Начертательная геометрия

–аксонометрическая проекция отрезка прямой также является прямой;

–если отрезки прямых параллельны на предмете, они также параллельны на его аксонометрической проекции;

–аксонометрической проекцией окружности на аксонометрии в общем случае является эллипс.

162

На рис. 10.1 показана схема проецирования точки А, построенной на чертеже в системе натуральных прямоугольных координат Оxyz и отнесенную к этим же координатам, на некоторую плоскость аксонометрических проекций α по направлению проецирования S.

Положение точки А определяется в этой системе пространственной координатной ломаной O-Ax-A'-A, отрезки которой соответствуют координатам x, y и z точки А. На взятой произвольно плоскости аксонометрических проекций α получены три прямые xα, yα и zα, выходящие из одной точки Oα, которые называются аксонометрическими осями и являются проекциями пространственных координатных осей x, y и z, к которым отнесена точка А. Полученные углы между аксонометрическими осями зависят от положения аксонометрической плоскости и угла проецирования к этой плоскости. На аксонометрии положение точки Аα определяет плоская координатная ломаная Оα-Аxα-Ao'-Aα, отрезки которой соответствуют аксонометрическим координатам xα, yα и zα аксонометрической проекции точки А(Аα).

Поскольку направление проецирования S не параллельно ни одной из осей системы прямоугольных пространственных координат, то истинные размеры отрезков пространственной координатной ломаной О-Аx-A'-A на аксонометрической проекции искажаются и, следовательно, искажаются размеры любого предмета на его аксонометрическом изображении.

Для определения степени искажения размеров предмета на аксонометрических проекциях введено понятие коэффициентов искажения по аксонометрическим осям.

Если на осях x, y и z системы натуральных прямоугольных координат отложить от точки О равные масштабные отрезки ex = ey = ez, то в системе аксонометрических координатных осей получаются искаженные проекции этих отрезков еxα, еy α и ezα.

Отношения аксонометрических проекций масштабных отрезков к натуральным величинам масштабных отрезков и называются коэффициента-

Расчетные коэффициенты искажения имеют дробные значения, неудобные для выполнения аксонометрических построений (0,82; 0,47 и т. д.).

Для построения на чертежах аксонометрических проекций пользуются так называемыми приведенными коэффициентами искажения, округленными до 1 или 0,5.

Математические (тригонометрические) расчеты величин коэффициентов искажения, углов между аксонометрическими осями, расположение и размеры больших и малых осей эллипсов здесь не рассматриваются (подробнее об этом см. в [12]).

163

С т а н д а р т н ы е а к с о н о м е т р и и ГОСТ 2.317–2011 – «Аксонометрические проекции».

Математические (тригонометрические) расчеты величин коэффициентов искажения, углов между аксонометрическими осями, расположение и размеры больших и малых осей эллипсов здесь, как указывалось, не рассматриваются (подробнее об этом см. в [12]).

Встандарте даны пять видов аксонометрических проекций:

1.Прямоугольная изометрия.

2.Прямоугольная диметрия.

3.Косоугольная фронтальная диметрия.

4.Косоугольная фронтальная изометрия.

5.Косоугольная горизонтальная изометрия.

Вкурсе начертательной геометрии рассматриваются первых три вида аксонометрических проекций.

Окружности на проекциях предметов проецируются на аксонометрическое изображение предмета в виде эллипсов. Различные графические способы построения четырехцентровых овалов, которыми заменяют эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, параллельных плоскостям проекций V, H и W, рассматриваются в учебниках по черчению и инженерной графике. Эллипсы, окружности которых лежат в плоскостях, непараллельных плоскостям проекций, строятся на аксонометриях в основном по точкам, принадлежащих этим окружностям.

П р я м о у г о л ь н а я и з о м е т р и я В прямоугольной изометрии аксонометрические оси расположены под

равными углами друг к другу (120 ).

Для прямоугольных аксонометрий получена расчетная формула по коэффициентам искажения:

K X2 K Y2 K Z2 2 ,

т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна двум [12].

В прямоугольной изометрии коэффициенты искажения равны и по приведенной формуле получается, что Kx = Ky = Kz = 0,82. Для построения прямоугольной изометрии пользуются п р и в е д е н н ы м и коэффициентами искажения, округленными до единицы, то есть Кx = Ky = Kz = 1.

Аксонометрическая плоскость прямоугольной изометрии равнонаклонена ко всем трем плоскостям проекций H, V и W и пересекает эти плоскости проекций по равностороннему треугольнику, который называют треугольником следов. Следовательно, аксонометрические оси прямоугольной изометрии являются высотами, биссектрисами и медианами этого треугольника, а точка Оα их пересечения является точкой начала аксонометрических координат. Как известно из геометрии, углы между высотами равностороннего треугольника равны 120 градусам и соответственно углы между аксонометрическими осями также равны 120°.

