Мехатроника и динамика мини-роботов

нужно задать или определить условиями задачи, а при экспериментах – из опытов. Переходные масштабы для всех остальных размерных величин можно получить из формул размерности для каждой размерной величины через размерности k независимых, для которых масштабы определены опытом или постановкой задачи.

Например, в задаче об установившемся поступательном плоскопараллельном движении тела в несжимаемой вязкой жидкости все безразмерные величины определяются двумя параметрами: углом атаки и числом Рейнольдса R. Условия физического подобия – критерии подобия – представляются соотношениями

При моделировании этого явления результаты опытов с моделью можно переносить на натуру только для одинаковых иR. Первое

условие всегда легко осуществить на практике. Труднее удовлетворить второму условию (R const), особенно в тех случаях, когда

обтекаемое тело имеет большие размеры, как, например, крыло самолета. Если модель меньше натуры, то для сохранения величины числа Рейнольдса необходимо либо увеличивать скорость обтекающего потока, что обычно практически неосуществимо, либо существенно изменить плотность и вязкость жидкости.

8.2.Формулы из теории размерности

Втеории размерности выделяют основные и производные единицы измерения физических величин, связанных между собой определенными соотношениями (физические, геометрические). Если некоторые из этих величин принять за основные и установить для

них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин за единицы измерения будем называть основными или

первичными, а все остальные – производными или вторичными.

На практике достаточно установить единицы измерения для трех величин, каких именно, – это зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, в физических исследованиях удобно за ос-

250

новные единицы взять единицы длины, времени и массы, а в технике – единицы длины, времени и силы. Но можно было бы взять за основные единицы измерения также единицы скорости, вязкости и плотности и т. п.

Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью.

При изучении механических явлений достаточно ввести только три независимые основные единицы измерения: для длины, массы (или силы) и времени. Этими единицами можно обойтись также и при изучении тепловых и даже электрических явлений. Из физики известно, что размерности тепловых и электрических величин можно выразить через L, M и Т, в электронике за основные величины выгоднее принять силу тока, сопротивление, длину и время (ампер, ом, сантиметр и секунда) и т. д.

Более того, при конкретном изучении отдельных специальных классов явлений численные значения количественных характеристик часто выгодно выражать в виде отношения к задаваемым или наиболее характерным величинам по смыслу рассматриваемых частных задач. В разных случаях эти характерные основные величины могут быть различными.

Зависимость единицы измерения производной величины от единиц измерения основных величин может быть представлена в виде формулы. Эта формула называется формулой размерности, и ее можно рассматривать как сжатое определение и характеристику физической природы производной величины.

О размерности можно говорить только применительно к определенной системе единиц измерения. В разных системах единиц измерения формула размерности для одной и той же величины может содержать различное число аргументов и может иметь различный вид. Например, в системе единиц измерения CGS формулы размерности всех физических величин имеют вид степенного одночлена

Ll M mT t .

Покажем, что такой вид формулы размерности определяется следующим физическим условием: отношение двух численных

значений какой-нибудь производной величины не должно зависеть от выбора масштабов для основных единиц измерения.

251

Например, будем измерять площадь в квадратных метрах или квадратных сантиметрах, отношение двух площадей, измеренных в квадратных метрах, будет таким же, как и отношение этих же площадей, измеренных в квадратных сантиметрах. Для основных величин это условие является составной частью определения единицы измерения и удовлетворяется само собой.

Пусть имеем какую-нибудь размерную производную величину y. Примем сначала, что величина y является геометрической и поэтому зависит только от длин, следовательно:

y f x1, x2 , , xn ,

где x1, x2 , , xn суть некоторые расстояния. Обозначим через y ' то значение величины y, которое соответствует значениям аргументов x '1, x '2 , , x 'n . Численное значение y, а также y ' зависит от единицы измерения для расстояний x1, x2 , , xn. Уменьшим эту

единицу или масштаб в раз. Тогда согласно сформулированному выше условию должны иметь место

т. е. отношение y '/y должно быть одинаковым при любом значении масштаба . Из равенства (8.1) получаем

Следовательно, отношение численных значений производной геометрической величины, измеренной в разных масштабах длины, зависит только от отношения масштабов длин.

252

Из соотношения (8.2) легко найти вид функции . В самом деле, имеем

Интегрируя, найдем

C m.

Так как при 1 имеем 1, то C 1; следовательно,

m.

Этот вывод справедлив для любой размерной величины, зависящей от нескольких основных величин, если менять только один

253

масштаб. Можно установить, что если изменяются масштабы , , трех основных величин, то функция будет иметь вид

m n t.

Этим доказывается, что формулы размерности физических ве-

личин должны иметь вид степенных одночленов.

Физические закономерности, устанавливаемые теоретически или непосредственно из опыта, представляют собой функциональные зависимости между величинами, характеризующими исследуемое явление. Численные значения этих размерных физических величин зависят от выбора системы единиц измерения, не связанной с существом явления. Поэтому функциональные зависимости, выражающие собой физические факты, которые не зависят от системы единиц измерения, должны обладать некоторой специальной структурой.

