Мехатроника и динамика мини-роботов

Эти уравнения показывают, что управляющее воздействие mk не

будет оказывать какого-либо влияния на движение по координате z j , если

т. е. когда jk 0 для k 1, 2, , r.

Запись в форме (1.5) означает, что элементы j-й строки матрицы все равны нулю. Отсюда следует вывод, что неуправляемыми координатами системы являются все те канонические координаты, которые соответствуют нулевым строкам матрицы . Равенство нулю всех элементов этих строк матрицы делает невозможным управление по соответствующим им координатам. Это означает также, что изменение координат происходит независимо от управляющих воздействий и, следовательно, целиком определяется начальными условиями и внешними возмущениями. Можно сказать, что эти координаты полностью неуправляемые.

Приведенное рассмотрение позволяет дать следующее определение управляемости: процесс, описываемый уравнением (1.4), является управляемым, если матрица не содержит строк, все элементы которых равны нулю; координаты, соответствующие ненулевым строкам , считаются управляемыми.

На основе описанного выше подхода к определению управляемости были получены некоторые общие условия управляемости, касающиеся составных систем. Эти условия можно сформулировать следующим образом.

1. Последовательное соединение двух систем. На рис. 1.16

показана составная система, в которой за звеном Pa следует звено Pb. Пусть собственные значения матрицы звена Pa равны

1a , 2a , , pa , а звена Pb 1b , 2b , , qb .

Тогда можно показать, что:

а) составная система является управляемой, если оба звена Pa и Pb являются управляемыми;

30

б) если Pa и Pb – управляемые звенья, то каждая из неуправляе-

мых координат составной системы обязана своей неуправляемостью звену Pa .

Рис. 1.16. Составная система при последовательном соединении двух звеньев

2. Параллельное соединение двух звеньев. На рис. 1.17 пока-

зана составная система, в которой параллельно соединены два звена Pa и Pb. Можно показать, что для полной управляемости составного

звена необходимо и достаточно, чтобы оба звена Pa и Pb были управляемыми.

Рис. 1.17. Составная система при параллельном соединении двух звеньев

3. Соединение двух звеньев с образованием цепи обратной связи. Рассматриваемая составная цепь показана на рис. 1.18, на

котором Pa – звено в прямой и Pb – звено в обратной цепи контура системы. Составное звено, в котором за звеном Pa следует звено Pb , обозначим P1, и составное звено, в котором за звеном Pb следует звено Pa , обозначим P2.

Рис. 1.18. Составная цепь соединения двуз звеньев с образованием цепи обратной связи

31

Тогда можно показать, что:

а) для управляемости составной системы необходимо и достаточно, чтобы последовательная цепь P1 была управляемой;

б) составное звено является управляемым, если оба звена Pa и Pb

являются управляемыми;

в) если Pa и Pb – управляемые звенья, то любая неуправляемая

координата составной системы является также неуправляемой координатой цепи P1 и своей неуправляемостью обязана звену Pb .

1.5.1. Региональная управляемость

Систему или объект принято называть регионально управляе-

мыми, если они могут быть переведены из некоторого начального состояния x t0 в окрестность желаемого состояния равновесия

x t1 за конечный интервал времени t1 t0. Заметим, что когда на управляющие воздействия m наложены ограничения, то переход точно в состояние x nT 0 за n периодов прерывания возможен

только из ограниченного множества начальных состояний x 0 ,

даже если система является полностью управляемой.

Понятие региональной управляемости оказывается полезным при синтезе некоторых нелинейных систем, когда ставится задача отыскания управления, переводящего систему в окрестность состояния равновесия, т. е. рассматривается приближенноерешение задачи.

1.5.2. Полная управляемость

Систему или объект принято называть полностью управляемыми, если они могут быть переведены из некоторого начального со-

стояния x t0 в желаемое состояние равновесия x t1 за конечный интервал времени t1 t0. Другими словами, система является полностью управляемой, если существует управляющее воздействие m t , определенное на конечном интервале времени t0 t t1, ко-

торое переводит систему из начального состояния x t0 в желаемое

32

Необходимые и достаточные условия полной управляемости для случая дискретных систем можно сформулировать следующим образом.

Линейный дискретный процесс n-го порядка является полностью управляемым тогда и только тогда, когда векторы

s1 T h T ;

s2 2T h T ;

…………………….

sn nT h T

линейно независимы.

Эти векторы возникают в связи со следующими преобразованиями от непрерывных систем к дискретным и от аналогового управления к цифровому. Рассмотрим процесс, описываемый уравнением

x t Ax t dm t ,

в котором m t – единственное (скалярное) управляющее воздей-

ствие.

Случай единственного управляющего воздействия рассматривается ради упрощения интерпретации получаемых выражений и может быть обобщен. Уравнение переходных состояний процесса в дискретной записи имеет вид

33

Предположим теперь, что x T 0. Тогда начальное состояние x 0 , из которого переход в состояние равновесия можно совершить за один период Т, найдем в виде

x 0 φ T h T m 0 m 0 s1.

Если сигнал m 0 свободен от ограничений, то система из всех своих начальных состояний x 0 , лежащих на направлении вектора s1, может быть переведена в состояние x T 0 за один период Т. Если на сигнал m 0 наложены ограничения, то область приводи-

мых начальных состояний уже не будет содержать целиком линии, совпадающей с s1.

