Мехатроника и динамика мини-роботов

2.4.2. Параллельное программирование

Для составления схемы системы в переменных состояния методом параллельного программирования запишем передаточную функцию в виде суммы дробно-рациональных функций:

где 1, 2 , 1, 2 – известные функции от a, b, c, d.

Схема системы в переменных состояния, которая может быть составлена непосредственно по формуле (2.14), показана на рис. 2.8. Дифференциальные уравнения состояния имеют простой вид:

x1 0; x2 0.

Рис. 2.8. Схема в переменных состояния для параллельного программирования

Уравнения переходных состояний находим в виде x1 nT 1x1 nT m nT ;

x2 nT 2 x2 nT m nT ; m nT r nT .

60

Выход y t находим из рассмотрения схемы системы в переменных состояния:

y t 1x1 t 2 x2 t 2m t ,

т. е. в виде линейной комбинациикоординат ивходного воздействия.

2.4.3. Последовательное программирование

Передаточную функцию (2.13) запишем в виде произведения дроб- но-рациональных функций:

Схема системы в переменных состояния показана на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Схема в переменных состояния для последовательного программирования

Из рассмотрения этой схемы находим дифференциальные уравнения состояния

x1 0; x2 0

и уравнения переходных состояний

x1 nT x1 nT x2 nT m nT ;

x2 nT x2 nT m nT ;

m nT r nT .

61

Выход y t , как и ранее, находим в виде линейной комбинации координат и входного воздействия:

y t x1 t x2 t 2m t .

2.5.Выбор переменных состояния

вмодели посадки летательного аппарата

Представление системы ее схемой в переменных состояния не является единственным. Для одной и той же системы можно составить несколько схем, отличающихся природой переменных, выбранных в качестве переменных состояния. Различный выбор этих переменных обычно приводит к различным конфигурациям схем системы в переменных состояния.

Рассмотрим систему уравнений, описывающих посадку дрона. Линеаризованное уравнение короткопериодических колебаний в продольном движении дрона запишем в виде

где h t – высота;

– угол тангажа; V – скорость.

Комбинируя уравнения (2.15) и (2.16) и применяя прямое преобразование Лапласа, находим передаточную функцию, связывающую отклонение руля высоты и высоту h:

62

Схема системы в переменных состояния, составленная по формуле (2.17), показана на рис. 2.10. В качестве координат системы в этой схеме выбраны переменные

Рис. 2.10. Схема в переменных состояния, характеризующая динамику изменения высоты самолета от отклонения руля высоты

Дифференциальные уравнения посадки самолета при соответствующем выборе промежуточных переменных могут быть заменены следующей системой дифференциальных уравнений первого порядка:

x1 x2 ;

x2 x3;

x3 x4 ;

x4 02 x3 2 0 x4 Km.

63

Схема системы в переменных состояния также может быть составлена при использовании этих дифференциальных уравнений. Однако при таком описании дрона в качестве координат системы будут выбраны высота и ее три производные, хотя две из них,

d2h / dt2 и d3h / dt3 , не могут быть измерены непосредственно.

Возможен другой вариант схемы системы в переменных состояния. В качестве переменных состояния выберем высоту, скорость

изменения высоты, угол тангажа и угловую скорость тангажа.

Эти переменные могут быть измерены с помощью радиовысотомера и датчиков. Исключая θ из уравнений (2.15) и (2.16), получаем

64

Определим переменные состояния равенствами

и в нижеследующих уравнениях отклонение руля высоты заменим на m. Тогда из формулы (2.23) имеем

x1 x2 ,

из формул (2.19) и (2.23)

x2 a22 x2 a23x3,

x3 x4

и из формул (2.22) и (2.23)

65

Схема в переменных состояния системы (рис. 2.11) может быть составлена по уравнению (2.24). Очевидно, что она существенно отличается от схемы, показанной на рис. 2.10.

Рис. 2.11. Другой вариант схемы в переменных состояния, характеризующей динамику изменения высоты самолета

Схема рис. 2.11 обладает тем преимуществом, что в ней все переменные состояния допускают непосредственное измерение. При расчете оптимальных систем желательно, чтобы все координаты можно было непосредственно наблюдать и измерять. Поэтому при составлении схемы системы в переменных состояния очень важно в качестве переменных состояния выбирать измеримые (наблюдаемые) переменные.

2.6. Анализ устойчивости дискретных систем методом переходных состояний

Линейную стационарную дискретную систему можно описать совокупностью линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, которые могут быть записаны в векторной форме:

где t nT и 0 T.

Вектор состояния v в качестве своих компонент включает век-

тор состояния входа m и вектор состояния x. Уравнение (2.25),

66

характеризующее поведение дискретной системы на интервалах кван-

тования, называется дифференциальным уравнением состояния сис-

темы. Начальные условия для дифференциального уравнения состояния могут быть записаны в векторной форме как

Это уравнение, описывающее изменение переменных состояния системы в моменты квантования, называют уравнением переходных состояний. В этих уравнениях А и В обозначают квадратные матрицы, которые могут быть найдены из рассмотрения схемы системы в переменных состояния.

Применяя к уравнению (2.25) прямое преобразование Лапласа, получаем

pV p AV p 0 .

Применяя к уравнению (2.27) обратное преобразование Лапласа, получаем решение дифференциального уравнения состояния в виде

где расширенная матрица перехода дается выражением

Ф L 1 pI A 1.

Втерминах переменной t уравнение (2.28) принимает вид

t Ф t hT nT .

67

Это уравнение описывает поведение системы на интервале

nT t n 1 T.

Следовательно, в момент t n 1 T

n 1T Ф T nT .

Учитывая соотношение (2.26), вектор состояния можно записать в виде

и

n 1T Ф T B nT .

Это уравнение представляет собой рекуррентное соотношение, которое может быть использовано для вычисления последовательных значений переменных состояния системы в моменты квантования. Заметим, что в случае непрерывных систем B – единичная матрица и t.

Обозначим

Это уравнение определяет значения координат системы в любой момент времени на интервале

nT t n 1 T.

Отсюда в момент t n 1 T

68

Придавая n в формуле (2.31) последовательные значения, получаем следующую систему уравнений:

n 0, T H T 0 ;

n 3, 2T H T T ;

n 2, 3T H T 2T ;

…………………………………….

n k 1, kT H T k 1T ;

…………………………………….

n n 1, nT H T n 1T .

Комбинируя эти уравнения и производя упрощения, получаем

n 0

Комбинируя уравнения (2.32) и (2.33), получаем z-преобразова- ние в виде

69