Мехатроника и динамика мини-роботов

Рис. 9.4. Переход от промежуточной системы 0X1Y1ZK к системе 0X KY2z

Здесь M 2 – проекция точки M в плоскости 0Y1ZK .

3. Третий поворот вокруг оси 0z переводит промежуточную систему координат 0X1Y2 z в основную с помощью матрицы A3, рис. 9.5:

260

Следовательно, при движениях твердого тела, когда ось 0z мало отклоняется от 0ZK , целесообразно применять другие углы, опре-

деляющие ориентацию тела в пространстве.

Отметим также, что в силу того, что произведение матриц A A1A2 A3 некоммутативно, то и конечные повороты твердого тела

некоммуникативны. Это означает, что в общем случае ориентация твердого тела (мини-робота), получаемая им в результате двух последовательных конечных поворотов, зависит от порядка выполнения этих поворотов. Для мини-роботов, перемещающихся в автономном режиме, алгоритм подачи управляющих воздействий должен разрабатываться с учетом этого.

Отметим некоторые свойства матрицы A, следующие из ее ортогональности:

1.A 1 AT, индекс T означает транспонирование;

2.AAT E – единичная матрица;

3.det A 2 1.

Если зависимость A t от времени непрерывная, то знак A o 1 сохраняется в течение движения.

9.1.1. Мгновенное кинематическое состояние твердого тела

Рассмотрим свободное движение твердого тела, скорости точек которого характеризуются вектором

V V r1 t r1 t ,

зависящим от радиуса-вектора r1 t в неподвижной системе коорди-

нат времени t .

Если в момент времени t

V r1 t Vo t const,

262

то тело совершает мгновенное поступательное движение в мо-

мент времени t , а при V0 t 0 находится в мгновенном покое. Очевидно, что ускорения

W V r1 t r1 t

могут быть разными в момент времени t в разных точках тела. Если в данный момент времени t в теле (мини-роботе) имеются

две неподвижные точки, то тело совершает мгновенное вращательное движение вокруг прямой, проходящей через эти точки, называемой мгновенная ось вращения. Мгновенная ось вращения меняет свое положение в неподвижной и подвижной системах координат при конечном движении тела.

Если в данный момент времени тело (мини-робот) участвует в двух мгновенных движениях: мгновенном поступательном вдоль некоторой оси имгновенном вращательном вокруг этойоси, то тело (мини-робот) совершает мгновенное винтовое движение, которое является самым общиммгновенным движением свободного твердого тела.

9.1.2.Скорость и ускорение точек твердого тела

вобщем случае движения

Дифференцируя (9.1) по времени t , получим

ной оси вращения, проходящей через 0 .

Формула (9.4) справедлива в силу формулы Эйлера

r r.

Ускорение произвольной точки M твердого тела (мини-робота) находится дифференцированием по времени t формулы (9.4):

263

где W0 – ускорение точки 0;

W r – вращательное ускорение; Wn – осестремительное ускорение;

– угловое ускорение.

9.1.3.Угловая скорость в подвижной и неподвижной системах координат

Вектор мгновенной угловой скорости , направленный вдоль мгновенной оси вращения, имеет компоненты x , y , z , кото-

рые являются проекциями на оси подвижной системы координат 0xyz . С другой стороны, можно представить в виде суммы трех

Записывая (9.6) покомпонентно, получим кинематические

формулы Эйлера

x sin sin cos ;y sin cos sin ;

z cos .

9.1.4. Дискретная аппроксимация твердого тела. Геометрия масс твердого тела и эквивалентной системы материальных точек

При решении многих конкретных задач удобно заменять сплошное твердое тело эквивалентной системой материальных точек,

рис. 9.6.

264

Проекцируя (9.5) на оси координат, получим три уравнения. Центр масс эквивалентной системы материальных точек вычис-

ляется по формуле

(9.8)

n

m m ,

1

где m – масса -го элемента объема; m – масса всей системы.

При n разность между rc , вычисляемому по формуле (9.8), стремится к rc , вычисляемому по формуле (9.7).

Центр масс с может быть выбран в качестве полюса 0, что будет использовано дальше.

Моменты инерции сплошного твердого тела относительно осей x, y, z вычисляются по формулам

266

Центробежные моменты твердого тела вычисляются – по формулам

ции осей координат x, y, z. При n формулы (9.10), (9.12) пе-

реходят в формулы (9.9), (9.11) соответственно.

Компоненты Iij образуют симметричный тензор второго ранга

(тензор инерции), который характеризует сопротивление твердого тела вращательным движением:

Моменты инерции относительно любых параллельных осей вы-

du , d – расстояния осей u, от оси, проходящей через центр масс.

267

9.2. Основные законы динамики твердого тела (мини-робота)

В динамике твердого тела основные законы представляют собой уравнения баланса относительно основных динамических величин мехатронной системы, какими являются:

1)векторные величины: импульсы (количество движения), момент количества движения (момент импульса), силы, моменты сил;

2)скалярные величины: кинетическая и потенциальная энергия, работа, диссипация энергии, энтропия.

Предварительно напомним некоторые определения. Количество движения (импульс) твердого тела – вектор Q, вы-

числяется по формуле

Импульс дискретной мехатронной системы вычисляется по формуле

n

Q m V .

1

Кинетический момент K (момент импульса, момент количества движения) твердого тела (мини-робота) относительно точки A вычисляется по формуле

KA AQdr,

V

где A – радиус-вектор точек тела относительно точки A. Проекции вектора KA на оси координат называются моментами

импульса относительно осей x, y, z:

268

где i , j , k – орты осей координат.

Кинетический момент (момент импульса) относительно точки А дискретной системы вычисляется по формуле

n

KA AQ.

1

Моменты импульса относительно осей x, y, z вычисляются по

формулам (9.14).

При изменении центра A, относительно которого вычисляется кинетический момент, момент относительно нового центра B вычисляется по формуле

где вектор BA – расстояние между точками A и B.

В векторно-матричном виде кинетический момент твердого тела (системы), вращающегося вокруг точки 0, записывается в виде

269