Мехатроника и динамика мини-роботов

Для вычисления скорости ij воспользуемся равенством

ij 0 ω rij ijот,

в котором 0 – скорость точки 0;

490

Скорость центра масс корпуса v выражается формулой, анало-

гичной (20.14):

Соотношения (20.10)–(20.18), будучи подставлены в (20.7), дадут выражения для коэффициентов кинетической энергии аппарата через обобщенные координаты.

Уравнения (20.2) нелинейные и в общем случае аналитически не решаются, поэтому целесообразно вкратце рассмотреть численное определение закона движения для рассмотренной модели робота:

Систему (20.19) можно разрешить, выразив ускорения корпуса через фазовые координаты и управления в шарнирах ног.

Опишем процедуру численного определения закона движения модели шагающего аппарата. Сначала по конечным формулам вычисляются все коэффициенты, зависящие от фазовых координат и управлений, необходимые для подсчета элементов матриц B и вектора b. После этого рассчитываются ускорения корпуса.

Вычисленная реакция может оказаться направленной внутрь несущей поверхности. Тогда соответствующая нога считается неопо-

рной, и для нее производится пересчет коэффициентов матрицы Cl и c17 , c2 7 , c3 7 , после чего корректируются матрица B и вектор b.

При пересчете B и b целесообразно воспользоваться аддитивно-

стью членов, зависящих от номера ноги. Вычитаются лишь слагаемые, имеющие отношение к ноге, оказавшейся неопорной, и добавляются новые, полученные в предположении, что эта нога свободна. Такой прием способствует увеличению скорости счета задачи.

Описанная ситуация, как правило, возникает в тех случаях, когда алгоритм управления вырабатывает шарнирные моменты, необходимые для отделения ноги от поверхности. После подсчета ускорений всех обобщенных координат проводится численное интегрирование уравнений движения.

491

Для определения момента времени соприкосновения ноги с поверхностью происходит вычисление на каждом шаге интегрирования координат стоп неопорных ног и осуществляется проверка условия пересечения их траекторий с поверхностью. Нога считается опорной, если в некоторый момент времени координаты ее стопы удовлетворяют уравнению поверхности. Скорость стопы этой ноги в момент соприкосновения скачком падает до нуля.

Математически условие касания стопы ноги с поверхностью означает появление новой связи. При этом скачком меняются обобщенные скорости не только опускаемой ноги, но также корпуса

непосредственно перед ударом. Пусть число опустившихся на поверхность ног равно k1, k – число опорных ног до удара. Прираще-

ния скоростей удовлетворяют следующей системе уравнений

где qs , ij – приращения обобщенных скоростей корпуса и ног. Величины Q1 и Qij выражаются через ударные импульсы

реакций pl в опорных точках:

Ql1 Pxl cos l1 Pyl sin l1 Lssl ;

Ql2 Pxl sin l1 Pyl cos l1 Lccl Pzl Lssl ;Ql3 Pxl sin l1 Pyl cos l1 Lcl Pzl Lsl .

После подсчета элементов матрицы B и вектора b определяются приращения обобщенных скоростей корпуса, находятся прира-

492

щения обобщенных скоростей ног и ударные импульсы реакций. Если ударный импульс направлен внутрь несущей поверхности, то соответствующая нога считается неопорной, пересчитываются эле-

менты матрицы Ci и c1i 7 , c2i 7 , c3i 7 и вносятся поправки в компонен-

ты матрицы B и вектора b .

Из приведенных формул и рассуждений следует, что удар можно рассчитывать фактически по тем же самым формулам, что и безударное движение. Это упрощает задачу программирования модели и экономит время вычислений.

Таким образом, задача передвижения аппарата по поверхности при заданных управляющих шарнирных моментах сводится к интегрированию дифференциальных уравнений (20.2) с учетом (20.3) и пересчету обобщенных скоростей аппарата в отдельные моменты времени в соответствии с (20.20).

Рассмотрим случаи вырождения. Они возникают, когда для како- го-нибудь номера i обращаются в нуль знаменатели Li , Lsis соответ-

ствующих выражений. Предположим, что Lssi 0 . Тогда точка под-

веса ноги и точка опоры расположены на прямой, параллельной оси Pz шарнира в точке подвеса. При этом относительное ускорение сто-

пы никак не влияет на величину i1 , а реакция опоры не создает момента относительно Pz . Вторую производную i1 следует опреде-

лять из соответствующего для этой координаты динамического уравнения Лагранжа, куда не войдут неизвестные компоненты реакций.

При фиксированных значениях Qij и Lssi 0 реакции Nxi и Niy определяются неоднозначно и позволяют найти лишь сумму

Ni Nxi cos i1 Niy sin i1.

Проекция на перпендикуляр к плоскости ноги не влияет на движение в данном случае, так как полностью компенсируется реакцией шарнира даже при отсутствии управляющих моментов. Относительное перемещение стопы в направлении, перпендикулярном плоскости ноги, оказывается невозможным, что, по существу, представляет собой наложение дополнительной связи на систему.

493

Другими словами, нога либо полностью согнута, либо полностью выпрямлена в колене. Тогда по относительному ускорению стопы величины i2 и i3 однозначно не определяются, и лишь в виде

линейной комбинации

Lcci i2 Lci i3.

