Мехатроника и динамика мини-роботов

и говорит о том, что скорость импульса равна главному вектору

внешних сил, приложенных к телу (мини-роботу).

Так как Q mVc (где Vc – скорость центра масс), то уравнение (9.16) может быть записано в эквивалентном виде

где Wc – ускорение центра масс.

Закон об изменении момента импульса (кинетического момента)

ddKtA M Ae

говорит о том, что скорость кинетического момента равна моменту внешних сил относительно центра A. В частности, если A C , то получается

Проецируя (9.18) на оси неподвижной системы координат, получим уравнения для поступательного перемещения твердого тела (мини-робота).

Проецируя (9.18) на оси системы координат с центром в точке С, получим уравнения для вращательных движений вокруг координатных осей кенинговой системы с началом в точке С.

270

Кинетическая энергия твердого тела и системы материальных точек

Кинетическая энергия T элемента массы dm имеет вид dT 12V 2dm 12 V 2 dxdydz,

где – плотность тела;

m dxdydz – масса элементарного объема.

d dr dxdydz.

Кинетическая энергия твердого тела объема V dxdydz вычис-

ляется по формуле

Соответственно для системы материальных точек кинетическая энергия T имеет вид

T1 n m V 2.

2 1

271

Компоненты тензора инерции Iij могут быть представлены в виде

тогда выражение для Trot представляется в виде

Trot 12 Iij i j .

Для твердого тела соответственно можно записать

Iij x1, x2 , x3 xk xk ij xi x j d .

В векторно-матричном виде выражение для кинетического момента имеет вид

K0 I ,

адля кинетической энергии вращательного движения

Trot 12 K0 .

Таким образом, имеет место точка Кёнинга. Кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии центра масс и кинетической энергии вращения тела (системы) относительно центра масс.

Изменение кинетической энергии твердого тела (системы материальных точек) выражается теоремой об изменении кинетической энергии: изменение (дифференциал) кинетической энергии системы равно элементарной работе всех сил системы:

272

где dA e , dA i – элементарные работы внешних и внутренних сил

соответственно. Для абсолютно твердого тела dA i 0.

Формула (9.20) определяет изменение кинетической энергии за интервал dt, а за конечное время t2 t1 изменение T определяет-

ся формулой

T2 T1 t2dA e t2dA i ,

t1 t1

что означает, что изменение кинетической энергии за время t2 t1

равно работе всех сил за то же время.

В случае если внешние и внутренние силы являются потенциальными, например, тело (робот) обладает конечной жесткостью (упругостью) и движется в поле тяжести Земли, тогда потенциальная энергия П не зависит от времени, а элементарные работы сил будут полными дифференциалами:

E T П const.

Таким образом, законы баланса векторных величин импульса (количества движения) Q и момента импульса (кинетического мо-

мента) K дают возможность моделировать динамику мини-роботов в векторной форме. Подход на основе энергетического баланса дает возможность моделировать динамику мини-роботов на основе скалярных функций: кинетической и потенциальной энергий, зависящих от обобщенных координат.

273

Глава 10. ДИНАМИКА И УПРАВЛЕНИЕ БЕСПИЛОТНЫМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ АЭРОПЛАННОГО

ИДРУГИХ ТИПОВ

10.1.Основные уравнения динамики беспилотных

летательных аппаратов

Динамика беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) характеризуется наличием аэродинамических связей, действующих на дрон в полете.

Введем системы координат, рис. 10.1:

0x0 y0z0 – неподвижная, начало ее совпадает с центром масс дрона, ось 0y0 направлена по вертикали, оси 0x0 , 0z0 – горизон-

тальные их направления фиксированы относительно Земли (кёнигова система координат);

0x1 y1z1 – связанная система координат с началом в центре

масс дрона, оси которой направлены по главным осям инерции робота: ось 0x1 – продольная ось, 0y1 – лежит в плоскости симмет-

рии, ось 0z1 – перпендикулярна к плоскости симметрии;

0xyz – скоростная система с началом в центре масс БПЛА, ось 0x направлена по вектору скорости V , ось 0y лежит в плоскости симметрии, ось 0z перпендикулярна к плоскости симметрии.

