Кафедра «Торговое и рекламное оборудование» БНТУ 2012
Задача 3.7. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср = 0,32·10-6 1/ч.
Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 ч.
Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (3.11) будет:
λс = λср·n = 0,32·10-6·12600 = 4,032·10-3 1/ч.
Тогда на основании формулы (3.13):
Рc(t) = е-λct,
или
Рc(50) = е-4,032·0,001·50 = 0,82.
3.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.8. Аппаратура состоит из 2000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср = А·10-5 ·1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течении t = Т ч и среднее время безотказной работы аппаратуры. Данные для расчетов взять из таблицы 3.1.
Таблица 3.1
Данные для расчета
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Т, ч |
300 |
280 |
580 |
610 |
220 |
540 |
730 |
680 |
640 |
730 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
0,33 |
0,34 |
0,35 |
0,4 |
0,3 |
0,36 |
0,33 |
0,34 |
0,35 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Т, ч |
210 |
610 |
180 |
540 |
230 |
680 |
640 |
730 |
580 |
610 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
0,3 |
0,36 |
0,33 |
0,34 |
0,35 |
0,4 |
0,3 |
0,36 |
0,33 |
0,34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.9. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная демонстрационная машина состоит из 200000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср.= А·10-6·1/ч. Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течении t = Т ч и среднее время безотказной работы электронной машины. Данные для расчетов взять из таблицы 3.2.
Задача 3.10. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср. = А·10-6 ·1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течении t = Т час и среднее время безотказной работы. Данные для расчетов взять из таблицы 3.2.
29
Кафедра «Торговое и рекламное оборудование» БНТУ 2012
Таблица 3.2
Данные для расчета
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Т, ч |
30 |
28 |
58 |
61 |
22 |
54 |
73 |
68 |
64 |
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
0,33 |
0,34 |
0,35 |
0,4 |
0,3 |
0,36 |
0,33 |
0,34 |
0,35 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Т, ч |
21 |
61 |
18 |
54 |
23 |
68 |
64 |
73 |
58 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
0,3 |
0,36 |
0,33 |
0,34 |
0,35 |
0,4 |
0,3 |
0,36 |
0,33 |
0,34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.11. Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t , которая равна: P1(t) = P1; P2(t) = P2; P3(t) = P3; P4(t) = P4; P5(t) = P5. Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора. Данные для расчета взять из таблицы 3.3.
|
|
|
|
|
Таблица 3.3 |
|
|
|
Данные для расчета |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
№ |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
|
по списку |
||||||
|
|
|
|
|
||
1. |
0,99 |
0,994 |
0,97 |
0,971 |
0,985 |
|
2. |
0,98 |
0,971 |
0,985 |
0,982 |
0,99 |
|
3. |
0,998 |
0,982 |
0,994 |
0,99 |
0,971 |
|
4. |
0,975 |
0,99 |
0,971 |
0,97 |
0,98 |
|
5. |
0,985 |
0,97 |
0,98 |
0,985 |
0,97 |
|
6. |
0,994 |
0,985 |
0,998 |
0,994 |
0,985 |
|
7. |
0,971 |
0,994 |
0,97 |
0,971 |
0,994 |
|
8. |
0,982 |
0,971 |
0,985 |
0,98 |
0,971 |
|
9. |
0,99 |
0,98 |
0,99 |
0,971 |
0,98 |
|
10. |
0,97 |
0,998 |
0,971 |
0,982 |
0,998 |
|
11. |
0,985 |
0,97 |
0,98 |
0,99 |
0,97 |
|
12. |
0,994 |
0,985 |
0,97 |
0,97 |
0,985 |
|
13. |
0,971 |
0,99 |
0,985 |
0,985 |
0,99 |
|
14. |
0,98 |
0,971 |
0,994 |
0,994 |
0,985 |
|
15. |
0,998 |
0,98 |
0,971 |
0,971 |
0,99 |
|
16. |
0,97 |
0,994 |
0,98 |
0,98 |
0,971 |
|
17. |
0,985 |
0,971 |
0,998 |
0,971 |
0,98 |
|
18. |
0,99 |
0,982 |
0,97 |
0,982 |
0,97 |
|
19. |
0,971 |
0,99 |
0,985 |
0,99 |
0,985 |
|
20. |
0,98 |
0,97 |
0,99 |
0,97 |
0,994 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
Кафедра «Торговое и рекламное оборудование» |
БНТУ 2012 |
Задача 3.12. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно: mt1; mt2; mt3; mt4; mt5. Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы. Данные для расчета взять из таблицы 3.4.
