Мехатроника и динамика мини-роботов

Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению (2.6), получаем

Матрица Ф t называется расширенной матрицей перехода

системы.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений было известно, что решение уравнения (2.5) имеет вид

Сравнивая формулы (2.8) и (2.9), находим

Фt eA t ;

Фt L 1 sI A 1 ,

что позволяет вычислить Ф t двумя способами. Обращаясь вновь к описанному выше примеру 1, находим

50

Тогда

Пусть матрица A имеет действительные и различные собственные значения

Если собственные значения матрицы A являются комплексными числами, то матрица перехода Ф t принимает вид

где

0 b a42 .

Определение Ф t при использовании теоремы разложения Сильвестра рассматривается в курсе математики.

51

Способ определения переменных состояния с использованием схемы системы в переменных состояния: схема составляется из интеграторов, усилителей, суммирующих устройств. Выходы интеграторов могут быть выбраны в качестве координат (переменных) состояния системы. Схема в переменных состояния дает наглядную физическую интерпретацию координат системы и описывает их взаимную связь. Схему в переменных состояния можно составить непосредственно по заданному дифференциальному уравнению или по изображению Лапласа. Применяя преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения примера 2.1, получим

p2 ap b X p M p p a x 0 ax 0 ,

Схема системы в переменных состояния, которая непосредственно следует из формулы, изображена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Схема в переменных состояния для системы второго порядка для примера 2.1

Выход x x1 является суммой трех составляющих, возникающих соответственно за счет m t , x1 0 и x2 0 . Из схемы сис-

темы и формулы видно, что составляющая за счет x1 0 равна

52

p 1 1 ap 1 x1 0 1 ap 1 bp 2

и составляющая за счет x2 0 равна

x2 0

1 ap 1 bp 2 .

2.3. Схемы программирования для непрерывных систем

Схемы непрерывных систем в переменных состояния совпадают со схемами этих систем на аналоговых вычислительных машинах. Схема системы в переменных состояния может быть составлена по передаточной функции системы тремя различными способами:

1)прямого программирования;

2)параллельного программирования;

3)последовательного программирования.

Для иллюстрации различных методов составления схемы системы в переменных состояния рассмотрим систему с передаточной

2.3.1. Прямое программирование

Уравнение (2.10) можно записать в виде

53

В схеме системы в переменных состояния, показанной на рис. 2.3, используются уравнения (2.11) и (2.12). Переменными состояния

являются x1, x2 , x3.

Рис. 2.3. Схема в переменных состояния для прямого программирования

Дифференциальные уравнения для переменных состояния могут быть найдены из рассмотрения схемы системы. Предполагая, что входное воздействие является ступенчатой функцией, получим

m 0;

x1 x2;

x2 x3;

x3 m 12x2 7x3.

54

Отсюда

m

x1 ;x2x3

Выход y t является линейной комбинацией переменных состояния

y t 2x1 t 3xx t x3 t .

2.3.2. Параллельное программирование

Запишем равенство (2.10) в виде суммы дробно-рациональных функций:

Схема системы в переменных состояния (рис. 2.4) следует из этого выражения непосредственно.

Система дифференциальных уравнений первого порядкаимеетвид m 0;

x1 m;

x2 m 3x2 ; x3 m 4x3,

где предполагается, что входное воздействие является ступенчатой функцией.

55

2.4. Схемы программирования для дискретных систем

Для дискретных систем схемы в переменных состояния имеют почти такой же вид, как и схемы моделирования этих систем. Последние могут быть составлены по передаточной функции дискретной системы тремя различными способами:

1)прямого программирования;

2)параллельного программирования;

3)последовательного программирования.

Схема системы в переменных состояния состоит из прерывателей, элементов фиксации и задержки, суммирующих устройств, усилителей или потенциометров.

Для иллюстрации различных способов составления схемы системы в переменных состояния рассмотрим дискретную систему, характеризуемую передаточной функцией

структурная схема которой показана на рис. 2.6.

1 az 1 bz 2

1 az 1 dz 2

Рис. 2.6. Структурная схема простой дискретной системы

2.4.1. Прямое программирование

Схема системы в переменных состояния, составленная при использовании стандартной процедуры, показана на рис. 2.7. Переменные x1 и x2 характеризуют состояние объекта и представляют собой выхо-

ды соответствующих фиксаторовиэлементовзадержки.

58