Модели данных и системы управления базами данных

2 Ìолчинà Ë.È. ÝÓÌÊ Ìодели дàнных и системы упрàвления бàзàми дàнных

СОДЕРЖАНИЕ

© 2011 Ìолчинà Ë.È.

© 2011 Ìолчинà Ë.È.

3

4 Ìолчинà Ë.È. ÝÓÌÊ Ìодели дàнных и системы упрàвления бàзàми дàнных

1Òеоретический рàздел

 теоретическом рàзделе предстàвлены:

∙мàтериàлы к лекционному курсу;

∙мультимедийные презентàции;

∙электронные обрàзовàтельные ресурсы по дисциплине.

Ðàзделы "Òеория множеств", "Ìàтемàтическàя логикà", "Ðеляционнàя àлгебрà" рàзрàботàны кàндидàтом технических нàук, доцентом ×ичко Î.È.

1.1Ìàтериàлы к лекционному курсу

Ìàтериàлы к лекционному курсу

1.1.1Ýлементы теории множеств

×еловеческое мышление устроено тàк, что мир предстàвляется состоящим из отдельных “объектов”, хотя философàм дàвно ясно, что мир – единое нерàзрывное целое, и выделение в нем объектов – это не более чем произвольный àкт нàшего мышления, позволяющий сформировàть доступную для рàционàльного àнàлизà кàртину мирà. Íо кàк бы тàм ни было, выделение объектов и их совокупностей – естественный (или дàже единственно возможный) способ оргàнизàции нàшего мышления, поэтому неудивительно, что он лежит в основе глàвного инструментà описàния точного знàния

– мàтемàтики.

1.1.1.1Òеория множеств.

Ïлàн

1.Ïонятие множествà.

2.Çàдàние множеств.

3.Îперàции нàд множествàми

4.Ñвойствà оперàций нàд множествàми.

5.Óпорядоченные пàры.

6.Ïрямое произведение множеств.

7.Îтношения и их свойствà.

8.Ôункции и их свойствà .

1.Ìножествà.

Ïонятия “множествà”, “отношения”, “функции” и близкие к ним состàвляют основной словàрь дискретной (рàвно кàк и клàссической “непрерывной”) мàтемàтики. Èменно эти бàзовые понятия будем рàссмàтривàть, зàклàдывàя необходимую основу для дàльнейшего изучения предметà. Ïричем, будем рàссмàтривàются только конечные

множествà Ìожно скàзàть, что множество – это любàя определеннàя совокупность

© 2011 Ìолчинà Ë.È.

объектов. Îбъекты, из которых состàвлено множество, нàзывàются его элементàми.

Ýлементы множествà рàзличны и отличимы друг от другà.

Ïримеры.

Ìножество S стрàниц в книге.

Ìножество N нàтурàльных чисел 1, 2, 3, ...

Ìножество Ð простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, ...

Ìножество Z целых чисел: ... , -2, -1, Î, 1, 2, ...

Ìножество R вещественных чисел.

Åсли объект х является элементом множествà Ì, то говорят, что х принàдлежит Ì. Îбознàчение: х ° Ì. Â противном случàе говорят, что х не принàдлежит Ì.

Îбознàчение: х Ì.

ЗАМЕЧАНИЕ –––––––––––––––

Îбычно множествà обознàчàют прописными буквàми лàтинского àлфàвитà, à элементы множеств – строчными буквàми.

ОТСТУПЛЕНИЕ –––––––––––––

Ïонятия множествà, элементà и принàдлежности, которые нà первый взгляд предстàвляются интуитивно ясными, при ближàйшем рàссмотрении тàкую ясность утрàчивàют. Âо-первых, проблемàтичнà отличимость элементов. Íàпример, символы à

и a, которые встречàются– это один элемент множествà À или двà рàзных элементà? Âо-вторых, проблемàтичнà возможность (без дополнительных усилий) укàзàть, принàдлежит ли дàнный элемент дàнному множеству. Íàпример, является ли число 86958476921537485067857467 простым?

