Мехатроника и динамика мини-роботов

На рис. 3.18 показан граф последовательного соединения двухполюсников с выбранными ассоциированными направлениями.

Рис. 3.18. Последовательное соединение двухполюсников 1, 2, 3 и его граф G

Звенья механических цепей. Соединения пассивных двухполюсников, в том числе последовательно-параллельные и не после- довательно-параллельные (мостовые), образуют пассивные звенья механических цепей. В пассивных звеньях возможны произволь-

ные соединения элементов. Соединения активных двухполюсников образуют активные звенья цепи. При соединении активных

двухполюсников в звенья необходимо помнить, что источники сил не должны включаться параллельно с источниками кинематических величин; источники произвольных сил можно соединять параллельно, но нельзя соединять последовательно, источники произвольно заданных кинематических величии можно соединять последовательно, но нельзя соединять параллельно.

3.3. Передаточные функции пассивных двухполюсников механических цепей

Применим преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях к уравнениям (3.23), (3.25) и (3.27) и получим для упругости, демпфера и массы следующие уравнения, связывающие трансформанты Лапласа силовой и кинематических переменных:

110

F( p) p2md ( p) pm ( p) ma( p);

(3.30)

a( p) p ( p) p2d( p).

Основными динамическими характеристиками являются следующие передаточные функции (ПФ) двухполюсника, выражаемые

через отношение изображений его переменных: масса M p , ме-

111

Динамические характеристики в функции от переменной p называют операторными, например операторный импеданс Z p , а в функции от переменной j – комплексными. Так, комплексная (динамическая) жесткость демпфера R j j b. Наиболее

употребительны импеданс, подвижность, жесткость и восприимчивость двухполюсников. В табл. 3.1 представлены операторные передаточные функции элементарных двухполюсников – упругости, демпфера и массы в соответствии с уравнениями (3.28)–(3.30).

Таблица 3.1

Операторные передаточные функции элементарных двухполюсников

полюсника в соответствии с уравнениями (3.31)–(3.36) имеет вид

112

где D p – прямая динамическая характеристика (или прямой динамический параметр при конкретном значении p) двухполюс-

ника D p M p , Z p , R p ;

D 1 p G p , Y p , A p .

Поскольку упругость, демпфер и масса имеют ассоциированные переменные двухполюсника, приведение сложных двухполюсников к одному из указанных типов путем использования кинематической пе-

ременной одного вида оставляет переменные F p и k p ассоции-

рованными. Поэтому при анализе цепей можно использовать не оригиналы переменных, а их изображения и общую кинематическую пе-

ременную k p , выбираемуюизусловийконкретнойзадачи.

Как следует из уравнений (3.37) и (3.38), у результирующего двухполюсника, составленного из параллельно соединенных пассивных двухполюсников, прямой динамический параметр равен сумме прямых динамических параметров отдельных двухполюсников:

а обратный динамический параметр равен произведению обратных динамических параметров, деленному на сумму их частичных произведений:

113

n

где – символ произведения;

i 1

n

Di p D 1i p – i-e частичное произведение обратных пара-

i 1

метров.

Из уравнений (3.39) и (3.40) следует, что у результирующего двухполюсника, составленного из последовательно соединенных пассивных двухполюсников, обратный динамический параметр равен сумме обратных динамических параметров отдельных двухполюсников:

а прямой динамический параметр равен произведению прямых динамических параметров, деленному на сумму их частичных произведений:

n

где D 1 p Di p – i-е частичное произведение прямых пара-

i 1

метров.

3.3.1. Законы Кирхгофа для линейных механических цепей

Изложенные законы являются основными из применяемых к линейным механическим цепям, состоящим из активных и пассивных двухполюсников с постоянными сосредоточенными параметрами, т. е. двухполюсников, параметры которых не зависят от силовых и кинематических переменных.

114

1. Закон сил (правило узлов). Сумма всех сил, действующих на любой узел цепи, равна нулю. В терминах воспринимаемых сил двухполюсников этот закон читается так: для любого узла сумма воспринимаемых сил по одну сторону от узла равна сумме воспринимаемых сил по другую сторону от узла. Поэтому для любого

узла сумма воспринимаемых сил Fr принадлежащих ему двухпо-

люсников, взятая с учетом расположения последних относительно узла, равна нулю (рис. 3.19):

Рис. 3.19. Цепь из четырех двухполюсников с общим узлом b и ее граф G

Причем ar 1, если Fr находится по одну сторону от узла, и ar 1 , если Fr находится по другую сторону узла. Так, для узла b цепи, показанной на рис. 3.19, имеем

F1 F2 F3 F4 0.