165

На рис. 10.3 показано расположение аксонометрических осей в прямоугольной изометрии (ось «z» всегда располагается вертикально), размеры и расположение больших и малых осей эллипсов и их построение одним из известных способов.

Большие оси АВ всех трех эллипсов равны 1,22d, где d – диаметр окружности, а малые оси EF эллипсов равны 0,71d.

Ориентация больших и малых осей эллипсов относительно аксонометрических осей:

–эллипс 1 : аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций V: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси y, а малая ось совпадает с осью y;

–эллипс 2 : аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций H: большая ось эллипса перпендикулярна аксонометрической оси z, а малая ось совпадает с осью z;

–провести две концентрические окружности, диаметры которых равны размерам большой и малой оси эллипса с центром в точке O2;

–из двух центров в точках 1, лежащих на окружности большой оси, провести две большие дуги радиусами R = 1Е и R = 1F;

–из точек 1 провести прямые n через точки 2, лежащие на окружности малой оси;

–на пересечении проведенных дуг и прямых n получить точки 3, которые определяют окончание больших дуг;

166

167

–малая ось эллипса 1 равна 0,95d;

–малые оси эллипсов 2 и 3 равны 0,35d.

Ориентация больших и малых осей эллипсов относительно аксонометрических осей:

–эллипс 1 : аксонометрическая проекция окружности, лежащей на проекциях предмета в плоскости, параллельной плоскости проекций V: большая ось эллипса перпендикулярна оси y, а малая ось эллипса совпадает с осью y;

–эллип с2 : проекция окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости проекций H: большая ось эллипса перпендикулярна оси z,

амалая ось совпадает с осью z;

–эллипс 3 : проекция окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости проекций W: большая ось эллипса перпендикулярна оси x,

амалая ось совпадает с осью x.

Графические действия для построения овала 1 с центром в точке О1:

–отложить на прямой, перпендикулярной оси y, отрезок AB, равный размеру большой оси эллипса Do = 1,06d;

–отложить на оси y отрезок EF, равный размеру малой оси эллипса

do = 0,95d;

–из точки О1 провести окружность d1=0,2d, которая пересечет малую ось эллипса в точках 1 и 1o, а большую ось в точках 2 и 2o;

–из полученных точек 1 и 1o провести дуги радиусами R от точки 1 до точки F и от точки 1o до точки E; из точек 2 и 2o провести дуги радиусами r от точки 2o до точки A и от точки 2 до точки B;

–дуги проводить до точек сопряжения 3 (построение показано). Графические действия для построения овала 2 с центром в точке О2:

–отложить на горизонтальной прямой, перпендикулярной оси Z, отрезок AB, равный размеру большой оси эллипса 1,06d;

–отложить на продолжении оси Z отрезок EF, равный размеру малой оси 0,35d;

–отложить на оси y отрезок EF, равный размеру малой оси эллипса

do=0,95d;

–построить точки 1, отложив от точки О2 вверх и вниз по оси Z отрезки О2-1, равные большой оси эллипса Do = 1,06d;

–построить точки 2 на большой оси, отложив от точек А и В отрезки А-2 и В-2, равные 1/4 малой оси эллипса do;

– из полученных точек 1 провести две большие дуги радиусом R = Do + 1/2do, а из точек 2 провести две малые дуги радиусом r = 1/4do;

– дуги проводить до точек сопряжения "3" (построение показано). Построение овала 3 выполняется аналогично (большая ось АВ x).

К о с о у г о л ь н а я ( ф р о н т а л ь н а я ) д и м е т р и я В качестве аксонометрической плоскости проекций здесь взята плос-

кость, параллельная плоскости проекций V. Поэтому на аксонометрии со-

168

храняется угол 90º между аксонометрическими осями x и z, а ось y располагают под углом 45о к горизонтальной прямой.

Приведенные коэффициенты искажения по аксонометрическим осям: по осям x и z: Kx = Kz = 1, а по оси y: Ky = 0,5.

–эллипс 2: большая ось AB расположена под углом 7о14' к горизонтальной линии и наклонена в сторону аксонометрической оси y; малая ось EF перпендикулярна большой оси эллипса;

–эллипс 3: большая ось AB расположена под углом 7о14' к вертикальной линии и наклонена в сторону аксонометрической оси y; малая ось EF перпендикулярна большой оси эллипса.

Графическое построение двух одинаковых овалов 2 и 3, заменяющих эллипсы на чертежах, аналогичны построениям овалов для прямоугольной диметрии.

П р и м е р ы п о с т р о е н и я а к с о н о м е т р и ч е с к и х п р о - е к ц и й

На рис. 10.6 показан пример построения аксонометрической проекции правильной треугольной пирамиды со срезом фронтально-проецирующей плоскостью β(βV) в прямоугольной диметрии.

169