Задача 3.13. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 ч равна: : P1(t) = P1; P2(t) = P2; P3(t) = P3; P4(t) = P4; P5(t) = P5. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора. Данные для расчета взять из таблицы 3.3.
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.4 |
|
|
|
Данные для расчета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
mt1 |
mt2 |
|
mt3 |
mt4 |
mt5 |
по списку |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5.1. |
83 |
700 |
|
500 |
400 |
220 |
5.2. |
220 |
500 |
|
120 |
700 |
280 |
5.3. |
280 |
120 |
|
96 |
500 |
400 |
5.4. |
400 |
96 |
|
200 |
120 |
700 |
5.5. |
700 |
200 |
|
72 |
96 |
500 |
5.6. |
500 |
72 |
|
340 |
200 |
120 |
5.7. |
120 |
340 |
|
300 |
72 |
96 |
5.8. |
96 |
300 |
|
280 |
340 |
200 |
5.9. |
200 |
280 |
|
83 |
300 |
72 |
5.10. |
72 |
83 |
|
220 |
280 |
340 |
5.11. |
340 |
220 |
|
280 |
83 |
300 |
5.12. |
300 |
280 |
|
400 |
220 |
280 |
5.13. |
280 |
400 |
|
700 |
280 |
83 |
5.14. |
83 |
700 |
|
500 |
400 |
220 |
5.15. |
220 |
500 |
|
120 |
700 |
280 |
5.16. |
280 |
120 |
|
700 |
500 |
400 |
5.17. |
400 |
700 |
|
500 |
120 |
700 |
5.18. |
700 |
500 |
|
120 |
400 |
500 |
5.19. |
500 |
120 |
|
96 |
700 |
120 |
5.20. |
120 |
96 |
|
500 |
500 |
220 |
31
Кафедра «Торговое и рекламное оборудование» |
БНТУ 2012 |
3.4.Расчет надежности системы
спостоянным резервированием
Теоретические сведения. При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.... соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается (рис .3.1).
Рис 3.1. Постоянное резервирование
Вероятность отказа системы qc(t) определяется формулой:
m
q c (t ) = ∏ q j (t ) ,
j = 0
где qj(t) – вероятность отказа j – го элемента. Вероятность безотказной работы системы:
m
Pc (t ) = 1 − ∏ [1 − PJ (t )],
j = 0
где Рj(t) – вероятность безотказной работы j – го элемента.
Если Рj(t) = Р(t), j = 0, 1, . . . , m , то:
m +1 |
|
|
|
q c (t ) = q (t ); |
|||
|
|||
|
m +1 |
. |
|
Pc (t ) = 1 − [1 − P (t )] |
|
||
|
|||
3.4.1
3.19
3.4.2
3.20
3.4.3
3.21
При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем:
32
Кафедра «Торговое и рекламное оборудование»
PJ (t) = P(t) = e −λt ; |
|
|||||
q c (t) = (1 − e − λt )m + 1 ; |
|
|||||
|
||||||
Pc (t) = 1 − (1 − e − λt )m + 1 |
|
|||||
; . |
||||||
|
1 |
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
m tc = |
∑ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
+ i |
||||
|
λ i = 0 1 |
|
||||
БНТУ 2012
3.4.4
3.22
Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m.
Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).
Запишем вероятность безотказной работы j – ой цепи:
|
n |
|
3.4.5 |
|
Pj |
(t) = ∏Pij |
(t); j = 0,1,..., m, |
||
3.23 |
||||
|
i =1 |
|
||
|
|
|
где Рij(t), j = 0,1,2,...m; i = 1,2,3,...,n – вероятность безотказной работы элемента
Эij.
Вероятность отказа j – ой цепи:
n
q j (t) =1−∏Pij (t) .
i=1
Вероятность отказа системы с общим резервированием:
m |
|
n |
|
qc (t) = ∏ 1 |
−∏PIJ |
(t) . |
|
j=0 |
|
i=1 |
|
3.4.6
3.24
3.4.7
3.25
Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием:
m |
|
n |
|
3.4.8 |
Pc (t) =1−∏ 1 |
−∏PIJ |
(t) . |
3.26 |
|
j =0 |
|
i =1 |
|
|
Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность,
т.е.:
Рij(t) = Pi(t). |
3.4.9 |
|
3.27 |
||
|
||
Тогда: |
|
|
33 |
|
Кафедра «Торговое и рекламное оборудование» |
БНТУ 2012 |
q (t) = 1-∏n P(t) m+1
c i ;
i=1
pc |
|
n |
m+1 |
(t) =1- 1-∏pi |
(t) . |
||
|
|
i=1 |
|
Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.:
Pi(t) = e-λit;
qc(t) = (1-e-λ0t)m+1;
Pc(t) = 1 – (1 – e -λ0t)m+1;
n
λ0 = ∑ λ1 .
i=1
где λ0 – интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.
