Мехатроника и динамика мини-роботов

Предположим, что в данном случае элементы имеют такую же надежность, как и в предыдущем примере. Таким образом, вероятность безотказной работы параллельно соединенных эквивалентных элементов

RAC 0,9 0,7 0,63

и

RBD 0,8 0,6 0,48.

Следовательно, вероятность безотказной работы системы

RS 1 1 RAC 1 RBD 1 0,37 0,52 1 0,1924 0,8076.

Заметим, что различие в значениях показателя надежности систем обусловлено различным соединением подсистем.

При рассмотрении комбинаций последовательно и параллельно соединенных элементов применимы прямые методы вычислений, используемые в случае простых систем с последовательным и параллельным соединениями элементов. Таким образом, для анализа систем с комбинациями последовательных и параллельных соединений элементов основные формулы применяются последовательно.

1.4.5. Анализ надежности сложных систем

Конфигурация некоторых изделий или характер сложных отказов могут привести к созданию систем, для описания которых параллельное или последовательное соединение элементов не годится. В качестве примера рассмотрим систему, изображенную на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Конфигурация сложной системы

20

В этой системе отказ подсистемы E сразу нарушает пути ED и EC. Таким образом, это соединение не является параллельным. Может быть предложено несколько способов описания такого случая. Рассматриваемый здесь метод не является простейшим для некоторых конкретных приложений. Однако его всегда можно применить, и он позволяет рассмотреть влияние различных видов отказов на работу системы.

Метод состоит в том, что рассматриваются все взаимоисключающие способы появления отказов в системе. Обозначим элементы A, B иС. Определим A как событие, состоящее в том, что элемент A

работает безотказно. Введем аналогичные определения для B иС.

Пусть P A 0,95, P B 0,90 и P C 0,85.

Затем при допущении независимости отказов вычисляются веро-

Поскольку появления отказов являются взаимно несовместными событиями, эти вероятности можно суммировать. Например, если

отказ вызывают только события A B C , A B C и A B C,

21

то вероятность появления отказа равна 0,0808 0,0042 0,00080,0858. Этот метод позволяет анализировать и систематизировать

влияние на систему каждого способа появления отказа. Очевидным недостатком метода является то, что число способов

появления отказов быстро возрастает при увеличении числа элементов. Число способов появления отказов можно легко вычислить.

ния отказов, когда выходят из строя два элемента, а общее число различных способов появления отказов

n n 2n. x 0 x

Громоздкие вычисления, неизбежные для данного метода, можно упростить, используя машинные методы.

1.4.6. Преобразование надежности при проектировании

Уровень надежности определяется в процессе проектирования, и на последующих этапах изготовления, сборки и поставки системы невозможно повысить этот заложенный уровень надежности. На этапе проектирования определяются также структура системы, а выбранная структура системы влияет на уровень надежности и определяет затраты, необходимые для достижения этого уровня. Таким образом, предварительный анализ надежности, а также определение многих других конструктивных параметров необходимо проводить на этапе проектирования.

Проектировщики, конструкторы, создавая систему, должны исследовать основные методы теории надежности для оценки работоспособности конструкции. После завершения проектирования необходимо провести расчетную и экспериментальную оценку показателей надежности изделия. Поэтому важно, чтобы оценка уровня на-

22

дежности и стоимости различных проектов была выполнена прежде, чем сделан окончательный выбор. Рассмотрим некоторые компромиссные решения, принимаемые при расчете надежности, которые могут оказаться полезными при оценке различных вариантов.

1.4.7.Проектирование надежности систем

споследовательным соединением элементов

Вследствие характера системы с последовательным соединением элементов надежность зависит как от числа элементов, так и от их уровня надежности. Эта зависимость показана на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Вероятностьбезотказнойработысистемыспоследовательнымсоединением элементов, характеризующихся вероятностью безотказной работы R

Как можно видеть, надежность системы с последовательным соединением элементов можно увеличить за счет уменьшения числа последовательно соединенных элементов и за счет повышения надежности каждого из них. При этом вероятность безотказной работы системы возрастает незначительно. Очевидно также, что с увеличением числа элементов вероятность безотказной работы системы уменьшается.

23

1.4.8. Проектирование надежности систем с параллельным соединением элементов

Параллельное соединение элементов обычно рассматривается как способ повышения надежности системы. Однако этот выигрыш не всегда может быть реализован. Прежде всего проектирование системы с параллельным соединением элементов механического типа обычно является исключительно трудным делом. По-видимому, более типичны такие формы резервирования, как обеспечение запасными частями (ненагруженный резерв) или использование конструкции с распределением нагрузки.

