Мехатроника и динамика мини-роботов

Часть 2. ПОДСИСТЕМЫ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ

ГЛАВА 3. МЕХАНИКА

3.1.Модели механических подсистем мехатронной системы

3.1.1.Подсистема с жесткими звеньями

Механическая подсистема мехатронной системы (рис. 3.1) называется жесткой:

–если все звенья абсолютно твердые тела, имеющие массы (распределенные или точечные);

–стержни, соединяющие звенья mi – масса i-го тела, – невесо-

мые линейные, абсолютно жесткие, cij (где cij – жесткость стержня, соединяющего mi и mj );

–все гибкие звенья (ремни, цепи) считаются нерастяжимыми;

–все жидкие звенья (гидравлические) считаются несжимаемыми;

–кинематические пары идеальные (в шарнирах и поступательных парах пренебрегают люфтами, деформациями).

Рис. 3.1. Жесткая механическая подсистема

Подсистема с упругими связями:

– все звенья абсолютно твердые тела, имеющие массы mi (распределенные или точечные);

80

– звенья соединяются невесомыми стержнями, обладающими упругими, вязкими ij , пластическими и другими физико-механи-

ческими свойствами, моделируемыми пружинами, вязкими демпферами, элементами сухого трения.

Указанные свойства позволяют учитывать влияние на динамику системы не только геометрии масс, но и геометрии жесткости, деформации звеньев и кинематических пар, люфт в шарнирах и т. д.,

рис. 3.2.

Рис. 3.2. Подсистема с вязкоупругими связями

Подсистема с распределенными физико-механическими свойствами и деформируемыми звеньями: массовые и физико-меха-

нические свойства распределены по всей механической подсистеме, причем любой элементарный объем обладает деформирующейся массой, непрерывно распределенной по объему тела (звена).

Как следует из рис. 3.3, каждое звено и соединяющие их стержни обладают массой mi и физико-механическими свойствами (упру-

гость ci , вязкость, пластичность).

81

Q – обобщенные движущие силы; x – координаты рабочих органов;

P – активные силы, возникающие при реализации рабочего процесса.

3.1.2. Математические модели структурно-функциональных частей механической подсистемы

Проектирование механической части мехатронной системы (механики) наиболее точно осуществляется на основе моделей механики сплошных сред, однако аналитически это приводит к необходимости решать начальные и краевые задачи для уравнений в частных производных, описывающих системы с распределенными параметрами, имеющими бесконечное число степеней свободы. И хотя современные CADFEM-системы автоматизированного проектирования упростили решение таких задач, тем не менее методы аппроксимации систем с непрерывно распределенными параметрами, системами с сосредоточенными параметрами остаются актуальны, особенно на начальных стадиях проектирования. Переход от модели системы с распределенными параметрами к модели с сосредоточенными параметрами позволяет существенно сократить число степеней свободы и таким образом построить достаточно простую математическую модель и на ее основе провести аналитическое исследование. Например, для большинства машин упругие деформации малы, тогда вместо (3.1) используется приближение вида

где – постоянная времени, характеризующая время реакции подсистемы на воздействие.

84

В формуле (3.2)

Q Q Qs u ,q,q .

В случае когда q – угловая координата, обобщенная сила Q M , где M – момент.

Особенностью моделирования механической подсистемы является многоступенчатость (иерархичность) этого процесса. На начальной ступени (эскизной) допустимо использование жесткой модели, что позволяет сделать выбор двигателя, оценить величины реакций в кинематических парах механизмов. При исследовании процессов, связанных с вибрацией, диссипацией, деформацией, необходимо учитывать упругость, вязкость и пластичность звеньев.

На стадии конструирования узлов механической подсистемы требуется получить законы движения ее звеньев такие, чтобы рабочий процесс выполнялся в соответствии с проектируемыми (идеальными) законами движения, которые называются программными.

Реализация программного (идеального) управления поведением (функцией) подсистемы может быть получена за счет точного конструирования, изготовления, эксплуатации структурных элементов механической системы, а также за счет управляющих воздействий.

На практике действительный закон движения отличается от идеального программного за счет неучтенных факторов конструирования, управления, измерения внутренних и внешних параметров. Отклонение (вариация) законов движения реальных систем от программных характеризуется динамическими ошибками. Как правило, действительные значения динамических нагрузок, действующих на звенья машины, существенно отличаются от расчетных.

