Мехатроника и динамика мини-роботов

Системе (18.32) свойственна статическая ошибка, определяемая главным образом членом 2dΩ0 1.

При формировании закона управления (18.31) используется измеренное значение дистанции , а производная p может быть

получена дифференцированием сглаженного сигнала . Из структурной схемы (рис. 18.12) имеем уравнение

p2 2dΩ0 p Ω02 Ω02 з p 1.

Рис. 18.12. Структурная схема системы управления позиционной дистанцией

В этой системе статическая погрешность возникает только при полете с ускорением, однако эта погрешность незначительна.

18.3. Динамика систем автоматического управления группой

При выборе законов управления дистанцией и интервалом предполагалось, что измерительные и исполнительные устройства автоматов строя безынерционны, а динамикой авиадвигателей можно пренебречь. Это позволило сравнительно просто выбрать структуру

450

законов управления и установить необходимые значения передаточных чисел. Для исследования динамики переходных процессов необходимо учитывать действительные динамические характеристики элементов, входящих в замкнутый контур управления.

Рассмотрим некоторые случаи автоматического управления дистанцией между четырьмя дронами в строю при условии, что тяга двигателя устанавливается в соответствии с законом управления без запаздывания. Пусть дроны движутся строем «кильватер» и последующий дрон ориентируется в строю по предыдущему. Тогда уравнения строя в соответствии с системой (18.6)–(18.9) будут

где f12 FV12 и т. д.

Уравнение автомата тяги (автомата дистанции) возьмем в виде

для астатического регулятора; kд – коэффициент усиления;

k0 , k1 , k2 – периодические числа;

1 и 2 – постоянные времени, характеризующие несовершен-

ство измерительных и исполнительных устройств автомата дистанции, т. е. передачу полезных сигналов через инерционные звенья.

451

Будем полагать, что дистанция λ измеряется, а производные pλ

и p2λ получаются дифференцированием сигнала λ.

Если в структуре закона управления взять сигналы, пропорциональные и p , тогда, учитывая наличие погрешностей τ1 и 2

в образовании закона управления, а также других динамических погрешностей в замкнутом контуре управления, рассмотрим более общий закон управления (18.35). Заметим, что уравнение (18.35) должно быть записано для двигателей всех дронов строя.

Решая совместно уравнения (18.34) и (18.35), найдем

Из уравнений (18.38) следует, что возмущения, вносимые в систему управления изменением силы тяги ведущего дрона p1 или перена-

стройкой регулятора λ3 , передаются через систему как через фильтр, состоящий из одинаковых ячеек. Заметим, что заданная дистанция λ3

может бытьустановленаиизмененатолько наведущем дроне. Уравнения (18.38) являются чрезвычайно сложными и их анали-

тическое решение затруднено. На рис. 18.13–18.17 приводятся графики переходных процессов, полученные моделированием этих уравнений.

Рис. 18.13. Графики переходных процессов в статической системе управления при возмущении перенастройкой (а) и тягой (б)

452

Проанализируем графики, характеризующие переходные процессы в системе управления строем дронов.

В статической системе управления (см. рис. 18.13–18.15) имеется статическая ошибка, которую можно уменьшить путем увеличения

передаточного числа k0 . Процессы в системе при перенастройке автомата на новую дистанцию λ3 и при возмущении тягой p1 ве-

дущего дрона могут быть неколебательными (см. рис. 18.13), если передаточное число по позиционному сигналу k0 2 при значи-

тельных передаточных числах по скорости k1 8 и ускорению k2 8. Реализовать такие большие передаточные числа по скорости

и ускорению затруднительно из-за помех.

В статической системе управления с одной производной (см. рис. 18.14 и 18.15) переходный процесс становится колебательным, причем чем дальше ведомый дрон отстает от ведущего, тем больше колебания. Для устранения колебаний постоянная времени

T k1 / k0 должна быть T 10 c.