Пусть имеем размерную величину , которая является функцией независимых между собой размерных величин a1, a2 , , an:

некоторые из этих параметров в рассматриваемом процессе могут быть переменными, другие – постоянными.

Выясним структуру функции f a1, a2 , , an в предположе-

нии, что эта функция выражает собой некоторый физический закон, независимый от выбора системы единиц измерения.

Пусть среди размерных величин a1, a2 , , an первые k величин (k n) имеют независимые размерности (число основных единиц измерения должно быть больше или равно k).

Пользуясь относительной системой единиц измерения, соотношение (8.5) можно представить в виде

Таким образом, связь между (n 1)-размерными величинами a, a1, , an , независимая от выбора системы единиц измерения, принимает вид соотношения между n 1 k величинами П, П1, , Пn k ,

254

представляющими собой безразмерные комбинации из (n 1)-раз-

мерных величин. Этот общий вывод теории размерностей известен под названием П-теоремы.

В этой относительной системе единиц измерения численные значения параметров a, ak 1, , an определяются формулами

………………………

Пn k a1q1 a2q2an akqk .

Чем меньше число параметров, определяющих изучаемую величину, тем больше ограничена функциональная зависимость и тем проще вести исследование. В частности, если число основных единиц измерения равно числу определяющих параметров, которые имеют независимые размерности, то с помощью теории размерности эта зависимость полностью определяется с точностью до постоянного множителя. В самом деле, если n k , т. е. все размерности

независимы, то из параметров a, a1, , an нельзя образовать без-

размерной комбинации, и поэтому функциональная зависимость (8.5) может быть представлена в виде

a ca1m1 a2m2 anmn ,

где c есть безразмерная постоянная, а показатели m1, m2 , , mn

определяются с помощью формулы размерности для a. Что же касается безразмерной постоянной c, то ее можно определить либо

опытно, либо теоретически, решая соответствующую математическую задачу.

255

Глава 9. ДИНАМИКА СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

9.1. Кинематика абсолютно твердого тела

Математические модели динамики мини-роботов базируются на теории динамики твердого тела. Модели абсолютно твердого тела используются для тех случаев, когда требуется оценить только влияние геометрии масс на динамику робота, а модели деформируемого твердого тела – в случаях, когда необходимо учесть и геометрию масс, и геометрию жесткостей конструкции с целью описать деформируемость реальных тел, их вибрацию, износ, разрушения.

Согласно теореме Эйлера из теоретической механики свободное движение твердого тела можно представить в виде поступательного движения некоторой точки 0 тела (полюса) и вращательного движения вокруг полюса, рис. 9.1.

Рис. 9.1. Свободное движение твердого тела

Система 01 x1 y1z1 – декартова неподвижная, система Oxyz –

декартова, жестко связана с телом так, что свободное движение твердого тела можно рассматривать как преобразование координат произвольной точки M тела:

256

Введем кёнингову систему координат 0X KYK ZK , оси которой параллельны осям 01 x1 y1z1 , а начало 0 испытывает трансляционный перенос относительно тоски 01 , тогда r – радиус вектор точки

M в кёнинговой системе координат. Очевидно, что тело испытывает вращение в кёнинговой системе координат, которое, используя формулы аналитической геометрии, можно представить в виде

r A ;

где матрица A A t задает переход от системы координат 0xyz к 0X KYK ZK и является ортогональной, т. е. сумма квадратов

элементов (столбца) равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов столбцов (строк) равна нулю:

где по повторяющимся индексам идет суммирование.

В силу (9.2) из девяти элементов матрицы A независимых будет три, которые могут быть выбраны произвольно. Это могут быть направляющие косинусы углов системы 0xyz относительно

0X KYK ZK или, например, углы Эйлера.

Рассмотрим отдельно системы координат 0X KYK ZK и0xyz,

рис. 9.2.

257

Р

Рис. 9.2. Совмещение систем координат 0X KYK ZK и0xyz

вается углом прецессии, угол между 0N и0x называется углом

системы 0X KYK ZK , а значит и 01 x1 y1z1 .

Из теоретической механики известно, что вращательное движение твердого тела вокруг точки в каждый момент времени представляет собой вращение тела вокруг мгновенной оси, проходящей в данный момент времени через эту точку. Ориентация оси меняется во времени и в данный момент может быть определена, например, через углы Эйлера.

Осуществить поворот тела так, чтобы произвольная точка M перешла в любое заданное положение P, можно с помощью трех

последовательных поворотов на угол вокруг оси 0ZK , на угол – вокруг 0N, на угол – вокруг 0z. Положительными считаются

258

повороты, которые производятся против часовой стрелки, если смотреть с концов соответствующих осей поворотов.

Рассмотрим алгоритм последовательных поворотов.

Рис. 9.3. Преобразование системы 0 X KYK к системе 0 X1Y1

промежуточной системы 0X1Y1ZK к промежуточной системе 0X KY2 z с ортогональной матрицей преобразования A2 , рис. 9.4:

259