Мехатроника и динамика мини-роботов

В переносной фазе нога движется как манипулятор с точкой закрепления на корпусе. В этой фазе конечность представляет собой разомкнутую систему, если выполняет движение по заданной программе ноги манипулятор программного робота. В случае шагающего робота перемещение конечности происходит под контролем сенсорных систем, осуществляющих получение информации различными способами и через обратную связь использующими ее для корректировки ходьбы. В простом случае программной ходьбы по плоской поверхности можно в первом приближении не учитывать наличие обратной связи. В опорной фазе стопа ставится на поверхность (неудерживающая связь), закрепляется на ней за счет силы трения и действует как манипулятор, переносящий груз (корпус). Далее процесс повторяется. Очевидно, что перемещение с помощью нескольких ног требует скоординированной, синхронной работы нескольких конечностей.

Математические модели шагающих роботов получают на основе методов теоретической механики, в частности, уравнений Лагранжа второго рода, применяемых для вывода как уравнений движения корпуса, так и конечностей. В качестве обобщенных координат выбираются координаты центра масс корпуса или всей системы, углы Эйлера. В кёнинговой системе координат, связанной с корпусом, положения звеньев, конфигурацию ног можно описать с помощью углов (косинусов углов). В дальнейшем ограничимся моделью двузвенных конечностей, в которой стопа не учитывается.

Пусть робот имеет n двузвенных ног, скрепленных с корпусом. Верхняя часть ноги – бедро – имеет две степени свободы, так как соединено с корпусом с помощью шарнира с двумя степенями свободы. Нижняя часть ноги – голень имеет одну степень свободы, так как скреплена с бедром посредством одностепенного шарнира. Опорная фаза характеризуется: вначале – ударной постановкой конца голени на поверхность, причем удар является абсолютно неупругим, в конце отрыв ноги (разрыв неудерживающей связи) также носит квазиударный характер. В биомеханике конечности поверхность обладает вязкоупругими свойствами и резкость ударов носит сглаженный характер. Выражение для Т – кинетической энергии – имеет вид

n

T Tкор Ti ,

i 1

480

где Tкор – кинетическая энергия собственного корпуса;

Ti – кинетическая энергия i-й конечности. Тогда

ω1, 2 , 3 – вектор мгновенной угловой скорости корпуса

вглавных центральных осях корпуса.

Для i-й конечности

где Tij – кинетическая энергия j-го звена i-й ноги;

ijk – k-я координата вектора ωij 1ij , ij2 , 3ij в главных осях

соответствующего звена.

Силы, которые действуют на робота, делятся на потенциальные, учитывающие гравитацию, и контактные (реакции) в точках контакта конечностей с поверхностью. Потенциальные силы выражаются через потенциальную энергию П (или потенциал, силовую функцию U) и включаются в функцию Лагранжа L, контактные взаимодействия входят в обобщенные силы Q и входят в правую часть уравнений Лагранжа.

Потенциальная энергия П складывается из потенциальной энергии корпуса и ног. Аналогично и потенциалы, так как П U:

481

i 1

Uкор mg a13 x a23 y a33 z ;

Ui g 2 mij a13rijx a23rijy a33rijz ,

j 1

где m – масса корпуса;

g– ускорение свободного падения;

– координата в неподвижно ориентированной системе коор-

динат;

rij – вектор, соединяющий в точки 0 с центром массового звена

i-й ноги: rij rijx , rijy , rijz ;

– радиус-вектор из точки 0 до центра масс корпуса:

ρ x , y , z ;

a13 sin ; a23 cos sin ;

a33 cos cos , рис. 20.1.

Рис. 20.1. Модель плоской платформы робота

482

Если в начальный момент вращения система координат подвижная и ориентированно-неподвижная совпадали, то в дальнейшем по неплоской поверхности вращательное движение корпуса робота описывается тремя углами Эйлера. Если ось 0x – главная центральная продольная ось, через оси 0x и0z проходит сагиттальная плоскость, в которой угол между 0 и проекцией 0x на плос-

кость и 0 является углом тангажа, угол вращения вокруг оси 0x является углом крена корпуса при движении робота вдоль 0x

ивращения вокруг, угол рыскания – это угол между осью 0

ипроекцией 0x на плоскость 0 . Считаем все конечности иден-

тичны, системы координат и обозначений, связанных с i-й ногой, изображены на рис. 20.2.