Частота отказов системы с общим резервированием:
3.4.10
3.28
3.4.11
3.29
3.4.12
3.30
3.4.13
3.31
3.4.14
3.32
3.4.15
3.33
fc |
(t) = - |
dpc (t) |
|
= λ0 ×(m +1)e−λ0t × (1 - e−λ0t )m . |
3.4.16 |
||||
dt |
3.34 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Интенсивность отказов системы с общим резервированием; |
|
||||||||
λ |
(t) = fc (t) = λ0 ×(m +1)e−λ0t ×(1- e−λ0t )m |
. |
3.4.17 |
||||||
c |
|
pc (t) |
|
|
1- (1- e−λ0t )m+1 |
3.35 |
|||
Среднее время безотказной работы резервированной системы:
m |
1 |
3.4.18 |
|
m tc = T 0 ∑ |
|||
1 + j |
3.36 |
||
j = 0 |
где Т0 = 1/λ0 – среднее время безотказной работы нерезервированной системы.
34
Кафедра «Торговое и рекламное оборудование» |
БНТУ 2012 |
3.5.Примеры расчета надежности системы
спостоянным резервированием
Задача 3.14. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента mt = 1000 ч. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы mtc, а также частоту отказов fc(t) и интенсивность отказов λс(t) в момент времени t = 50 ч в следующих случаях:
а) нерезервированной системы, б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.
Решение:
а)
n
λc = ∑ λi ,
i=1
где λс – интенсивность отказов системы;
λi – интенсивность отказов i – го элемента ; n = 10.
λi = 1/mti = 1/1000 = 0,001; i = 1,2, . . .,n; λ = λi; λc = λ·n = 0,001·10 = 0,01 1/ч;
mtc = 1/λc = 100 ч;
fc(t) = λc(t) Pc(t); λc(50) = λc; Pc(t) = e-λct; fc(50) = λce-λct = 0,01·e-0,01·50 = 6·10-3 1/ч.
б)
|
|
|
1 |
m |
|
|
1 |
|
|
|
||
m tc |
= |
∑ |
|
|
|
|
; m = 1 ; |
|||||
|
λc |
1 + |
j |
|||||||||
|
|
|
j = 0 |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
mtc |
= |
|
|
|
1 + |
|
|
|
= 150 ч ; |
|||
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
0,01 |
|
|
|
|
||||||
pc (t ) = 1 − (1 − e −λ0 t ) m +1 ;
λ0 = λc = 0.01 1/ч ;
p =1−(1−e−λ0t )2 = 2e−λ0t −e−2λ0t |
; |
|||
c |
|
|
|
|
fc |
(t) = - |
dpc (t) |
= 2λ0 e−λ0t ×(1 - e−λ0t ); |
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
35
Кафедра «Торговое и рекламное оборудование» БНТУ 2012
λc |
(t ) = - |
f |
c |
(t ) |
= |
2λ |
0 |
(1 - e−λ0 t ) |
|||
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
pc (t ) |
|
2 - e |
−λ0 t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
fc(50 )≈ 4,8·10-3 1/ч ; |
λc(50) = 5,7·10-3 1/ч. |
||||||||||
Задача 3.15. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Рс(t) = 0,9 при t = 10 ч, необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.
Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна:
Pc(t) = 1 – (1 – e-λnt)2 или Pc(t) = 1 – [1 – Pn(t)]2,
где P(t) = e-λt . Здесь Р(t) – вероятность безотказной работы одного элемента. Так как должно быть:
1 – [1 – Pn(t)]2 ≥ 0,9, то
( )1/ n
p(t) ³ 1-
0,1 .
Разложив (1-
0,1)1/ n по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим:
(1- |
|
)1/5000 »1- |
1 |
|
|
=1-6,32×10−5 . |
|
0,1 |
0,1 |
||||||
|
|
||||||
5000 |
|
|
|||||
Учитывая, что P(t) = ехр (– λt) ≈ 1 – λt , получим: 1 – λt ≥ 1 – 6,32·10-5.
λ ≤ (6,32·10-5)/t = (6,32·10-5)/10 = 6,32·10-6 1/ч.
36