Астатическая система управления при прочих равных условиях более склонна к колебаниям (см. рис. 18.16 и 18.17), чем статическая, что в общем случае объяснимо. При увеличении передаточно-

го числа k0 амплитуда колебаний уменьшается, а частота возраста-

ет. Здесь характерным является то, что при возмущении перенастройкой λз и изменением тяги ведущего дрона дистанция между

ведущим и первым ведомым дронами меняется без колебаний, дистанция между первым и вторым ведомым дронами изменяется с небольшими колебаниями, но зато дистанция между последующими ведомыми дронами меняется с большими колебаниями.

Проблема создания систем автоматического управления строем дронов является актуальной, однако она еще не получила полного решения ввиду технических и принципиальных трудностей.

455

Глава 19. ДИНАМИКА КОЛЕСНЫХ МИНИАТЮРНЫХ РОБОТОВ

19.1. Динамика модели трехколесного миниатюрного робота

Рассмотрим модель трехколесной платформы робота, изображенную на рис. 19.1. Движение рассматривается в плоскости 0XY. Робот со смонтированным на платформе оборудованием моделируется однородной прямоугольной пластиной, главные оси инерции которой совпадают с геометрическими главными центральными осями.

Рис. 19.1. Модель трехколесного робота

Колеса 1 и 2 действительной конструкции заменим эффективным колесом 1z, расположенным в точке А, середине оси. Колесо 3 обозначим колесом 2z.

Обобщенными координатами, описывающими движение платформы являются xA , yA , , , , , где xA , yA – координаты точ-

ки А, расположенной на оси посередине между двумя колесами, и проходят точках В, С.

456

Поворотное колесо с центром в точке F характеризуется углами

и углом , вращение рулевого колеса характеризуется углом , ,

аведомых колес – углом .

Кинематические соотношения для неголономных связей имеютвид

xA r1 cos 0;

yA r1 sin 0;

(19.1)

xA l sin r3 cos( ) 0;

yA l cos r3 sin( ) 0.

Уравнения (19.1) выражают условия отсутствия проскальзывания, буксования, бокового смещения колес. При связях (19.1) только две из введенных координат независимые, таким образом, модель имеет две степени свободы.

Уравнения Лагранжа II рода динамики неголономной системы запишем в виде

где – q [xA , yA , , , , ] вектор обобщенных координат; Q – вектор обобщенных сил;

J (q) – реакции связей;

– вектор множителей Лагранжа, которые являются силами трения, лежащими в плоскостях контакта колес с плоскостью.

Кинематическая энергия Т имеет вид

E 6 12Tr(TioBiTioT ),

i 1

457

где В – матрица инерции i-й части;

Tio – матрица преобразования локальной i-й системы координат

к основной Oxyz.

Уравнения неголономных связей запишем в виде

J (q)q 0,

Вектор обобщенных сил Q определяется соотношениями

где Fi – вектор сил, действующих на i-й член, редуцированных

кточке начала i-й системы;

ri – вектор виртуального перемещения, являющегося нача-

лом i-й системы;

i – вектор виртуального вращения i-й части.

Зависимость между векторами ri , а также виртуального вращения i соответствующими обобщенными перемещениями, вы-

текающим из разложения скоростей точек А, В, С, которые определяют зависимость между соответствующими угловыми скоростями:

1 h1 ;

2 h1 .

458

По выполнению необходимых математических операций, вытекающих из уравнения Лагранжа II рода, движение анализируемой модели описывает систему дифференцируемых уравнений

(m1 m2 m3 m5 )xA (m1 m2 )l1( cos 2 sin )

(m3l m5l2 )( sin 2 cos ) 1 3;

(m1 m2 m3 m5 )yA (m1 m2 )l1( sin 2 cos )

(m3l m5l2 )( cos 2 sin ) 2 4;

1r cos 2r sin ;

(19.4)

Ix3 ( ) Ms M0 sgn ,

где m1, m2, m3, m5 – массы соответствующих частей; m3 – масса колеса 3, актуатора 6;

Ix1, Ix2 , Ix3, Iz1, Iz2 , Iz3, Iz5 – моменты инерции соответствующих частей осей;

Ix3 – учитывает момент инерции актуатора 6, определенным относительно оси za ;

N1, N2 , N3 – силы движения колес;

459