Вторая проблема, связанная с параллельным соединением элементов, заключается в следующем.

При заданной надежности элемента выигрыш в вероятности безотказной работы системы вследствие увеличения числа параллельно соединенныхэлементоврастетвсе медленнее. Награфике, рис. 1.11, показано, что после подключения четвертого параллельного элемента прирост надежности системы исключительно мал. Таким образом, увеличение числа параллельно соединенных элементов может оказаться менее выгодным по сравнению сустановкой болеенадежногоэлемента.

Рис. 1.11. Повышение надежности при параллельном соединении m элементов

24

1.4.9.Проектирование надежности систем с раздельным

иобщим резервированием элементов

Допустим, что имеется система, состоящая из n элементов. Можно либо ввести резервные элементы и получить блок-схему, изображенную на рис. 1.12, либо создать полностью резервированную систему, показанную на рис. 1.13.

Рис. 1.12. Раздельное резервирование

Рис. 1.13. Общее резервирование

Первый способ называется поэлементным или р а з д е л ь н ы м резервированием, а второй – о б щ и м. Задача проектирования

25

состоит в том, как сравнить эти два способа резервирования. При последующем анализе предполагается, что все элементы имеют одинаковую надежность.

В случае раздельного резервирования (см. рис. 1.12) вероятность безотказной работы группы параллельно соединенных элементов имеет вид

REQ 1 1 R m.

Затем, рассматривая вероятность безотказной работы REQ этих

последовательно соединенных эквивалентных элементов, находим вероятность безотказной работы системы:

RS,разд 1 1 R m n.

На рис. 1.14 приведен график, соответствующий этому уравнению для различных уровней надежности элементов. График показывает влияние надежности элементов, их числа, а также числа групп параллельно соединенных элементов на надежность системы.

Рис. 1.14. Раздельное резервирование

26

В системе с общим резервированием, изображенной на рис. 1.13, вероятность безотказной работы эквивалентной цепочки элементов имеет вид

REQ Rn

для каждой параллельной цепочки. Таким образом, вероятность безотказной работы выражается формулой

RS,общ 1 1 Rn m.

График, соответствующий этому уравнению, показан на рис. 1.15. И в этом случае можно наблюдать влияние структуры системы и надежности элементов на надежность системы.

Рис. 1.15. Общее резервирование

Сравнение графиков на рис. 1.14 и рис. 1.15 показывает, что во всех случаях раздельное резервирование обеспечивает более высокую надежность. Однако это различие не является существенным, если элементы имеют высокую надежность. По существу, эти гра-

27

фики показывают, что введение резервных элементов обеспечивает более высокую надежность, чем введение резервных систем. Разумеется, это может относиться и к подсистемам различного уровня в зависимости от возможного разбиения системы, поскольку в некоторых случаях конструкция или особенности системы делают невозможным применение всех этих правил. Кроме того, необходимо рассматривать работу системы в целом. Например, если тормозная система автомобиля отказывает при скорости 80 км/ч в условиях интенсивного уличного движения, то мало проку от того, что в багажнике будет полный набор запасных частей. Поэтому эти общие рекомендации нужно применять конкретно.

1.5. Понятие управляемости и наблюдаемости

Понятию управляемости сначала дадим математическое описание, что будет способствовать лучшему его пониманию. Пусть линейный многомерный процесс описывается векторным дифференциальным уравнением

Из алгебры известно, что матрица A может быть приведена к диагональной форме с помощью матрицы преобразований T :

28

где i – собственные значения матрицы A линейной системы (1.3), которые предполагаются различными.

Вектор z в формуле (1.4) будем называть каноническим вектором состояния системы. Будем считать, что в предыдущих матрич-

ных выражениях собственные значения i расположены в порядке возрастания их модулей, комплексные i – в порядке возрастания

их аргументов, векторы-столбцы матрицы T – нормализованы, т. е. они выбраны так, что их евклидова длина равна единице.

Запишем выражение (1.4) в развернутой форме, т. е. в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

r

z1 t 1z1 t 1k mk t ;

k 1

r

z2 t 2 z2 t 2k mk t ;

k 1

r

z j t j z j t jk mk t ;

k 1

r

zn t n zn t nk mk t .

k 1

29