Мехатроника и динамика мини-роботов

Учитывая соотношение

выражение z-преобразования для вектора состояния дискретной системы запишем в виде

Применяя обратное z-преобразование к уравнению (2.34), для вектора состояния получим

что является общим решением уравнения состояния, из которого могут быть определены переменные состояния системы в последовательные моменты квантования, если только известны расширенная матрица перехода и матрица В и заданы начальные условия. Уравнение (2.35) позволяет систематизировать и унифицировать анализ динамического поведения дискретных систем.

Анализ устойчивости системы

Пусть матрица H T разделена на блоки согласно размерностям векторов m и x:

где T – квадратная матрица.

70

Тогда

(2.37)

При выводе этого уравнения было использовано равенство (2.37). Отсюда находим z-преобразования для векторов состояния входа и процесса соответственно:

и

X z z 1 I z 1 T 1 T M z I z 1 T 1 x 0 . (2.40)

71

Первое слагаемое в правой части z-преобразования (2.39) присутствует благодаря вектору M, а второе слагаемое – благодаря ненулевым начальным условиям. Второе слагаемое равно нулю, если в начальный момент времени система находится в состоянии покоя. Последовательность дискретных значений переменных состояния и переменных состояния процесса можно получить по формулам (2.39) и (2.40), применяя к ним обратное z-преобразование.

Если система в начальный момент времени находится в состоянии покоя, то z-преобразование для вектора состояния процесса принимает вид

X z z 1 I z 1 T 1 T M z .

Для устойчивости системы необходимо, чтобы корни уравнения (2.40) находились в пределах единичной окружности наплоскости z.

Учитывая равенство (2.36), выражение (2.30) для вектора состояния t можно записать в виде

где значения векторов m nT и x nT могут быть легко найдены при использовании выражений (2.39) и (2.40). Полагая n 0,1, 2,

72

в уравнении (2.42), находим функции времени для переменных состояния процесса.

Пр и м е р 2.2

Сцелью иллюстрации описанного выше метода z-преобразования для анализа дискретных систем рассмотрим разомкнутую систему.

Схема простой импульсной системы показана на рис. 2.12. Предполагается, что входное воздействие имеет вид единичной ступенчатой функции и период прерывания равен T, с. Требуется определить реакцию на выходе системы.

Рис. 2.12. Простая импульсная система

Из рассмотрения схемы системы в переменных состояния, показанной на рис. 2.13, следует, что дифференциальные уравнения состояния системы имеют вид

m1 0; m2 0; x1 m2 x1.

Рис. 2.13. Схема в переменных состояния для простой импульсной системы

Уравнения переходных состояний системы находим в виде m1 nT m1 nT ;

m2 nT m1 nT ; x1 nT x1 nT .

73

Матрицы А и В записываются следующим образом:

Матрицу перехода находим в виде

1 z 1 T 1 z 1e T .

74

Так как

X z z 1 1 z 1 T 1 T 1 z 1 T 1 m 0 ,

то окончательно имеем

z 1 e T

X z z 1 z e T .

Отметим, что решение этой простой задачи можно получить классическим методом. В данном случае применение обобщенного подхода не дает каких-либо преимуществ. Заметим также, что данный пример был приведен с целью проиллюстрировать применение рассмотренного внастоящемпараграфеметода анализа дискретных систем.

П р и м е р 2.3

Замкнутая система

Требуется найти выход импульсной системы, структурная схема которой приведена на рис. 2.14. Входное воздействие имеет вид единичной ступенчатой функции.

Рис. 2.14. Простая импульсная система с обратной связью

Схема системы в переменных состояния изображена на рис. 2.15. Из рассмотрения этой схемы находим, что дифференциальные уравнения состояния системы имеют вид

m1 0; m2 0; x1 m2 x1.

75

m1 1 m1 0 ;

m2 m1 x1 m2 0 ; x1 m2 0 x1 .

Решение последнего дифференциального уравнения имеет вид

x1 1 e m2 0 e x1 0 .

Отсюда находим расширенную матрицу перехода:

Матрицу H T разобьем на блоки таким образом, что

77

1 z 1 T 1 1 1z 1 .

Если x1 0 , то из формул (2.37) и (2.38) следует, что

z 1 e T

R z z 1 z 2e T 1 ,

что совпадает с результатом, полученным выше.

78

Если начальное условие задано в виде

x1 0 c0 ,

то при соответствующей подстановке в формулы (2.39) и (2.40) будем иметь

Из изложенного видно, что по удобству и эффективности рассматриваемый общий подход превосходит классический в анализе сложных систем, а также в оптимальном синтезе.

79