Мехатроника и динамика мини-роботов

и приближении ее к реальной системе, оптимальной по критерию экстремума

V R F R xi t .

Здесь F R и F M в общем случае представляют собой функ-

ционалы. Введение свойства оптимальности усложняет моделирование системы.

Аналитический подход к моделированию использует методы

математического программирования (исследования операций).

Синтетический подход используется при моделировании потенциально эффективных сложных систем.

1.2.1. Оптимальные системы

Пусть состояние системы характеризуется величинами U и V , целью системы является выгодный U , V -обмен, где U – расходу-

емые ресурсы, V – потребляемые системой ресурсы. Вещественно-энергетические U , V -обмены описываются за-

конами физики, химии, если внешняя среда индифферентна по отношению к системе. Если взаимодействие системы со средой конфликтное, то оно описывается теорией игр.

Сигнальные U , V -обмены в индифферентной ситуации описы-

ваются законами теории информации.

U , V -обмены появляются на уровне решающих систем.

Под целью системы понимается получение максимума V за фиксированное количество U или отдача минимума U за фиксированное количество V.

1.2.2.Законы сложных систем

1.При возрастании сложности систем у последних появляются качества, которые сохраняются при дальнейшем их усложнении

(закон наследования).

10

2.Устойчивость структуры связанных между собой элементов

(закон надежности).

3.Помехоустойчивость системы характеризуется правильной ориентацией, поведением системы в окружающей среде, что предполагает правильную информированность (закон наблюдаемости

иидентифицируемости).

4.Действия системы, направленные на достижение цели с учетом информации, называются управляемостью системы (закон управляемости).

Самоорганизация является накоплением опыта использования

всех указанных качеств во времени, переработки и использования в деятельности системы.

1.3. Надежность

Главным качеством системы является ее устойчивость, без которой понятие системы теряет смысл.

Различаются два вида устойчивости:

1)вещественно-энергетическая;

2)структурно-функциональная.

Первый вид устойчивости связан с постоянством вещественного состава и энергетического баланса системы.

Второй вид устойчивости связан с постоянством ее реакций на одни и те же внешние воздействия.

В зависимости от типа сложности реализуется определенный вид устойчивости.

Устойчивость первого вида характерна для автоматических систем: например, машина обладает постоянством структуры при переменном вещественном составе.

Вторым видом устойчивости обладают решающие системы, в частности, простейшие живые клетки. Клетка по сравнению с молекулой более хрупкая (менее надежная) по отношению к внешним воздействиям.

Для более сложных (многоклеточных) биологических систем основным видом устойчивости является надежность. Клеточный состав организма является переменным, одни клетки отмирают и удаляются, другие возникают. Устойчивой остается лишь структура организма. С ростом сложности надежность биологических систем

11

(организмов) не имеет (если идет нормальный обмен клеток) тенденции уменьшаться, хотя отдельная клетка менее надежна, чем организм в целом.

В качестве искусственной сложной системы с зачатками «обмена веществ» может служить компьютер с частой заменой отдельных элементов. В противоположность биологическим системам у технических систем с ростом сложности надежность уменьшается. Это связано с несовершенством их организации.

Целью создания мехатронных систем является проектирование и производство систем, обладающих надежностью типа биологических систем, т. е. усложнение структуры должно сопровождаться не только усложнением функций, но и ростом надежности, что для традиционных технических систем (машин), как известно, было невозможно.

1.4. Надежность элементов системы

Рассмотрим взаимодействующие системы A, B ( B может быть внешней средой), которые всегда содержат элемент случайности.

Обозначим P U , V вероятность достижения системой A своей цели: выгодного U , V -обмена с системой B, которое представляет собой случайное событие C так, что

P C P U , V .

1.4.1. Отказ элемента и отказ системы

Выход элемента из режима нормального функционирования называется отказом. Отказ в модели происходит мгновенно в случайный или определенный момент времени. Отказы элементов системы – случайные события.

Элементы в системе могут иметь последовательное (рис. 1.1),

параллельное (рис. 1.2) и смешанное (рис. 1.3) соединение.

12

Чтобы система с последовательным соединением функционировала, все подсистемы должны работать безотказно. Блок-схема системы с последовательным соединением независимых элементов показана на

Рис. 1.4. Блок-схема системы с последовательным соединением элементов

Вследствие принятого допущения о независимости отказов

RS P E1 P E2 P En

или, обозначая P Ei Ri , получим

n

RS Ri , (1.1)

i 1

где правая часть представляет собой произведение вероятностей безотказной работы подсистем;

Ri – вероятность безотказной работы i-го элемента.

