Мехатроника и динамика мини-роботов

рис. 19.5 следует представления о векторах в точках A, B, C, D, H и связях между ними:

Рис. 19.5. Схема скоростей характерных точек робота

Дифференцируя (19.27), получим

471

Соотношения (19.28) с учетом (19.29) имеют вид

Условие движения точки Н по заданному пути записывается в виде

Дифференцируя (19.30), получим

Зная (19.31), можем найти скорость в точке В:

VB VA VBA.

Проецируя (19.32) на ось x , получим

VB VA VBA.

Так как колеса катятся без проскальзывания, то имеем

VB 1r1 1r1.

Соответственно скорость точки В относительно А определим из зависимости

472

Выражение (19.33) определяет значение угловой скорости ведущего колеса 1.

Кроме того, имеют место соотношения

VC VA VCA;

VC VA VCA;

VC 2r2 2r2;

VCA 4l1 l1.

Угловая скорость ведущего колеса 2 определяется формулой

2 VA l1 . r2 r2

Из рис. 19.4 видно, что скорость свободного колеса 3 в точке D вычисляется по формуле

473

Далее в аккумулируемой модели ведущее колесо 1 находится в середине оси ВС, имеет радиус r . Обобщенными координатами, описывающими движения, являются xA, yA, , . В предположе-

нии, что колесо в точке А взаимодействует с опорной поверхностью без скольжения, обозначая угол вращения , получим

Кроме того известно, что скорости точек В и С находятся из соотношений

VB VA д1 r1 ;

(19.37)

VC VA д1 r2 2.

Таким образом, из уравнений (19.36), (19.37) получим зависимости между величинами скоростей ведущих колес 1 и 2, заменяемых эффективным колесом 1:

1 h1 ;

2 h1 .

Так как r1 r2 r , тогда h1 l1 l0 . r1 r2

Необходимо обратить внимание на то, что в то время, когда точка Н перемещается по заданному пути и переходит на другую заданную траекторию, отсутствует аналитичность функции, описывающей границу траекторий. Тогда необходимо описывать движение в переходной области. В той области угловые скорости приводных колес можно соответственно аппроксимировать дополнительными аналитическими функциями.

Пусть точке Н переходит с круговой траектории на прямолинейную, тогда угловые скорости приводных колес можно описать зависимостями

474

1 10 10 VrA 1 e t ;

2 20 VrA 20 1 e t ,

где 10 , 20 – величины угловых скоростей в начале переходной

области,– постоянная аппроксимации переходных кривых.

Введение такой аппроксимации позволяет реализовать движение

сгладкими сменами параметров скорости и ускорения.

Всилу неголономности системы координаты связаны условиями, наложенными на скорости:

В векторно-матричном виде (19.38) записывается в классическомвиде:

Для рассматриваемой неголономной системы уравнения Лагранжа II рода записываются в виде

475

Проецируя (19.40) на оси координат, получим

m1 m2 m4 xA m1 m2 l1 cos m4l2 sin

m1 m2 l1 sin m4l2 cos 2 1;

m1 m2 m4 yA m1 m2 l1 sin m4l2 cos

m1 m2 l1 cos m4l2 sin 2 2 ;

M1 M2 N1 f1 N2 f2 h1;

Iz1 Iz2 Iz1 Iz2 h1 M1 M2 N1 f1 N2 f2

1r cos 2r sin ,

где m1 m2 , m4 – массы колес 1, 2 и платформы соответственно;

Jx1, Jx2 – моменты инерции колес 1, 2, округлены относительно осей x1 иx2 , связанных с этими колесами;

Jz1, Jz2 – моменты инерции относительно оси вращения этих

колес;

Jz4 – момент инерции платформы относительно оси z4 , связан-

ной с платформой. Считается, что оси системы являются главными центральными осями;

силы же N1, N2 – силы давления на соответствующие колеса; f1, f2 – коэффициенты трения качения соответствующих колес; M1, M2 – моменты привода колес;

l, l1, l2; h1 r1l1 1 – расстояния, указанные на схеме системы; r1 r2 r – радиусы колес.

476

В уравнениях (19.41) не учитываются масса колеса 3 и сопротивление его качению.

При решении обратной задачи динамики из уравнений (19.41) можно определить величины моментов приводов и множителей при заданном законе движения.

Преобразуем уравнения (19.41) к виду, более удобному для анализа, для чего, как и ранее, запишем систему (19.41) в виде

тогда условия связей (19.39) запишутся в виде

Вектор q2 выбираем так, чтобы его размер был равен числу степеней свободы, а det J1 q 0 , тогда

где J12 J1 1 q J2 q , In m – единичная матрица. Уравнения (19.42) можно записать в виде

M12 q q2 C12 q,q q2 B1 q J1T q λ;

(19.43)

M22 q2 q2 C22 q2 ,q2 q2 B2 q2 .

477

Уравнения (19.43) представляют редуцированную форму описания движения с неголономными связями. Полагая q2 , T , расписывая уравнения (19.43) в проекциях на оси координат, получим

m4l2 sin 2 cos 2m1 m4 r cos

sin 1;

m4l2 cos 2 sin 2m1 m4 r sin

2m1l12 m4l22 Iz4 2Ix1 2Iz1h12 m4l2r

M1 M2 N1 f1 N2 f2 h1;

2m1 m4 r2 2Iz1 m4l2r 2 M1 M2

N1 f1 N2 f2.

Уравнения Лагранжа II рода описывают динамику двухколесного робота, в форме (19.44) позволяют более эффективно анализировать прямые и обратные задачи, находить их решения.

478

Глава 20. ДИНАМИКА ШАГАЮЩЕГО МИНИАТЮРНОГО РОБОТА

20.1. Основные уравнения математической модели динамики робота

Мини-робот представляет собой абсолютно твердое тело (платформа, корпус), на котором монтируются двигатель, аккумуляторы, сенсоры, актуаторы, конечности, контактирующие с опорной поверхностью. Будем выделять корпус с жестко закрепленными на нем элементами как единое целое, конечности – как твердые тела (стержни), скрепленные через шарниры с корпусом, и, при необходимости учета их влияния на общую динамику робота, движущиеся элементы в корпусе робота (гироскопы, роторы). Геометрия масс описывается координатами центра масс, моментов инерции, центробежных моментов корпуса и геометрии масс каждой ноги соответственно, а также центра масс, моментов инерции и центробежных моментов всего робота. При этом надо иметь в виду конструкции корпуса и ног.

Если корпус при движении не меняет своей геометрии (экзоскелет), то центр масс и его геометрические моменты – постоянные величины. В биомеханике – это, например, жуки.

Если корпус меняет свою геометрию в процессе ходьбы (эндоскелет), то центр масс и его моменты меняются за счет изменения геометрии. В биомеханике – это, например, позвоночные.

Второй случай труднее моделировать математически и технически, поэтому будем рассматривать первый случай. В простых моделях конечности могут представлять собой прямые стержни, криволинейные стержни, в более сложных – кинематические пары. Для корпуса типа экзоскелета движение состоит из поступательного перемещения центра масс и вращательных движений под действием сил, приложенных со стороны конечностей в точках их крепления. Динамика составных конечностей представляет собой движения манипуляторов, в которых схват и крепление периодически меняются местами. При перемещении объектов с помощью ног выделяют две основные фазы движения конечности:

1)переносная;

2)опорная.

479