Мехатроника и динамика мини-роботов

rz – радиус инерции самолета.

Система дифференциальных уравнений (11.10) является линейной математической моделью продольного движения летательного аппарата.

Входящие в уравнения (11.10) коэффициенты nik являются известными функциями времени. В короткие промежутки, не превосходящие постоянную времени τa более чем на один порядок, их

можно принять постоянными. В табл. 11.1 даны значения этих коэффициентов для БПЛА для случая прямолинейного горизонтального полета с постоянной скоростью. Коэффициенты уравнений (11.10) безразмерны, поэтому по ним трудно судить об изменении динамических характеристик БПЛА по режимам полета.

300

Таблица 11.1

Коэффициенты функции времени

Для учета влияния режимов полета на динамику самолета рассмотрим размерные коэффициенты nik , которые связаны с коэффи-

циентами nik соотношениями

301

Поскольку постоянная времени τa зависит от скорости полета

и плотности воздуха (высоты), то все размерные коэффициенты меняются по режимам полета. Коэффициенты n12 , n13 , n22 , n0 , n33 ма-

ло зависят от ρ0 и V0 , поэтому

n12 , n13 , n22 , n0 , n33 ~ ρ0V0 .

Коэффициенты n31, n32 и nв обратно пропорциональны плотно-

учитывая их связь с размерными коэффициентами, находим

n31, n32 , nв ~ ρ0V02 .

Коэффициенты n11, n14 , nд, n21, n24 и n34 являются сложными функциями от ρ0 и V0 , поэтому и соответствующие размерные коэффициенты являются сложными функциями тех же параметров.

Рассмотрим природу коэффициентов nik . Коэффициенты n11, n22 , n33 характеризуют степень естественного демпфирования движений по каналам , α и , причем чем они больше, тем быстрее затухают движения.

Коэффициенты nik i k с разными индексами характеризуют перекрестные связи между каналами , α, и h. Эти связи могут быть слабыми, средними и сильными. Слабые связи, соответствующие коэффициентам n14 , n24 и n34 , учитывающим изменение

плотности воздуха с высотой полета, оказывают влияние на движения БПЛА с очень малыми частотами (порядка тысячных долей герца), не имеющими значения для управляемого полета. Средние

связи, соответствующие коэффициентам n12 , n21, n13 и n31 , характе-

302

ризуют взаимное влияние канала скорости полета и каналов α и . Эти связи существенны в области частот фугоидных колебаний и являются причиной появления последних. Сильные связи, характеризуемые коэффициентами n23 и n32 , проявляются на всех

частотах, в том числе и на частотах короткопериодических колебаний, которые обусловлены этими связями.

Коэффициент n32 ~ mzα0 характеризует продольную статиче-

скую устойчивость, причем если n32 0 (или mzα 0 ), то БПЛА

устойчив, в противном случае неустойчив. Эффективность регулирующих органов характеризуется коэффициентами nд, nд1, nв.

11.2. Частные случаи продольного движения. Передаточные функции и частотные характеристики

Первые три уравнения системы (11.11) могут быть исследованы независимо от последнего уравнения. Если предположить, что

то получим систему, описывающую собственные движения (колебания) ЛМР.

Характеристическое уравнение этой системы имеет четыре корня, которые могут быть либо вещественными, либо попарно сопряженными комплексными. Обычно одна пара корней по абсолютной

303

величине значительно больше (более чем на порядок) второй пары. Пара больших корней соответствует так называемому короткопериодическому движению, т. е. угловому колебанию БПЛА относительно центра масс. При этом изменяются углы атаки и тангажа, а скорость полета неизменна. Пара малых корней характеризует длиннопериодическое (фугоидное) движение, при котором изменяются скорость полета и угол тангажа. При фугоидном движении сумма моментов относительно поперечной оси равна нулю.

Для рассмотрения короткопериодического движения положим0, тогда из системы (11.11) получим

Из уравнений (1.12), применяя преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях, получим передаточные функции

где ω02 n32 n22n33; 2d0ω0 n0 n22 n33.