Ìножествà, кàк объекты, могут быть элементàми других множеств. Ìножество, элементàми которого являются множествà, обычно нàзывàется клàссом или

семейством.

ЗАМЕЧАНИЕ ––––––––––––––––––

Ñемействà множеств обычно обознàчàют прописными “рукописными” буквàми лàтинского àлфàвитà, чтобы отличить их от множеств, не содержàщих множеств в кàчестве элементов.

Ìножество, не содержàщее элементов, нàзывàется пустым.

Îбознàчение .

Îбычно в конкретных рàссуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достàточно широкого множествà (своего для кàждого случàя), которое нàзывàется универсàльным множеством или универсумом и обознàчàется U.

2. Çàдàние множеств.

×тобы зàдàть множество, нужно укàзàть, кàкие элементы ему принàдлежàт. Ýто

можно сделàть рàзличными способàми:

© 2011 Ìолчинà Ë.È.

6 Ìолчинà Ë.È. ÝÓÌÊ Ìодели дàнных и системы упрàвления бàзàми дàнных

зàключàют в фигурные скобки и рàзделяют зàпятыми. Õàрàктеристический предикàт – это некотоpое условие, вырàженное в форме логического утверждения или процедуры, возврàщàющей логическое знàчение. Åсли для дàнного элементà условие выполнено, то он принàдлежит определяемому множеству, в противном случàе – не принàдлежит. Ïорождàющàя процедурà – это процедурà, которàя, будучи зàпущенной, порождàет некоторые объекты, являющиеся элементàми определяемого множествà

Íà лàтыни слово "предикàт" (praedicatum) ознàчàет "скàзуемое". Òрàдиционнàя логикà выделяет в элементàрном выскàзывàнии (суждении) субъект и предикàт. Ñубъект (логическое подлежàщее) - то, о чем говориться в выскàзывàнии; предикàт (логическое скàзуемое) - то, что говорится (утверждàется или отрицàется) о субъекте. Íàпример, в выскàзывàнии "Êошкà имеет четыре ноги""кошкà" - субъект, "имеет четыре ноги" - предикàт. Åсли нà место словà "кошкà" постàвить слово "собàкà", то сновà получится истинное выскàзывàние "Ñобàкà имеет четыре ноги". Åсли же в кàчестве субъектà взять слово "курицà", то получится ложное выскàзывàние "Êурицà имеет четыре ноги". Çàменив субъект переменной, получàем выскàзывàтельную форму " х

имеет четыре ноги" и предикàт кàк функцию, зàдàвàемую этой формой. Åстественным обобщением понятия "одноместный предикàт" является понятие "n-местный предикàт".

Îдноместные предикàты иногдà нàзывàют предикàтàми-свойствàми, à п- местные при п > 1 - предикàтàми-отношениями. Òàк, нàпример, предикàт х < 0

вырàжàет свойство чисел, à предикàт х < у - отношение между числàми. Ïозже смысл слов "свойство" и "отношение" будет уточнен.

Ïримеры.

1.Ì1: ={1,2,3,4,5,6,7,8,9};

2.M2:={n|n° N&n< 10};

3.Ïредикàт Ð зàдàн тàблицей

Âыпишите облàсть определения и множество знàчений предикàтà Ð. Óкàжите, чему рàвны Ð(1), Ð(6). Ïодберите выскàзывàтельную форму, с помощью которой можно зàдàть предикàт Ð.

3. Ïредикàт Q зàдàн нà множестве однознàчных нàтурàльных чисел вы скàзы нàтельной формой " х - простое число". Çàдàйте предикàт Q с помощью тàблицы. ×ему рàвны Q(l), Q(2), Q(6)?

Ìножество целых чисел в диàпàзоне от т до п обознàчàют тàк: m...n. Òо есть

т..п: = {k ° Z | 0 k & k n} .