Такой же результат получаем из графа G цепи, если двухполюсникам слева и справа от узла задавать одинаковые ассоциированные

направления, а коэффициенты ar находить из условия: ar 1, если

115

стрелка направлена от узла, и ar 1, если стрелка направлена

к узлу. Отсюда следует правило: для получения непротиворечи-

вой системы уравнений из графа цепи ассоциированные направления двухполюсников должны быть выбраны одинаковыми.

Закон сил является следствием третьего закона Ньютона о равенстве действия и противодействия и аналогом закона Кирхгофа для электрических цепей.

2. Закон относительного движения (правило контуров). Сумма относительных перемещений узлов цепи на любом замкнутом контуре, образованном соединением двухполюсников, равна нулю.

Сумма кинематических векторов kr kr dr , r , ar , следовательно, и кинематических переменных kr двухполюсников на любом

замкнутом контуре цепи, взятая с учетом расположения двухполюсников в контуре, равна нулю (рис. 3.20):

причем br 1, если при обходе по контуру r-й двухполюсник проходят в направлении (против) оси Ox, и br 1, если двухполюсник проходят против (в направлении) оси Ox.

Рис. 3.20. Цепь из четырех двухполюсников, образующих контур, и ее граф G

116

Так, для контура, изображенного на рис. 3.20, имеем

k1 k2 k3 k4 0;

(3.42)

k1 ka kb ; k2 kb kc ; ka kc kd ; k4 ka kd ,

что следует и из графа G цепи, если ассоциированные направления элементов заданы одинаковыми, т. е. в соответствии с указанным выше правилом. Сформулированные выше два закона называют также законами Кирхгофа. (Эти законы справедливы как для линейных, так и для нелинейных систем). Уравнение (3.41) называют узловым, а (3.42) – контурным.

Принцип суперпозиции. Для механической цепи, состоящей из линейных двухполюсников и имеющей несколько источников сил или кинематических величин, результат воздействия всех источников может быть получен как сумма результатов воздействия каждого из источников в отдельности, при этом остальные источники должны быть заменены двухполюсниками, имеющими динамические параметры заменяемых источников. Прямые динамические параметры идеального источника силы равны нулю, а обратные – бесконечности. У идеального источника кинематической величины прямые динамические параметры равны бесконечности, а обратные – нулю. В силу конечной отдаваемой мощности реальных источников значения динамических параметров лежат между указанными предельными. Реальный источник силы при отсутствии создаваемой им силы может оказывать сопротивление движению, поэтому его изображают в виде параллельного соединения идеального источника силы и некоторого пассивного двухполюсника (рис. 3.21, а). Реальный источник кинематической величины при отсутствии создаваемого им движения может допускать относительное перемещение полюсов, поэтому его изображают в виде последовательного соединения идеального источника и некоторого пассивного двухполюсника с конечными динамическими парамет-

рами (рис. 3.21, б).

117

темы (например, скорость V (p)), которые принято называть обобщенными входом и выходом. Так:

V ( p) Y ( p)F ( p),

где Y (p) – матрица операторных подвижностей.

Элементы МПФ являются обычными ПФ и могут быть размерными или безразмерными величинами.

МПФ при силовом возбуждении. В механической системе при силовом возбуждении входной вектор состоит из обобщенных сил (сил и моментов), выходной – из обобщенных перемещений, скоростей или ускорений (включая угловые), а также из сил взаимодействия с присоединенными системами или жесткими опорами. Соответствующие передаточные функции называются операторной по-

датливостью, операторной подвижностью, операторной восприимчивостью, передаточной функцией сил. В многомерном случае получается матрица операторных податливостей и т. д.

МПФ при кинематическом возбуждении. В этом случае вход-

ной вектор состоит из обобщенных перемещений, скоростей или ускорений, выходной вектор – из сил взаимодействия с присоединенными системами или с жесткими опорами, а также из кинематических величин, аналогичных входным. Соответствующие передаточные функции называются операторной жесткостью,

операторным импедансом, операторной массой, передаточной функцией перемещений (скоростей, ускорений). В многомерной системе получается матрица операторных жесткостей и т. д.

При замене параметра p на j получают матрицу комплексных жесткостей и т. п.

П р и м е р

Передаточные функции колебательной системы с одной степенью свободы представлены в табл. 3.2.

119