Из выражений (11.13) следует, что БПЛА по отношению к углу атаки α является колебательным звеном, тогда как по отношению

304

к углу тангажа его передаточная функция может быть представлена в виде последовательного соединения колебательного, форсирующего и интегрирующего звеньев (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Структурная схема динамики ЛМР

На рис. 11.5 динамика БПЛА в соответствии с системой уравнений (11.12) характеризуется двухканальной структурной схемой с асимметричными перекрестными обратными связями. Поскольку каждый из каналов включен в обратную связь другого канала, это дает ясное представление о динамике системы и позволяет легко находить любую из передаточных функций.

Рис. 11.5. Структурная схема динамики БПЛА

Для получения частотных характеристик БПЛА положим в выражениях (11.13) p jω,

где ω – относительная частота, связанная с частотой соотношением ω = τаω.

305

Тогда амплитудные частотные и фазовые частотные характе-

ристики будут определяться выражениями

Оценим ширину области существенных частот БПЛА, для чего условимся считать существенными такие частоты, при которых амплитуда колебаний угла атаки составляет 5 % от амплитуды на нулевой частоте, рис. 11.6. Из выражения (11.14) получаем наиболь-

шую частоту ωm из области существенных частот:

Рис. 11.6. Графики зависимости частоты и коэффициента демпфирования от режимов полета

306

Уравнения длиннопериодического движения можно получить из системы (11.11), если учесть равновесие моментов относительно поперечной оси:

Особенности этого движения определяются свойствами характеристического уравнения системы (11.15):

p2 A1 p A2 0,

где

A1 n11 n31 n12 n13 ;

n32

Если предположить, что угловые координаты и α стабилизи-

рованы быстродействующим автопилотом, то α 0 и вместо системы (11.15) получим

p n11 nд д f1.

Это выражение, приближенно описывающее движение центра масс БПЛА, будет использовано при рассмотрении автоматов скорости полета.

307

Глава 12. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

12.1. Линейная модель управления высотой полета

Движение центра масс БПЛА должно совершаться по программной траектории. Выбор траектории полета обусловливается различными факторами, среди которых основными являются безопасность полета, экономичность, тактические соображения и др.

При реализации систем управления движением центра масс предусматривается управление высотой полета, боковым отклонением, пройденным расстоянием, горизонтальными, вертикальными и боковыми составляющими скоростей и ускорений.

Для формирования контура управления высотой полета необходимо получать информацию о высоте с помощью, например, барометрического высотомера, информацию о скорости изменения высоты, получаемую путем дифференцирования сигнала высоты, информацию об угле тангажа, которая необходима для демпфирования движения центра масс, и информацию об угловой скорости тангажа, необходимую для демпфирования угловых движений. Схема на рис. 12.1 отражает указанную структуру сигналов для статического автопилота.

Рис. 12.1. Структурная схема системы управления высотой полета

Рассмотрим работу схемы при отклонении высоты полета от заданной, например, при наборе высоты (рис. 12.2). В горизонтальном установившемся полете (точка 1) между вектором скорости V

308

и продольной осью БПЛА x имеется положительный угол атаки α0. Пусть в точке 2 автопилотом с помощью привода управления

создано рассогласование h h3 h (где h3 и h – соответственно

заданная и фактическая относительные высоты полета), под действием которого произойдет отклонение руля высоты и продольной

оси x кверху, при этом угол атаки получит приращение Δα = α α0 ,

что приведет к увеличению подъемной силы. Вследствие этого вектор скорости начнет поворачиваться вверх и траектория полета искривится. В точке 3 уменьшается рассогласование h и возрастает угол тангажа, что приведет к уменьшению угла отклонения руля высоты. При этом уменьшатся угол атаки и приращение подъемной силы, поэтому вектор скорости перестанет поворачиваться. Между точками 3 и 4 имеется такая точка, в которой рассогласование h становится равным углу тангажа, поэтому руль высоты займет нейтральное положение, а угол атаки станет равным значению α0 ,

которое было в горизонтальном полете. При дальнейшем наборе высоты h продолжает уменьшаться, поэтому под действием сигнала угла тангажа руль будет отклонен вниз, а угол атаки станет отрицательным (точка 4). Траектория полета будет искривляться выпуклостью вверх, пока ЛА не перейдет в точке 5 в горизонтальный полет. Теперь угол атаки опять будет равен α0.

Рис. 12.2. Схема набора высоты

309