Формула (1.1) выражает правило умножения вероятностей. Очень часто структура изделия требует применения именно этого правила для вычисления вероятности безотказной работы. Надежность системы быстро убывает при увеличении числа последовательно соединенных элементов, причем надежность системы не превышает надежности наименее надежного элемента. Таким образом, для системы с последовательным соединением элементов имеем

RS mini Ri .

Если требуется обеспечить заданную вероятность безотказной работы системы, то быстрое приближенное вычисление необходимой вероятности безотказной работы подсистем производится сле-

14

дующим образом. Пусть q – вероятность отказа подсистемы. Тогда, полагая, что для всех подсистем значения q одинаковы, имеем

Полагая, что значение q мало и отбрасывая члены высокого порядка, получаем

RS 1 nq.

При использовании этой аппроксимации полезно знать, что если nq 0,1, то получаем результат с точностью до двух десятичных

знаков.

П р и м е р 1.1

Если требуемая вероятность безотказной работы системы, состоящей из 20 элементов, составляет RS 0,99999, то

0,99999 1 20q,

и

q 0,0000005

или

R 0,9999995.

Такое приближенное значение надежности элемента необходимо для того, чтобы обеспечивалась заданная надежность системы.

Приближенное выражение для надежности системы с последовательным соединением элементов при различных значениях qi

имеет вид

n RS 1 qi .

i 1

15

1.4.3. Надежность систем с параллельным соединением элементов

Система с параллельным соединением элементов не выходит из строя, пока не отказали все ее элементы. Блок-схема для анализа надежности системы с параллельным соединением элементов показана на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Блок-схема системы с параллельным соединением элементов

Вероятность безотказной работы системы вычисляется следующим образом. Если QS – вероятность безотказной работы сис-

темы, то

QS P E1 E2 En ,

где En и En – взаимно дополнительные события. Полагая, что все эти события независимы, имеем

QS P E1 P E2 P En

или

n

QS 1 Ri .

i 1

16

Тогда вероятность безотказной работы системы определяется как дополнение вероятности до единицы и

n

RS 1 1 Ri ,

i 1

При анализе системы с параллельным соединением элементов подразумевается, что при включении системы включаются все подсистемы и отказы не влияют на надежность подсистем, продолжающих работать.

Рассмотренное параллельное соединение называется чисто параллельным включением, и, как уже говорилось, оно нетипично. Во многих случаях используются другие способы параллельного соединения. В действительности в системах с параллельным соединением элементов, особенно в механических, чаще используются включения по схеме ненагруженного резерва и параллельное соединение с распределением нагрузки.

В системе с ненагруженным резервом ненагруженный элемент не включается, пока не выйдет из строя нагруженный элемент. Этот случай показан на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Система с ненагруженным резервом

Переключатель S может представлять собой автоматический датчик либо просто условно означать, что оператор заменяет элемент A элементом B. Простым примером ненагруженного резерва является запасное колесо автомобиля. Систему с ненагруженным резервом нужно анализировать как динамическую модель.

В системе с распределением нагрузки по параллельным элементам при появлении отказа увеличивается интенсивность отказов

17

элементов, продолжающих работать. Примером системы с распределением нагрузки по параллельным элементам является автомобильное колесо в сборе; если какая-либо стопорная гайка ослабляется, то остальные гайки должны выдерживать большую нагрузку. Следовательно, с каждым последовательным отказом увеличивается интенсивность отказов. Таким образом, система с распределением нагрузки при параллельном соединении элементов фактически не является статической моделью.

Еще одной формой резервирования является система «r из n». В такой системе имеется n параллельно соединенных элементов, однако для того чтобы система продолжала работать безотказно, работоспособность должны сохранять не менее r элементов. Примером такой формы резервирования являются канаты висячего моста, когда для того, чтобы держать сооружение, необходимо некоторое минимальное число таких элементов.

Вероятность безотказной работы системы «r из n» имеет вид

где R – вероятность безотказной работы подсистемы, предполагаемая одинаковой для всех подсистем.

В случае подсистем с неодинаковой надежностью может использоваться простой перебор всех вариантов.

1.4.4. Надежность сочетания параллельного и последовательного соединений элементов

Простые комбинации подсистемы с параллельным и последовательным соединениями элементов (рис. 1.7) можно легко проанализировать путем последовательного объединения подсистем в группы. Вначале объединим параллельно соединенные элементы подсистем и будем рассматривать последовательное соединение эквивалентных элементов.

18