теме «Перпендикулярность» – провести перпендикуляр к плоскости, построить точку пересечения этого перпендикуляра с заданной плоскостью и найти любым способом натуральную величину построенного отрезка (см. пункт 1);

способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость общего положения в плоскость проецирующую.

5.Определить расстояние от точки до поверхности вращения:

способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня (задача 4 преобразования);

способом вращения вокруг проецирующей оси повернуть плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня.

Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V

1.Определить углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций H и V:

способом прямоугольного треугольника построить на двух проекциях натуральные величины отрезка и определить углы наклона прямой;

способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в горизонтальную, а затем во фронтальную прямую (задача 1 преобразования);

способом вращения вокруг соответствующей проецирующей оси преобразовать прямую общего положения в горизонтальную и во фронтальную прямые.

2.Определить угол наклона прямой к заданной плоскости общего положения:

из любой точки прямой опустить перпендикуляр к плоскости;

способом вращения вокруг линии уровня преобразовать построенную плоскость, заданную прямой и перпендикуляром, в плоскость уровня;

искомый угол будет дополнять построенный угол до 90º.

206

3. Определить величину двухгранного угла, если на чертеже есть линии пересечения плоскостей, образующих двухгранный угол (ребро):

способом замены плоскостей проекций преобразовать ребро двухгранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования).

4.Определить угол между двумя плоскостями общего положения, если на чертеже нет линии пересечения заданных плоскостей (ребра):

задача решается косвенным путем, для чего из любой точки пространства следует опустить перпендикуляры к заданным плоскостям, которые, в свою очередь, задают вспомогательную плоскость, перпендикулярную к этим плоскостям;

эту вспомогательную плоскость способом вращения вокруг линии уровня следует преобразовать в плоскость уровня, определив угол между перпендикулярами (преобразование вспомогательной плоскости в плоскость уровня возможно и другими способами – ее плоскопараллельным перемещением или заменой плоскостей проекций);

искомый угол будет дополнять построенный угол до 180° (углом между плоскостями считают угол острый).

Структуризация материала тринадцатой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 13.1 (лист 1). На последующих листах 2–7 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального повторения изученного материала при его повторении (рис. 13.2–13.7).

207

Метрические задачи

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, à, á, â

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, à, á

 

Ðèñ. 13.3, à

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, à

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, ã

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, ã

 

Ðèñ. 13.2, á

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, å

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, æ

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, â

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, æ

 

Ðèñ. 13.3, à

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 13.5, ã, ä

 

Ðèñ. 13.3, á

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 13.6, à

 

Ðèñ. 13.3, â

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, ã

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 13.6, á, â

 

Ðèñ. 13.2, ä

 

 

 

 

Ðèñ. 13.4, á, â

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, å

 

Ðèñ. 13.7, à, á

 

 

 

 

 

Ðèñ. 13.4, á, â

 

 

 

 

Ðèñ. 13.4, á, â

 

 

 

 

Ðèñ. 13.2, æ

 

Ðèñ. 13.7, â

 

Ðèñ. 13.5, à, á, â

способом замены плоско-

 

 

 

 

стей проекций - зад. 3

 

Ðèñ. 13.5, ã, ä

Т

13

Л

1

Рис. 13.1

 

 

Ëèñò 1

 

 

 

 

208

 

 

 

 

 

 

13.1. Определение натуральной величины геометрических элементов

 

 

 

 

1.

Определение длины отрезка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способ прямоуголь-

Способ замены плоскостей

 

 

 

Способ вращения вокруг

ного треугольника

проекций (задача 1)

 

 

 

проецирующей оси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X H

 

y

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нат.

вел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

1

1

 

 

 

Нат. вел. AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B0"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нат. вел.

 

 

z

 

 

V

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

B1'

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B0"

 

 

A0"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

B"

 

X V

 

 

 

 

 

B"

 

 

 

 

 

 

B"

i "

// H(// x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'

 

H

 

 

 

 

 

B'

1

 

 

 

 

 

 

B'

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

yA

 

 

 

 

H X

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'0

A'

 

H

 

 

 

 

A'

 

 

 

B1"

 

 

 

A'

i '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нат.

вел.

 

 

 

 

 

 

H

A1B1//V1

 

 

 

 

//

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

Нат. вел.

 

 

 

(гипотенуза)

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нат.

вел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(гипотенуза)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. à13.1

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13á .2

 

 

 

 

 

 

Рисâ.

13.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Определение площади замкнутого отсека

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способ замены плоскостей проекций (задачи 3 и 4)

 

Способ вращения вокруг прямой

 

 

A"

 

 

 

C"

 

 

 

 

 

 

 

 

уровня (горизонтали)

 

 

 

 

h"

1"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1"

OB"

 

 

 

 

 

 

 

B"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X H

 

h'

 

1'

B'

B1"

 

 

B1'

 

Нат.вел.

 

 

 

 

x

 

A

 

B"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h'

 

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

С'

 

 

 

 

 

A1'

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1'

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'

 

 

 

 

 

 

 

 

C1"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O'B

 

С'

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

задача 4

 

 

 

Нат.вел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

задача 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC'B

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

H1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13.4

v

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ä

 

 

 

 

 

Способ вращения вокруг

 

 

 

 

 

 

Способ плоско-параллельного

 

 

 

 

проецирующей оси i(iV)

 

 

 

 

 

 

перемещения (переноса)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A"

C"

 

A1"

 

 

 

 

 

 

 

A"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h"

1"

 

C1"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

B2"

 

C2"

A2"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ABC)V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

B"

 

 

 

 

 

B1"

 

 

 

 

 

B"

 

B0"

 

 

 

 

 

 

h

B'

 

 

A'1

 

 

 

 

 

 

A'2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C"

i

// H( //x)

A

"

 

 

 

'

1'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нат.

 

 

 

 

 

A'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нат.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B '

вел.

 

 

 

 

 

 

 

C'

 

h'

 

 

 

 

 

 

 

 

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

B'2

 

 

вел.

A'

 

 

 

 

 

 

A0'

 

 

 

 

h

 

V

 

 

B'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'1

 

 

 

 

C'2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 13.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ëèñò 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

209
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности