Мехатроника и динамика мини-роботов

17.2. Кинематика сечения мультикоптера

Рассмотрим случай, когда четыре винта расположены в углах квадрата или прямоугольника (квадрокоптер). Винты, расположенные на одном диаметре, вращаются в разные стороны. Если имеем шесть винтов в вершинах и правильного шестиугольника (гексакоптер), – винты вращаются в противоположные стороны.

Рассмотрим плоскость, проходящую через диаметр описанного круга.

Как показано на рис. 17.3, точка винта совершает движение по спирали, а это значит, что точка оси вращения совершает поступательное перемещение за один поворот на шаг h:

h 2 V ,

где h – шаг винта;

V – скорость поступательного движения;– угловая скорость винта.

Рис. 17.3. Схема угловых скоростей

400

Векторы поступательной скорости пары винтов, расположенных на одной балке, направлены в одну сторону, а угловых скоростей – в противоположные.

Если скорости равны, то центр масс движется поступательно в направлении V, рис. 17.4.

Рис. 17.4. Движение центра масс при равенстве скоростей

Если скорости не равны, то в точке Р существует МЦС и в плоскости пары винтов совершается вращение вокруг точки Р. Скорость в точке С – среднее арифметическое значений скоростей в точках А и В, рис. 17.5:

VAPa BPVb ;

Vc Va Vb . 2

Рис. 17.5. Схема для определения М

401

VAV Va cos ;

VBh VB cos .

Рис. 17.6. Схема для определения скорости движения вбок

Боковое движение линии АВ поступательное, если VAh VВh .

На самом деле АВ совершает не горизонтальное движение, а более сложное.

Имеет место ускоренное движение, когда вектор ε имеет то же направление, что и ω, а в случае замедления – в противоположную сторону, рис. 17.7:

a tg 2 ;

402

ными винтами. Винты могут отклоняться от вертикального положения с помощью автоматов перекоса, однако в мультикоптерной схеме считаем оси жесткими стержнями. Схематически корпус мультикоптера можно считать сфероидом вращения, у которого по большому диаметру прикреплены двигатели. Центр масс мультикоптера расположен в точке 0, рис. 17.9.

р

Рис. 17.9. Схема сил и скоростей мультикоптера

Заменим корпус мультикоптера системой масс, сосредоточенных в точках крепления двигателей, так, что центр масс остается в точке 0. В настоящее время распространены схемы с четным симметричным расположением винтов, жестко скрепленных с корпусом. В общем случае винты могут вращаться с разными угловыми скоростями и в разных направлениях, соответственно скорости поступательных перемещений всегда параллельны, но по величине могут

404

различаться. Тяговое усилие винта зависит от его угловой скорости, а направление совпадает с осью вращения и поступательной скоростью перемещения.

Рассмотрим случай четного n 2m числа симметрично расположенных винтов в углах правильного 2m-угольника, вписанного в окружность. В случае независимых между собой двигателей могут быть записаны уравнения движения.

Как известно, по третьему закону Ньютона сила действия равна силе противодействия, поэтому вращение винта, например, по часовой стрелке приводит к тому, что геликоптер будет вращаться против часовой стрелки, если на него не наложены связи, например, когда он стоит на земле. Чтобы исключить эффект противовращения, соседние винты должны вращаться в противоположные стороны с одинаковыми угловыми скоростями. В этом случае эффект вращения геликоптера в желаемом направлении осуществляется путем снижения (увеличения) угловых скоростей винтов через один. Движение геликоптера в вертикальном направлении достигается увеличением (подъем) или уменьшением (спуск) угловых скоростей всех винтов одновременно. Зависание (равновесие) осуществляется при равенстве суммы подъемных сил винтов и силы тяжести. Перемещение в горизонтальном направлении осуществляется уменьшением угловых скоростей вращения винтов в той части мультикоптера, куда агрегат должен перемещаться. В случае общего движения по траектории подъема или спуска проекции линейной скорости центра масс на оси 0x1 и на плоскость 0 y1z1 будут определять

направление и скорость перемещения центра:

405

или

Выполняя обычные преобразования

получим уравнения для движения центра масс точки 0:

где rc – координата центра масс в абсолютной системе координат; Vc – скорость центра масс.

Мультикоптер будет совершать вращательные движения на месте без перенесения центра масс, если будут возникать моменты сил тяги относительно каких-либо осей или точек.

Изменение угла нутации будет происходить, если пара двигателей, расположенных в плоскости, проходит через точку 0 перпендикулярно плоскости главного круга, рис. 17.10.

Рис. 17.10. Изменение угла нутации

406

Если силы в точках Aк, Ae не равны: F Aк F Ae , что обу-

словлено тем, что Aк Ae ,V Aк V Ae , то возникает момент вращения корпуса мультикоптера вокруг оси, проходящей через точку 0 перпендикулярно плоскости чертежа:

F Ae R F Ak R M0 R F Ae F Ak .

Считаем, что поворот происходит относительно линии углов. Так как для осесимметричной модели главная ось инерции проходит через точку 0 перпендикулярно плоскости большого круга, то будем считать угол (нутации) углом тангажа. Угол прецессии (крена) изменяется в зависимости от сил тяги винтов при 0.

В этом случае подъем происходит с вращением мультикоптера вокруг неподвижной вращательной оси за счет моментов сил относи-

тельно оси 0x1. Собственное вращение главной оси происходит во-

круг вертикальной главной оси перпендикулярно плоскости главного круга. При чисто вертикальном движении собственное вращение появляется в результате бегущего изменения тяги винтов двигателей через один по кругу. Если в плане рис. 17.10 уменьшение тяги бежит против часовой стрелки, то вращение будет в обратном направлении по часовой стрелке, а если – по часовой, то вращение будет против часовой. Это является результатом того, что при уменьшении тяги винта происходит нутация, бегущая по кругу, а в результате получается проекция силы тяги в направлении вращения, рис. 17.11.

Рис. 17.11. Нутация, бегущая по кругу

407

Вращательные движения мультикоптера в общем случае требуют знания моментов инерции и центробежных моментов. В силу осесимметричности большая главная ось инерции проходит вертикально и перпендикулярно плоскости главного круга, две другие главные оси лежат в плоскости большого круга, так как корпус мультикоптера имеет симметрию эллипсоида вращения с периодическим повторением двух главных значений моментов инерции. Оси проходят либо через пары двигателей, расположенных на главном диаметре, либо через середины сторон правильного многоугольника. Например, для

квадрокоптера имеем симметрию через 2 поворотов симметрии. Момент инерции относительно оси 0x

2l

Ix A miri2 m0 R2 2l.

i 1

Для квадрокоптера

I y Iz B c 2mo R2 ;

Ix 4mo R2 B c.

Для гексакоптера

Ix A 6m0 R2.

Момент вращения вокруг осей x0 , y0 , z0

M xi Fi R cos αi ,

где i – угол между силой тяги Fi и касательной к окружности большого круга в точке Ai . Если при наклоне платформы мульти-

408

коптера сила Fi проецируется не на касательной вектор , а в плоскость 0 y z, то имеем вид, показанный на рис. 17.12.

Рис. 17.12. Схема для квадрокоптера

Рис. 17.13. Схема для гексакоптера

Вращательный момент

M xi Fi R cos i cos i ,

409