При k 1 из формулы (1.6) находим

x 2T φ T x T h T m T .

Используя выражение(1.7) и свойства матрицыперехода, получаем

x 2T φ 2T x 0 φ T h T m 0 h T m T .

Предположим, что x 2T 0. Тогда начальное состояние x 0 ,

из которого можно достичь состояния равновесия за два периода, найдем в виде

Таким образом, находим, что если сигналы m 0 и m T сво-

бодны от ограничений, то система из своих начальных состояний, принадлежащих плоскости, содержащей векторы s1 и s2 , может

быть переведена в состояние x 2T 0 за два периода. Однако если на один из сигналов m 0 или m T или одновременно на оба наложены ограничения, то область приводимых начальных состоя-

34

ний будет включать лишь часть этой плоскости, содержащей базисные векторы s1 и s2.

По аналогии с предыдущим при k n получаем

x 0 m 0 s1 m T s1 ... m i 1T si m n 1T sn ,

где si φ iT h T , i 1, 2, , n, – линейно независимые векторы. Векторы si составляют базис в пространстве состояний процесса. Таким образом, заключаем, что если управления m iT i 1, 2, , n свободны от ограничений, то любое начальное

состояние x 0 можно представить в виде линейной комбинации векторов si , и поэтому из состояния x 0 в состояние равновесия x nT 0 система может быть переведена самое большее за n периодов, т. е. за время t1 nT. Однако если на управления m iT наложены ограничения, то некоторые начальные состояния x 0 уже нельзя будет представить в виде ограничения. Следовательно, в этом случае для перевода системы из начального состояния x 0 в состояние x nT 0 потребуется затратить больше времени.

Аналогичным образом можно получить условия управляемости непрерывных систем. Можно показать, что непрерывный во времени процесс n-го порядка, описываемый уравнением

x Ax dm,

является полностью управляемым тогда и только тогда, когда векторы d, Ad, , An 1d линейно независимы.

1.5.3. Наблюдаемость

Запишем выражение типа (1.3) для вектора у выхода линейного многомерного процесса:

35

где y – p-мерный вектор, представляющий выходные переменные;

x – n-мерный вектор входных переменных; B – матрица выхода размера p n;

G – матрица обхода системы размера p r.

(1.9)

36

Координату состояния принято называть наблюдаемой, если она может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным. Анализ уравнений (1.9) показы-

вает, что координата xk может быть определена или для нее может быть найдена оценка по выходным переменным y1, y2 , , yi , , yp ,

если коэффициенты bik для i 1, 2, , p не все равны нулю. Другими словами, xk является наблюдаемой координатой, если элемен-

ты k-го столбца матрицы выхода не все равны нулю. Если это условие не соблюдается, то координату xk называют ненаблюдаемой.

Таким образом, линейный процесс является наблюдаемым, ес-

ли матрица выхода B не содержит столбцов, элементы которых

равны нулю.

Частным случаем наблюдаемости является идентифицируемость системы, когда по известному входу и измеренному (наблюдаемому) выходу можно оценить компоненты матрицы В (параметры системы).

1.6.Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость

вдискретных системах

Расширим модель системы, добавив модель наблюдения, связывающую наблюдение y с состоянием x. Пусть объект описывается

уравнениями

x k 1 Ax k Bu k ;

(1.10)

y k Cx k ,

где x – вектор размерности n.

Дадим эквивалентные определения управляемости, наблюдаемости, идентифицируемости.

Объект называется управляемым, если можно найти такой (быть может, неограниченный) вектор управления, который из произвольного начального состояния переводит систему в произвольное конечное состояние за ограниченное время. Таким образом, необ-

37

ходимо найти условие, при котором можно определить уравнение, которое переводит систему из состояния x 0 в заданное состояние

x n пошагово:

x 1 Ax 0 Bu 0 ;

x 2 Ax 1 Bu 1 A2 x 0 ABu 0 Bu 1 ;

x n An x 0 An 1Bu 0 Bu n 1

или

Поскольку A, x 0 и x n известны, левая часть уравнения (1.10)

определена. Единственное решение u существует только тогда, когда матрица

An 1B An 2 B | B

имеет ранг n. В этом случае A, B называют управляемой парой.

Объект называется наблюдаемым, если по измерениям выходного сигнала объекта можно определить его состояние. Таким образом, необходимо найти условие, при котором по известным измере-

ниям y можно определить состояние x 0 :

y 0 Cx 0 ;

y 1 Cx 1 CAx 0 ;

y n 1 CAn 1x 0 ,

38

или, транспонируя, имеем

y 0 y 1 | y n 1 x 0 C A C | A'n 1C ' .

Так как векторы y известны, единственное решение x 0 существует только тогда, когда матрица

C A C | A'n 1C '

имеет ранг n. В этом случае A,C называется наблюдаемой па-

рой. Введение обратной связи может отразиться на наблюдаемости объекта.

Объект называется идентифицируемым, если по измерениям координатсостоянияобъекта можно определитьматрицу системыА:

x 1 Ax 0 ;

x 2 A2 x 0 ;

x n An x 0 ,

или

Так как векторы x известны, единственное решение для А существует только тогда, когда матрица

x 0 Ax 0 | An 1x 0

имеет ранг n.

39