Оценивание величин динамических ошибок и корректировка значений динамических нагрузок являются задачей динамического анализа, решаемой в ходе расчетов на стадии проектирования и после разработки конструкций функциональных частей системы. Это ведет, как правило, к использованию все болеесложных и адекватных моделей.

Решение задач синтеза машин базируется на результатах анализа и достигается за счет изменения параметров механической системы двигателей, актуаторов. Электроника позволила достигать улучшения динамики машины, расширения диапазона ее возможностей за счет адекватного управления с обратными связями.

85

3.1.3. Влияние геометрии масс твердого тела на его динамику

Сопротивление масс системы движению проще всего изучать на основе уравнений Ньютона–Лагранжа при идеальных связях.

Поступательное движение центра масс описывается уравнением

md2rc F e , dt2

авращательное в главных осях инерции символически можно записать в виде

где I q – моменты инерции системы, приведенные к выходному

звену двигателя или актуатора; q – обобщенные координаты;

M g – приведенные моменты движущих сил; Mc – приведенные моменты сил сопротивления.

Отметим, что в общем случае для мобильных роботов I q 0 . Когда функции положения механических частей машины линейные,

I q I0 const.

В общем случае нелинейности можем записать

I q Iq q IM q ,

где Iq q – приведенный момент инерции движущихся звеньев

двигателя;

IM – приведенный момент инерции звеньев передаточного и исполнительного механизмов.

86

Момент сил сопротивления Mc – обобщенная сила, соответствующая всем активным силам, действующим на звенья механизмов:

Mc Mc q, q ,

а M g – в виде

M g M g u , q, q ,

где управление (регулирование) u t задается или находится на основе каких-либо критериев.

3.1.4. Влияние учета упругости на динамику механической подсистемы

На следующей ступени проектирования на основе динамической модели механической части машины учитывается упругость звеньев передаточных механизмов. Как правило, массы передаточных звеньев значительно меньше массы двигателей и исполнительных звеньев, что позволяет использовать простейшую двухмассовую модель упругой системы. На рис. 3.5 изображена простейшая модель механического агрегата, учитывающая упругость передаточного механизма. Звенья считаются жесткими, имеющими одну степень подвижности, а передаточный механизм считается безынерционным, вязкоупругим. В качестве обобщенных координат выбираются

угол поворота выходного звена двигателя актуатора q0 и угол по-

87

ворота q входного звена исполнительного механизма, приведенный

к валу двигателя, т. е. умноженный на передаточное отношение i. Приведенная к валу двигателя деформация передаточного звена

определяется по формуле

e q0 q1.

Обозначим момент, возникающий в передаточном звене и приложенный к исполнительному звену:

где c – коэффициент жесткости, b – коэффициент вязкости.

Уравнения движения с учетом вязкоупругости звеньев запишутся в виде

где Ig q0 , IM q1 – приведенные моменты инерции;

Mc q1, q1 – приведенный момент сил сопротивления.

Рассмотрим более сложную динамическую модель, учитывающую упругость звеньев.

Широко распространенной одномерной моделью является цепная модель, все звенья которой совершают вращательное движение.

Пусть цепная система содержит n 1 вращающихся масс, последовательно соединенных между собой упруговязкими элементами. Система имеет n 1 степеней свободы, определяемых обобщенны-

ми координатами – углами поворота q0 , q1, , qn масс вокруг их собственных осей вращения.

88

Перейдем к новым координатам:

s iosqs , s 0,1, , n,

где ios – передаточное отношение звена, связывающего ротор (ну-

левая масса) с массой s-го звена.

Деформация определяется координатами, характеризующими смещения масс относительно ротора:

0 , e1, , en ;

es s 0 s 1, , n .

В частности, для жестких звеньев

s 0;

es 0 s 1, , n .

Уравнения Лагранжа относительно имеют вид

где звездочкой обозначается приведение системы к нулевой массе. Расписывая уравнения (3.6), получим

(3.7)

a 0 Ae Be ce M *.

3.1.5. Частотный анализ динамики линеаризованных уравнений Ньютона–Лагранжа

Работа любой функционирующей машины (робота) сопровождается вибрацией и шумом, которые наиболее точно можно модели-

89