Мехатроника и динамика мини-роботов

f1 f2 f3 f – коэффициенты трения колес; M N – момент, вращающий колесо 1z;

M5 – момент управляющий колесом 2z;

M0 – момент сопротивления в паре трения «колесо-дорога»,

возникающего при повороте колеса 2z;

l, l1, l2 – соответствующее расстояние, вытекающее из геомет-

рии системы;

r1 r2 r3 r – радиусы соответствующих колес.

Выступающие в (19.5) матрицы М, С, В следуют из уравнения (19.4). Дальше принимаем, что m первых столбцов матрицы J (q)

460

Тогда

q JI12 (q) q2 ,

n m

где In m – единичная матрица.

Векторы скорости и ускорения можно также записать в виде

Используя также зависимости, вытекающие из проведенных преобразований, запишем уравнения (19.5) в виде

Матрица Jm – единичная.

Рассмотренные выше методы позволяют решать прямые и обратные задачи динамики.

461

В дальнейшем анализе полагаем

q1 [xA, yA, , ]T , q2 [ , ]T ,

тогда уравнение (19.7) запишем в виде

уравнения (19.8), а также (19.9) позволяют провести анализ прямых и обратных задач динамики без знания множителей Лагранжа. Уравнения же (19.6) запишем в следующей форме:

462

Из системы уравнения (19.10)–(19.13) можно определить множители Лагранжа, т. е. определить, как в течение анализируемого состояния изменяются составляющие сил сухого трения, возникающих в плоскостях взаимодействия колес и поверхности.

Рис. 19.2. Модель трехколесного робота: вид сверху и сбоку

463

19.2. Динамика модели четырехколесного миниатюрного робота

Рассмотрим модель четырехколесного мини-робота, изображенного на рис. 19.3. Два передних колеса 3 и 4 и задних 1, 2 заменяем эффективными колесами 2z и 1z соответственно, расположенными посередине осей в точках А и F. В качестве обобщенных координат берем, как и в случае трехколесного робота: xA, yA, , , , .

Уравнения неголономных связей, наложенных на робот, имеют вид (19.1). Уравнения Лагранжа II рода записываются в виде (19.2).

Определение обобщенных сил Q , кинетической и потенциальной энергии также проводится аналогично случаю трехколесного робо-

Рис. 19.3. Модель четырехколесного робота

464

Уравнения динамики четырехколесного робота имеют вид

2(m1 m3 12 m5 )xA (2m3l m5l2 )( sin 2 cos ) 1 3;

(19.14) 2(m1 m3 12 m5 ) yA (2m3l m5l2 )( sin 2 cos ) 2 4.

В реальной конструкции колеса 3 и 4 снабжены отдельными приводами (актуаторами) так, что моменты M3, M4 , прикладывае-

мые к ним, различные. Предположим, что мощности двигателей актуаторов равны и имеет место равенство

Учитывая зависимости, следующие из кинематики робота:

и подставляем 3, 4 из (19.16) в (19.15), получим

465

В реальной конструкции колёса также управляются независимыми двигателями актуаторов. Моменты, управляющие этими колесами обозначаются M35, M45 . Полагаем, что мощности двигате-

лей одинаковые, тогда, пренебрегая потерями энергии при передаче, получим зависимость

С учетом уравнений (19.16) из (19.18) получим соотношение

Предполагаем, что давление на колеса, взаимодействующие с опорной поверхностью, имеет статический характер и определено при предположении, что давление на передние колеса равно давлению на задние (давления на оси). Решая системы уравнений (19.14)– (19.19), можем проводить анализ прямых и обратных задач динамики мини-робота.

Характеризуя обратные задачи динамики, т. е. зная параметры движения, интерпретируем значениями моментов вращающих и управляющих. Как видно из уравнений (19.14), их решение представляет трудности, поэтому, как и в случае трехколесного робота, запишем (19.14) в векторно-матричном виде:

Вид матриц M, C, B, J вытекает из уравнений (19.14). Проводя аналогично тому, как это было сделано для трехколесного робота, преобразования, отделяющие множители Лагранжа от моментов, запишем уравнение (19.20) в виде

466

q1 J12 (q)q2;

q1 [xA, yA, , ]T ; q2 [ , ]T .

Расписывая уравнения (19.20), (19.21) в координатах аналогично тому, как это было сделано для трехколесного робота, получим для (19.20)

(M4 N4 f4 ) l 1w2 (N1 f1 N2 f2 )cos

(M3s M30 sgn )l2w1 (M4s M40 sgn )l2w2 rl sin ;

2Ix3l4l1 2 (w13w3 w23w4 )

(M3s M30 sgn )l2w1 (M4s M40 sgn )l2w2.

467

(2m3l m5l2 ) rl ( cos sin sin sin ) 2 4;

2Ix1 2Ix3 2Iz1h12 Iz5 2m1l12 2m3 (l2 l12 ) m5l22

rl sin Ix3l2 (w1 w2 ) (2m3l m5l2 )r cos

2Ix1 2Ix3 2Iz1h12 m1l12 2m3 (l2 l12 ) m5l22 rl cos

Структура уравнений (19.22) и (19.23) с учетом (19.18), (19.19)

позволяет анализировать прямые и обратные задачи динамики. Из уравнений (19.24), (19.25), (19.26) определяем значения множителей Лагранжа, т. е. составляющие сил сухого трения, действующих в плоскостях касания колес 1z и 2z с покрытием, чтобы реализовать программное движение мобильного колесного мини-робота:

468

2m1l12 2m3 (l2 l12 ) m5l22 2Ix1 2Iz1h12 2Ix3 Iz5 (2m3l m5l2 )

( xA sin y cos ) Ix3l2 (w1 w2 ) 2Ix3l2l1 2 (w12w3 w22w4 )

(M3s M30 sgn )w1l2 (M4s M40 sgn )w2l2 3l sin 4l cos ;

19.3. Динамика модели двухколесного миниатюрного робота

Модель двухколесного робота может иметь конструкцию с двумя ведущими колесами и опорным колесом, свободно устанавливающимся колесом или без него, если имеется система стабилизации, а также расположенных в одной плоскости (типа велосипеда).

Рассмотрим модель, когда два колеса 1 и 2 расположены на одной оси, а третьеопорное 3, как в схеме трехколесного робота, рис. 19.4.

469