Мехатроника и динамика мини-роботов

где

F2 f2' jf2 F3 f3' jf3.

Эти уравнения по форме аналогичны исходным уравнениям главы 10. Однако они описывают сложное пространственное движение БПЛА, тогда как каждая из систем (16.1.) и (16.2) описывает плоское движение. Применяемый способ преобразования уравнений движения БПЛА имеет то преимущество, что исследование системы четвертого порядка сведено к исследованию системы второго порядка. Такое упрощение значительно облегчает решение задачи нахождения уравнений системы управления.

Движение по крену, т. е. движение вокруг оси x БПЛА с двумя плоскостями симметрии, отличается от соответствующего движения БПЛА самолетной схемы тем, что его можно принимать практически независимым от движений рыскания и тангажа. Поскольку площади крыльев и оперений относительно малы, то демпфирующий момент крена мал при полете в атмосфере с малыми скоростями и уравнение движения по крену можно представить в виде

Jx d22γ M x p , dt

t

где γ xdt – угол крена;

0

M x p – момент, создаваемый системой управления движением по крену.

16.2. Динамика осесимметричных беспилотных летательных аппаратов ракетного типа

Осесимметричные БПЛА (снаряды) (рис. 16.4) стабилизируются посредством сообщения им угловой скорости вращения вокруг продольной оси. Это накладывает особые требования на динамику движения снаряда. При выводе уравнений движения будем полагать, как и выше, что силами тяжести можно пренебречь. Предположим

также, что угловые скорости ωy и ωz малы по сравнению с x .

390

y

x

z

Рис. 16.4. Осесимметричный летательный аппарат

Аналогично будем принимать

V Vx2 Vy2 Vz2 Vx .

При этих предположениях приближенные уравнения движения в форме Эйлера примут вид

Вдальнейшем первое и четвертое уравнения системы (16.3) не рассматриваются.

Восесимметричных снарядах в качестве характерного размера принимается диаметр d. Введем относительные угловые скорости:

391

Напишем линеаризованные выражения для аэродинамических сил и моментов, входящих в правые части уравнений (16.3):

где cyМ , czМ и myМ , mzМ – коэффициентысили моментовМагнуса; q – скоростной напор;

cy1, cz1 и my1, mz1 – коэффициенты сил и моментов, появляю-

щихся вследствие несимметрии несущих поверхностей;

Yp , Z p и M yp , M zp – силы и моменты, появляющиеся за счет

несовпадения вектора тяги с осью 0x и за счет несовпадения линии действия тяги с центром масс.

Очевидно, силы Yp и Z p и моменты M yp , M zp могут быть спе-

циально созданы с целью управления снарядом. При этом для управления движением центра масс должны быть созданы силы

Yp и Z p , а для управления углами и – моменты M yp , M zp . Вращающий момент M x можно представить в виде

верньерными двигателями или аэродинамическими рулями, служащая для сообщения снаряду скорости вращения x .

392

В силу осевой симметрии снаряда можно положить

Умножим первое и третье уравнения системы (16.5) на j и сло-

жим соответственно со вторым и четвертым уравнениями. Вводя обозначения:

393

V1 Vz jVy ;

1 z j y ,

получим

Выражения (16.6) являются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Введенные здесь комплексные переменные W и позволили понизить порядок дифференциальных

уравнений с четвертого до второго, что упрощает исследование динамики.

Проведем исследование устойчивости движения вращающихся снарядов. Для этого рассмотрим характеристическое уравнение сис-

темы (16.6):

p p2 A D p AD BC 0.

394

Коэффициенты этого уравнения являются комплексными. Корни уравнения будут

где

Для устойчивости системы необходимо, чтобы вещественные части корней (16.7) были отрицательны. Это требование сводится к выполнению двух неравенств:

Из этих неравенств при заданных параметрах снаряда можно определить границы устойчивости.

395

Глава 17. КИНЕТИКА ВИНТОВ И КОРПУСА ГЕЛИКОПТЕРОВ

17.1. Кинематика лопасти винта и кинематика вертикального движения вверх

Автоматическое управление мультикоптером является сложной и интересной задачей.

Гексакоптеры представляют собой разновидность летательных аппаратов вертолетной схемы, оснащенных шестью несущими винтами. Полет мультикоптера осуществляется за счет подъемной силы, которую создают несущие винты. Как правило, винты расположены на крест-накрест пересекающихся балках и вращаются в диагонально противоположных направлениях, причем каждый винт приводится в движение отдельным двигателем.

Система координат О1X1Y1Z1 , рис. 17.1, жестко связана с корпусом летательного аппарата, ось Z1 – одна из осей, на которой вращается винт (лопасть).

Рис. 17.1. Схема винтового движения

396

Точка М – точка лопасти, для которой должно выполняться ра-

ОX1, ОY2 перемещаются параллельно самим себе. Тогда движение

точки М можно рассматривать как абсолютное относительно системы О1X1Y1Z1 и относительное в системе О2 X2Y2Z2 . Уравнение (17.1)

тогда имеет вид

Vm Ve Vr ,

где Ve – скорость переносного движения;

Vr – скорость относительного движения точки М. Из рис. 17.1 следует, что

tg α Vr Vm ,

Ve R

где R – расстояние от точки М до оси вращения.

Таким образом, точка М совершает винтовое движение в силу наличия крутки лопасти, что обусловливает поступательно перемещение оси вращения винта с корпусом гексакоптера. Шаг винта h

h V0T 2 V0 ,

где T 2 – период вращения точки М.

397

Параметр винта р

p Vω0 .

Рассмотренное движение называется кинематическим винтом. Если VО1 и – переменные, то движение мгновенно винтовое. В этом

случае p p t .

2. VО1 ω. Пусть теперь поступательное движение происходит

в горизонтальном направлении перпендикулярно оси винта, рис. 17.2. Пусть вектор VО1 перпендикулярен оси О1Z1. Как известно, посту-

пательное движение эквивалентно паре вращений, которую построим следующим образом. Вектор ω1 ω. Вектор ω2 лежит в плоскости

П, перпендикулярной VО1 в точке О3 , и ω2 ω1.

Рис. 17.2. Движение перпендикулярной оси винта

Тогда, используя свойства эквивалентности систем векторов, можем записать

398

Это означает, что результирующее движение эквивалентно одному вращению вокруг мгновенной оси вращения О3 со скоростью

VО ω О1О3.

3. VО1 – произвольная. Поступательное движение оси в произ-

вольном направлении.

Пусть теперь лопасть вращается со скоростью ω и совершает поступательное перемещение в произвольном направлении со скоростью VО1 . Представим VО1 в виде

VО1 Vпар Vпер,

где Vпар || ω, Vпер перпендикулярна ω, Vпер ω, тогда, как и в слу-

чае «2», Vпер ~ ω1, ω2 .

Соотношения эквивалентности имеют вид

VО1, ω ~ Vпар,Vпер, ω ~ Vпар, ω, ω1, ω2 ~ Vпар, ω2 ,

так как ω, ω1 ~ 0.

Таким образом, движение приводится к мгновенно-винтовому, совершаемому вокруг оси О3Z, отстоящий от О1Z1 на расстояние d.

Ось вращения совершает поступательное вверх и вращательное движение.

399