Ïерeчислением можно зàдàвàть только конечные множествà.

3. Îперàции нàд множествàми.

Ñàмого по себе понятия множествà еще недостàточно – нужно определить

© 2011 Ìолчинà Ë.È.

способы конструировàния новых множеств из уже имеющихся, то есть оперàции нàд

множествàми.

Ìножество À содержится в множестве Â (множество Â включàет множество

À), если кàждый элемент À есть элемент Â:

A B:=x ° A. x ° B.

Âэтом случàе A нàзывàется подмножеством Â, Â – нàдмножеством À. Åсли À

Âи À Â, то À нàзывàется собственным подмножеством Â. Çàметим, что M Ì Ì. Ïо определению M Ì.

Äвà множествà рàвны, если они являются подмножествàми друг другà:

À=Â:=À Â&Â À.

Ñовокупность всех подмножеств множествà À нàзывàется его булеàном и

обознàчàется 2À.

Ìощность множествà Ì обознàчàется кàк ]Ì|. Äля конечных множеств мощность – это число элементов. Íàпример, | | = 0, но |{ }| = 1. Åсли |A| = |B|, то множествà A n  нàзывàются рàвномощными.

Îбычно рàссмàтривàются следующие оперàции нàд множествàми:

объединение: A B:={x\ x° À * х° Â};

пересечение: À Â:={х\ х À & х Â};

рàзность: À\Â:={х | х A&x B};

симметрическàя рàзность:

A! B: =(À U Â) \ (À B) = {х \ {х À & х Â) V (x À & Â)};

дополнение:

À:={х\х À}. Ïример

Ïусть À: ={1,2,3}, Â: ={3,4,5}.

Òогдà

À U Â ={1,2,3,4,5}, À Â {3}, A\Â={1,2}, A ! Â =-{1,2,4,5}.

Íà рис. 1.1 приведены диàгрàммы Ýйлерà, иллюстрирующие оперàции нàд

множествàми. Ñàми исходные множествà изобрàжàются фигурàми (в дàнном случàе овàлàми), à результàт грàфически выделяется (в дàнном случàе для выделения использовàнà штриховкà).

Îперàции пересечения и объединения допускàют следующее обобщение. Ïусть I

– некоторое множество, элементы которого используются кàк индексы, и пусть для

© 2011 Ìолчинà Ë.È.

8 Ìолчинà Ë.È. ÝÓÌÊ Ìодели дàнных и системы упрàвления бàзàми дàнных

Ðис. 1.1. Îперàции нàд множествàми

4. Ñвойствà оперàций нàд множествàми.

Ïусть зàдàн универсум. Òогдà для À,Â,Ñ U выполняются следующие

свойствà:

© 2011 Ìолчинà Ë.È.

1. свойствà дополнения

1.вырàжение для рàзности

À\ Â =

Âспрàведливости перечисленных свойств можно убедиться рàзличными способàми. Íàпример, нàрисовàть диàгрàммы Ýйлерà для левой и прàвой чàстей рàвенствà и убедиться, что они совпàдàют, или же провести формàльное рàссуждение для кàждого рàвенствà.

Ðàссмотрим для примерà первое рàвенство: A À = À. Âозьмем произвольный

произвольный элемент из множествà в левой чàсти рàвенствà, обнàружили, что он принàдлежит множеству в прàвой чàсти. Îтсюдà по определению включения множеств получàем, что A ° À. Ïусть теперь х ° À. Òогдà, очевидно, верно х ° À х °

À. Îтсюдà по определению оперàции объединения имеем х ° À À . Òàким обрàзом, À A À. Ñледовàтельно, по определению рàвенствà множеств,

À À=À.

Àнàлогичные рàссуждения нетрудно провести и для остàльных рàвенств.

5. Óпорядоченные пàры.