Рис. 20.2. Схема конечности робота

Точка Pi – точка крепления i -й ноги с корпусом; ri p – радиусвектор точки Pi , соединяющий точки 0 с точкой Pi , i1, i2 , i3 – углы между бедром (стержнем) и осями 0x,0 y,0z .

Считаем, что вертикальная плоскость, в которой находятся стержни ног, перпендикулярна горизонтальной плоскости 0xy и во

времени 0 t .

483

Динамика звеньев ног описывается как поступательное движение центра масс звена и вращательное движение вокруг него. Центр масс звеньев для однородного стержня обычно располагается в их геометрических центрах. В общем случае будем считать, что центр

масс i-го звена «бедро» находится на расстоянии lic1 от точки крепления Pi , а центр тяжести i-го звена «голень» – на расстоянии lic2 от шарнира; lij – длина j-го звена i-й ноги.

Вводя функцию L T U T П, запишем уравнения Лагранжа II рода:

ных от обобщенных координат и 3k координат опорных реакций, когда число ног, контактирующих в данный момент с поверхностью, равно k .

где rlmf – вектор, соединяющий точку 0 с im – точкой контакта.

Системы уравнений (20.2), (20.3) образуют полную систему уравнений относительно всех неизвестных.

Вместо условий (20.3) можно сформулировать условия сохранения импульса и момента импульса при постановке конечности на поверхность (связь).

Обобщенные силы Qi , входящие в (20.2), связаны с силами и моментами сил реакций в точках опоры.

484

Обозначим N – главный вектор, M – главный момент сил реакции в точках опоры:

Используя выражения для элементарных работ сил и моментов N и M, полученные в теоретической механике, обычным образом

находим выражения для обобщенных непотенциальных сил. Для корпуса получим

Q M cos M sin .

Для опорных конечностей находим

Qi1 Mi1 Nxi cos i1 Niy sin i1 Lssi ;

Qi2 Mi2 Nxi sin i1 Niy cos i1 Lcci Nzi Lssi ;

Qi3 Mi3 Nxi sin i1 Niy cos i1 Lci Nzi Lsi .

Для переносимых конечностей получим

Рассмотрим более детально структуру уравнений (20.2), описывающих динамику робота.

485

Первые три уравнения описывают поступательное перемещение центра масс корпуса. Уравнения (20.1), (20.2), (20.3) описывают вращательные движения корпуса в кёнинговой системе координат.

Остальные уравнения системы (20.2) распадаются на n независимых друг от друга групп, для каждой из которых уравнения (20.2) можно записать в виде

Левые части содержат вторые производные от обобщенных координат корпуса и i-й ноги, а правые содержат задаваемые управляющие моменты, а для опорных конечностей – еще и реакций опоры.

Рассмотрим связь между ускорениями корпуса робота и обобщенными ускорениями опорной ноги. Используя условия (20.3) неподвижностиопорной точки относительно поверхности, запишем его ввиде

Проецируя (20.5) на оси координат, получим три линейных уравнения относительно обобщенных ускорений опорных ног. Угловые

ускорения im могут быть найдены из полученной системы в виде

где компоненты матрицы Ci cljk и столбца свободных членов находятся по формулам

c1ik uixk cos i1 uiyk sin i1 / Lssi ;

486

ускорениях обобщенных координат корпуса в уравнениях (20.5), спроецированных на оси координат 0xyz ;

uix7 , uiy7 , uzi 7 – члены, не зависящие от ускорений.

Соотношения (20.6) связывают опорные реакции и ускорения корпуса. Подставляя i1, i2 , i3 из (20.6) в соответствующую груп-

пу уравнений (20.4), получим линейные уравнения, выражающие обобщенные силы через ускорения корпуса и реакцию в i -й стопе:

где элементы матрицы D j dmkj порядка 3×6 зависят только от

фазовых координат робота. Разрешая уравнения (20.7) относительно опорных реакций, получим

487

d2l Ml 2 , d3l Ml 3 соответственно.

Соотношения (20.8) и (20.9) позволяют при известных линейных и угловых ускорениях корпуса и управляющих моментах в шарнирах ноги найти реакцию поверхности в точке опоры.

Проекции угловой скорости на оси 0xyz имеют вид, рис. 20.3:

z cos cos sin .

Рис. 20.3. Проекции угловой скорости на оси 0xyz

Компоненты вектора ω в главных центральных осях корпуса определяются из соотношения

488

где точка над буквой означает дифференцирование по времени. Проекции 1ij , ij2 , 3ij находим по формуле

489