Мехатроника и динамика мини-роботов

Здесь W – работа, тогда мощность

P ddWt .

Работа за время t1 t t2 вычисляется по формуле

t2

W12 P t dt.

t1

Кроме работы на границе термодинамической системы может быть передача тепла Q12 , тогда закон баланса (сохранения) энергии

записывается в виде

E2 E1 W12 Q12

или

ddEt P Q,

где Q – поток тепла через границу системы.

Исходя из условия сохранения энергии E const можем записать

W12вх W12вых Q12

или

Pвх Pвых Q.

Коэффициент полезного действия

Основными видами мощностей являются: механическая; электрическая; гидропневматическая; тепловая.

130

В табл. 4.1 даны обозначения перечисленных видов мощностей, которые могут быть преобразованы одна в другую.

Таблица 4.1

Обозначения видов мощностей

Электрическая мощность – это мощность на полюсах, выступающая как величина напряжения U между точками зажимов и тока I в проводнике. Идеальный преобразователь электричества описывается через зажимы входные и выходные как четырехполюсные.

С математической точки зрения механические, электрические системы могут быть записаны одинаково для инерционных, запасающих и безынерционных звеньев, табл. 4.2.

131

4.2. Электромагнитные поступательные преобразователи энергии

Все электродинамические преобразователи используют силу Лоренца, которая возникает, когда провод с протекающим током находится в магнитном поле, а ток и магнитное поле могут перемещаться друг относительно друга.

В элементарной машине, рис. 4.4, принимается, что в постоянном во времени и однородном магнитном поле с плотностью потока

ВVs / m2 , тесла,

вкотором перпендикулярно направлению течения провод l может проводить ток I. Независимо от движения провода (скорость )

внем возникают в результате движущие заряды Q (скорость w ),

сила Лоренца

132

В результате движения проводника со скоростью s возникает смена потока и в соответствии с принципом индукции индуцированное напряжение Uind в петле проводника имеет вид

Баланс напряжения для петли проводника запишем в виде

Из (4.3) вытекает баланс мощности на зажимах Рвх UI, мощность потерь Рпроп RI 2 и внутренняя эффективная электрическая

мощность Рel Uind I, которая должна быть равна мощности механической:

Если проводник без тока движется в магнитном поле, то индуцированное напряжение равно внешнему напряжению и устанавлива-

ется скорость 0 , которая вычисляется по формуле

0 BUe .

Если проводник испытывает торможение, то 0 и Uind U.

Проводник отдает механическую мощность Рвх, которая добирает до потерянной мощности Рпотер на входной стороне преоб-

разователя Рвх.

Концепция элементарной машины находит непосредственное применение в качестве линейного или динамического напряжения.

134

Вместо петли проводника катушка с n витками обычно движется в магнитном поле. В этом случае индуцированное напряжение

Баланс напряжения в уравнении (4.2) должен быть расширен за счет учета падения напряжения на катушке, обусловленного индуктивностью катушки L:

На рис. 4.5 изображена схема соединений электродинамического преобразователя.

Рис. 4.5. Соединение электродинамического преобразователя

Математическая модель четырехполюсника, см. рис. 4.5, предполагает, что

F kl,

где k – постоянная актуатора.

135

Из условия Pel Рвх или Uind I F следует, что

Сравнивая (4.7) с (4.5), находим постоянную актуатора k nBl. Для движущейся массы m актуатора по закону Ньютона следует

Сравнивая (4.7) и (4.8), получаем математическую модель

d k I; dt m

ddIt RL I Lk L1 U.

Вводя для вектора состояния обозначение z , I T , получим уравнение в пространстве состояния системы

где А – матрица системы;

b – вектор (матрица) управления системы.

Вместо переменных состояний , I можно взять другие, например и F, тогда математическая модель имеет вид

136

Уравнения (4.10), (4.11) имеют вид (4.9) в пространстве состоя-

ний (u, F).

4.3. Вращательные преобразователи энергии

Вращательный преобразователь, в принципе, состоит из цилиндрического статора, в котором находится ротор, отделенный от статора воздушным промежутком.

Пусть статор является постоянным магнитом и диаметрально направленным магнитным полем с плотностью потока В, рис. 4.6.

Рис. 4.6. Схема статора и ротора

На рис. 4.6 прямоугольная петля (рамка) проводника, длина l, ток I, вращается в статоре.

137

В положении, изображенном на рис. 4.6, на каждый проводник действует сила F IlB. Две силы образуют пару сил с плечом 2r. Отсюда момент

Индуцированное напряжение в обоих проводниках

Uind 2Bl 2rlB AB ,

где – угловая скорость, рад/с. n 60 /2 .

Баланс напряжения вычисляется по формуле (4.3), а мощность – аналогично (4.4):

Uind I UI RI 2 ABI M .

Зависимость между моментом М и током I имеет вид

M k I,

где k – постоянная актуатора. С учетом M Uind I получим

k1 Uind .

Для вращения ротора с моментом инерции It получаем

M I .

Математическая модель имеет вид

d k I; dt I

dI R I k 1 U. dt L L L

138

В пространстве состояний , k, m выражаются через , k , I.

Альтернативное представление получается из уравнений (4.10), (4.11), когда F, , k, m выражаются через M , , k , I.

4.4. Некоторые конструкции электродинамических преобразователей в двигателях постоянного тока

Рассмотрим двигатели постоянного тока, возбуждаемые электрическим полем через щетки, тогда в статоре течет ток IF , созда-

ющий магнитный поток Ф, который через воздушный просвет проникает в ротор. Одновременно через витки в роторе течет ток IA

и вследствие силы Лоренца вызывает вращающий момент двигателя. На рис. 4.7, а изображена схема двигателя постоянного тока,

4.7, б – схема соединений.

а

б

Рис. 4.7. Схема двигателя постоянного тока

139