Åсли à и b – объекты, то через (a,b) обознàчим упорядоченную пàру. Ðàвенство

упорядоченных пàр определяется следующим обрàзом:

(a,b) == (c,d):=a=c&b=d. Âообще говоря, (à,b) (b,à).

ЗАМЕЧАНИЕ Óпорядоченные пàры можно рàссмàтривàть кàк множествà, если определить их тàк:

(à,b):={à,{à,b}}.

Óпорядоченную последовàтельность из n элементов х1, х2,…, хn будем

обознàчàть через (х1, х2,…, хn). Êруглые скобки используются для того, чтобы

укàзàть нà порядок, в котором зàписàны элементы. Òàкàя последовàтельность нàзывàется кортежем длины n или просто n-кой. Ýлемент х i нàзывàется i- той

координàтой кортежà.

5.2. Ïрямое произведение множеств.

Ïусть À и Â – двà множествà. Ïрямым (декàртовым) произведением двух множеств À и Â нàзывàется множество упорядоченных пàр, в котором первый элемент кàждой пàры принàдлежит À, à второй принàдлежит Â:

À * Â: = {(à, b) | à À & b Â}.

© 2011 Ìолчинà Ë.È.

10 Ìолчинà Ë.È. ÝÓÌÊ Ìодели дàнных и системы упрàвления бàзàми дàнных

ЗАМЕЧАНИЕ –––––––––––––––––––––––

Òочкà нà плоскости может быть зàдàнà упорядоченной пàрой координàт, то есть

двумя точкàми нà координàтных осях. Òàким обрàзом, R2 = R x R. Ìетод координàт ввел в употребление Ðене Äекàрт (1596-1650), отсюдà и нàзвàние «декàртово произведение».

Ñтепенью множествà À нàзывàется его прямое произведение сàмого нà себя.

Îбознàчение: An=A *A… *A.

Ïример. Ïусть À={1,2}, B={3,4}. Òогдà, A*B={(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}, B*A={(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)},

A*A={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}.

6. Îтношения.

Ðàвенство, нерàвенство, пàрàллельность, перпендикулярность, подобие, à тàкже дружбà, родство, соседство – все это примеры отношений.

Ïримеры.

1. Ôормà выделяет из множествà прямых нà плоскости тàкие пàры,

компоненты которых нàходятся в отношении пàрàллельности.

2. Åсли À={2,3,4,5,6,7,8}, то бинàрное отношение Ð{(x,y) ¦x,y ° A, x делит y и x 3} можно зàписàть в виде Ð={(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6)}.

3. Íà множестве (1,2,3,4) зàдàно отношение x>y . Âыпишите пàры, компоненты которых нàходятся в отношении R.

Áинàрные отношения R A*Â иногдà удобно изобрàжàть грàфически.

Ïример 4. Ïокàзàть отношение Ð1 = {(a,2), (b,1),(c,2)} между множествàми A= {a, b,c} и B={1,2,3}, à тàкже Ð2 = {(a,b), (b,b), (c,a)} нà множестве À.

Ïусть À и Â – двà множествà. (Áинàрным) отношением R из множествà A в множество Â нàзывàется подмножество прямого произведения À и Â:

R À х Â.

Äля бинàрных отношений обычно используется инфикснàя формà зàписи: àRb:==(à,b) ° R Aх B.

Åсли A = Â, то говорят, что R есть отношение нà множестве À.

Ïример.

Ïусть зàдàн универсум U. Òогдà ° (принàдлежность) – отношение из множествà

U в множество 2U, à (включение) и = (рàвенство) – отношения нà 2U . Õорошо известны отношения =, <, , >, ς , , определенные нà множестве чисел.

Âведем обобщенное понятие отношения: п-местное (п-àрное) отношение R – это множество упорядоченных нàборов (кортежей):

R A1 х ••• х An = {(a1,a2,...,an) | a1° A1 &...&an° An}. Ìножествà Ai не обязàтельно рàзличны.

© 2011 Ìолчинà Ë.È.