Мехатроника и динамика мини-роботов

П р и м е р 1.2

Рассмотрим систему второго порядка

x k 1 Ax k Bu k ,

y k Cx k

(рис. 1.9), где

а22

Рис. 1.19. Схема системы второго порядка

Рассмотрим управляемость системы. Имеем

40

Система управляема, если ранг равен 2, т. е. когда a21 0, и неуправляема, если a21 0. Из рис. 1.20 видно, что когда a21 0, отсутствует управление координатной x2. Отметим, что все остальные параметры aij могут равняться нулю, но система останется управляемой.

Рассмотрим наблюдаемость. Имеем

Система наблюдаема, если ранг равен 2, т. е. когда a12 0,

и ненаблюдаема, когда a12 0. В этом случае выходная координата y не содержит информации о x2 (рис. 1.21). Снова отметим, что

все остальные параметры могут равняться нулю, но система останется наблюдаемой.

41

Рассмотрим идентифицируемость

Система идентифицируема, если ранг матрицы равен 2, и неидентифицируема, если определитель матрицы равен 0. Для этого оба столбца матрицы должны быть линейно зависимы. Различают

простейший случай, когда x1 0 x2 0 0, т. е. объект, который

находится в состоянии покоя, не может быть идентифицирован,

и нетривиальный случай, когда

или

A I x1 0 0.

x2 0

42

В этом случае нужно найти собственные значения 1 и 2 и соответствующие собственные векторы r1 и r2. Если x 0 r1, то возбуждается только одна гармоника объекта exp 1t , а гармоника exp 2t не идентифицируется. Если x 0 r2 , то может быть идентифицирована одна только гармоника exp 2t . Таким образом, объект идентифицируем только тогда, когда начальное условие x 0 возбуждает все гармоники объекта.

Глава 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При исследовании систем приходится иметь дело с двумя типами задач. К первому типу относятся задачи анализа, когда требуется определить характеристики заранее заданной системы; ко второму – задачи синтеза, когда требуется спроектировать систему, обладающую заданными характеристиками. Существуют два основных подхода к анализу и синтезу линейных систем:

1. Схемотехнический подход, который сводится к составлению блок-схемы или структурной схемы и определению передаточных функций отдельных элементов и всей системы. Задача состоит в нахождении схемы регулятора, обеспечивающего получение требуемых статических и динамических характеристик системы.

2. Второй подход (символьный) основан на описании поведения системы некоторым количеством дифференциальных уравнений относительно переменных состояния с начальными условиями. Переменные состояния при таком описании системы аналогичны обобщенным координатам в классической механике. Решение задачи при использовании этого подхода обычно начинают с составления схемы системы в переменных состояния. Методы анализа и синтеза систем управления, использующие этот способ описания поведения системы, принято называть методами пространства состояний.

2.1. Пространство состояний при анализе и синтезе систем

Методы анализа и синтеза систем, а также обработки информации, использующие теоретико-множественный подход к описанию

43

поведения динамических систем имеют широкое применение в классической механике, теории конечных автоматов, теории дифференциальных уравнений, теории управления.

Понятие состояния, лежащее в основе описания поведения динамических систем, было введено А. М. Тьюрингом в 1936 г. Позднее это понятие было использовано К. Э. Шенноном в теории информации.

С точки зрения анализа и синтеза систем все переменные, характеризующие систему или имеющие к ней отношение, целесообразно разделить на три группы:

1) входные переменные или входные воздействия mi , пред-

ставляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой, и влияющие на поведение системы;

2) выходные переменные или переменные, характеризующие реакцию системы yi , позволяющие описать некоторые аспекты

поведения системы; 3) переменные (координаты) состояния или промежуточ-

ные переменные xh , характеризующие динамическое поведение

системы.

Схематически система может быть изображена в виде «черного ящика» с некоторым числом входных и выходных каналов, как показано на рис. 2.1. Входные каналы на этом рисунке представляют

совокупность входных переменных или входных воздействий mi ;

выходные каналы – совокупность выходных переменных или выходных координат yi системы. Промежуточные переменные или

координаты состояния xh отнесены к содержимому «черного ящи-

ка» и, таким образом, скрыты от наблюдения (измерения). Величины mi , yi и xh предполагаются функциями времени.

Рис. 2.1. Схема «черного ящика» к описанию системы переменными состояния

44

Для удобства оперирования с многомерными величинами совокупность входных переменных представим в виде вектора входа

m1 m m2 ,ml

совокупность выходных переменных – в виде вектора выхода

y1 y y2

yp

и совокупность переменных состояния – в виде вектора состояния

Согласно понятию векторного пространства в математике множество всех значений, которые может принять вектор входа m

вмомент t, образует пространство входа системы. Аналогично множество всех значений, которые может принять вектор выхода y

вмомент t, образует пространство выхода системы, и множество

всех значений, которые может принять вектор состояния x в мо-

мент t, образует пространство состояний системы.

Влюбой момент времени t состояние системы является функ-

цией начального состояния x t0 и вектора входа m t0 , t :

45

Уравнения (2.1) и (2.2) называют уравнениями состояния систе-

мы. Для систем, описываемых дифференциальным уравнениями, уравнения (2.1) и(2.2) могут быть записаны в следующей общейформе:

где (2.1) – модель состояния; (2.7) – модель измерения системы.

Для систем, которые являются конечными автоматами, уравнения состояния принимают вид

x n F x n 1 ; m n 1 ;

y n ψ x n ; m n .

Если система описывается линейными дифференциальными уравнениями, то уравнения состояния системы сводятся к следующим:

x t A t x t D t m t ;

y t B t x t G t m t ,

где A t – матрица коэффициентов (параметров системы); D t – матрица управления;

46

B t – матрица выхода;

G t – матрица обхода системы.

Для линейной системы со случайными параметрами уравнения состояния могут быть записаны в виде

x t A r x t D r m t ,

где матрицы A и D являются функциями вектора случайных пара-

метров r.

Вывод уравнений состояния, полностью характеризующих систему, является начальным этапом анализа и синтеза систем в теории систем.

2.2. Операционный метод описания динамических систем

Линейная система может быть описана совокупностью линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, которую можно представить в следующей вектор- но-матричной канонической форме:

Если входные переменные рассматривать совместно с переменными состояния системы, т. е. включить их в число координат системы, то вектор можно считать вектором состояния системы увеличенной размерности.

47

П р и м е р 2.1

Рассмотрим систему второго порядка, описываемую уравнением

х t ax t bx t m t .

Чтобы записать это уравнение в векторно-матричной форме, положим

x1 x и x2 x1

и тогда получим

x1 x2 ;

x2 m bx1 ax2.

Вначале рассмотрим случай m 0. Обозначая

xx1 ,

x2

записывая уравнения в векторном виде, получим

ddxt Ax.

Пусть входное воздействие m имеет вид ступенчатой функции. Тогда

m 0;

x1 x2 ;

x2 m bx1 ax2.

48

Обозначим

Запишем уравнения в векторно-матричном виде:

d A , dt

где A – матрица коэффициентов системыувеличеннойразмерности. В случае входного воздействия произвольной формы систему увеличенной размерности можно по-прежнему описать уравнением в векторном виде, введя в число ее переменных состояния дополни-

тельные переменные, характеризующие входное воздействие. Пусть теперь заданы начальные условия для уравнения (2.5), т. е.

задан вектор 0 . Применяя к уравнению (2.5) преобразование Лапласа, находим

pV p 0 AV p

или

pI A V p 0 .

Получаем, что изображение по Лапласу V p вектора состоянияt имеет вид

где I – единичная матрица.

49