Вектор скорости V относительно связанной системы 0x1 y1z1 характеризуется углом , называемым углом атаки, и образуется продольной осью и проекцией вектора V на плоскость симметрии.

Угол между V и плоскостью симметрии называется углом

скольжения.

Выделяются продольное и боковое движение БПЛА. Продольное движение характеризуется вращением вокруг оси 0z1 и поступа-

тельным движением в направлении осей 0x1 и 0 y1. Боковое движение представляет собой вращения вокруг осей 0x1, 0y1 и перемещение в направлении оси 0z1 .

Углы Эйлера в случае ЛМР характеризуют положение связанной системы координат 0x1 y1z1 по отношению к кёниговой (услов-

274

но неподвижной). Угол 1, образуемый при повороте БПЛА вокруг продольной оси 0x1 , при котором поперечная ось 0z1 горизонтальна, называется углом крена (угол собственного вращения); угол ,

образуемый проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость и заданным направлением 0x, называется углом рыскания

(угол прецессии), угол , образуемый продольной осью БПЛА с горизонтальной плоскостью, называется углом тангажа (угол нутации), см. рис. 10.1.

О

Рис. 10.1. Системы координат для мини-робота самолетного типа

Обозначим через мгновенную угловую скорость вращения системы 0x1 y1z1 относительно системы 0x0 y0 z0 , проекции вектора

на оси системы 0x1 y1z1 соответственно x , y , z . Пусть

в корпусе БПЛА имеется n вращающихся частей (модулей) с фиксированными осями вращения относительно осей системы координат 0x1 y1z1 , которые определяются направляющими косинусами

275

Вектор угловой скорости i -го вращающегося тела обозначим Ωi , а проекции его на оси координат 0x1 y1z1 – через

Ωix ,Ωiy ,Ωiz Ωi .

Уравнения свободного движения ЛМР в векторной форме имеют вид

dKdtC KC MC ,

где V VC – скорость поступательного перемещения центра масс;

R – вектор внешних сил;

MC – главный момент всех внешних сил;

KC – кинетический момент системы.

Проекции вектора dKdtC на оси связанной системы координат 0x1 y1z1 имеют вид

276

где Ix , I y , Iz – моменты инерции ЛМР;

Ii – моменты тел, вращающихся в корпусе БПЛА.

Совместим оси координат 0x1 y1z1 с главными осями инерции БПЛА, тогда в проекциях на главные оси инерции получим

277

где X , Y , Z – проекции вектора сил на оси системы координат

0x1 y1z1;

Мx , Мy , Мz – проекции главного момента оси систем коорди-

нат 0x1 y1z1 .

Выражения для проекций X , Y , Z имеют вид

X Px cx Sq G sin ;

Y Py cy Sq G cos cos ;

Z Pz cz Sq G cos sin ,

где cx, cy, cz – коэффициенты боковой силы; Px , Py , Pz – компоненты вектора силы тяги.

На БПЛА самолетной схемы вектор силы тяги P почти совпадает с направлением продольной оси, поэтому приближенно можно положить

Px P; Py Pz 0.

На БПЛА других схем вектор силы тяги P может иметь составляющие по всем трем осям.

Проекции вектора скорости центра масс

Входящие в уравнения (10.2) проекции главного момента внешних сил могут быть представлены в виде трех составляющих:

278

где M x a , M y a , M z a – аэродинамические моменты;

M x p , M y p , M z p – моменты, создаваемые управляющими дви-

гателями.

Аэродинамические моменты можно представить в виде

M x a mxqSl;

M y a myqSl;

M z a mz qSl.

Преобразуем уравнения (10.1), (10.2), приводя подобные члены, тогда получим

279