Аналогично и для реакций N p и Nz можно найти линейную комбинацию

Lcci Nip Nzi Lssi ,

представляющую собой проекцию на плоскость, перпендикулярную плоскости ноги, момента силы реакции относительно точки подвеса.

Кинематический смысл рассматриваемого выражения состоит в том, что когда звенья ног принадлежат одной прямой, всякое относительное возможное перемещение стопы получается с помощью

задания всего двух вариаций: i1 и i2 или i3 . Вместе с тем

момент любой силы реакции относительно точки подвеса оказывается пропорциональным моменту этой же силы относительно ко-

ленного шарнира. Поэтому управляющие шарнирные моменты Mi2

и Mi3 уже не могут быть независимыми, а должны соответствовать

характеру отмеченной пропорциональности.

При численном моделировании процесса движения на компьютере следует избегать конфигураций аппарата, в которых существует опасность появления нулевых знаменателей. Как видно из проведенного анализа, для этого достаточно, чтобы никакая стопа не

оказывалась на оси Pz шарнира подвеса соответствующей ноги

и чтобы никакая нога не могла быть полностью выпрямлена или согнута в колене.

494

20.2. Некоторые приближенные модели динамики шагающих мини-роботов

Полученные уравнения динамики шагающего робота сложны не только для аналитических, но и численных исследований, поэтому представляют интерес различные приближения, позволяющие упростить решение задачи.

В теоретической механике теория возмущений излагается в гамильтоновой форме, согласно которой функция Гамильтона Н связана с функцией Лагранжа преобразованием Лежандра по перемен-

ным qi i 1, n :

n

H qi , pi , t piqi L q j , q j , t ;

i 1

(20.21)

Каноническая форма уравнений движения имеет вид

В случае если силы, действующие в системе, потенциальные:

H T П,

т. е. для натуральной склерономной системы с обычным потенциалом сил H полная механическая энергия сохраняется.

Если существует функция V t, qi , qi такая, что

Qi d V V , dt qi qi

495

то V называется обобщенным потенциалом и зависит линейно от обобщенных скоростей

Имеет место представление

L2 T2 , L1 T1 V1, L0 T0 V0.

Согласно классической теории возмущения в теоретической механике представим H в виде

H0 H0 p1, , pn .

Переменные qi , pi в этом случае называют переменные дейст- вия–угол. Невозмущенная система (20.22) записывается в виде

Система (20.24) может быть проинтегрирована

pi pi0 const, qi i p10 , , pn0 qi0.

496

Если мало и в (20.23) система считается обобщенно консервативной, тогда

HH0 pi H1 qi , pi ,

адля исследования динамики системы при малых применяется аппарат, основанный на методе канонических преобразований.

Пусть, например, мини-робот имеет экзоскелетную конструкцию (типа жука) так, что основную массу составляет корпус, а масса каждой из ног и всех вместе значительно меньше массы корпуса. Если к тому же скорости движения ног относительно невелики, то импульсы и моменты импульсов конечностей также малы.

Пусть решение невозмущенной системы

найдено при помощи уравнения Гамильтона–Якоби

где S S q1, qn , , n , t – полный интегралуравнения (20.26).

Сделаем в уравнениях (20.25) каноническую замену переменных по формулам

и, принимая полный интеграл S за производящую функцию

497

перейдем к переменным i , i , где роль новых координат играют величины i , а новых импульсов – i . Тогда функция Гамильтона

i , i , t в новых переменных имеет вид

H0 H1 St ,

ауравнения для i , i имеют вид

где H1* – это функция H1 , в которой сделана замена переменных.

Алгоритм решения задачи:

1) из решения уравнения (20.27) находятся функции

2)находятся решения уравнений (20.28);

3)найденные i , i подставляются в (20.29).

Рассмотрим еще один подход к упрощению уравнений динамики шагающего мини-робота.

Количество движения всего робота представим в виде

n

Qr m Vo ω ρ miVi Qэ Qo ; (20.30)

i 1

Qэ mrVo ω rn ;

498

где ri p – радиус-вектор, соединяющий начало координат 0 с точкой крепления i-й ноги;

ric – радиус-вектор от точки крепления i-й ноги до центра масс

i-й ноги.

Механический смысл выражения (20.30) состоит в том, что импульс Qk не зависит от перемещений звеньев ног относительно

корпуса и совпадает с количеством движения твердого тела (эффективного корпуса), центр масс которого расположен в точке корпуса

с радиусом-вектором rэ. Эта точка называется приведенным (эффек-

тивным) центром масс робота.

Аналогичным образом кинетический момент робота (момент импульса) можно представить в виде

где Kэ – кинетический момент абсолютно твердого эффективного

тела, состоящего из корпуса и скрепленных с ним в точках крепления точечных масс, равных массам ног. Центр масс эффективного тела совпадает с приведенным (эффективным) центром масс.

Считая, что

Qr Q o Q 1 ,

Kr K o K 1 .

Вуравнениях (20.30), (20.31) выделятся две аддитивные части так, что Q o , K o не учитывают перемещения ног (медленные

движения), тогда для Q o Qэ, K o Kэ получаются уравнения

499