Мехатроника и динамика мини-роботов

Характер движения полюсов (сближение или удаление) и приложенных сил (сжимающие или растягивающие) не зависит от принятого положительного направления оси Ox, поэтому при измене-

нии направления оси Ox на обратное аналогично изменяются направления векторов d, , a, F.

3.2.2. Графы механических цепей

Анализ сложных линейных механических цепей удобно проводить с помощью линейных графов. Линейный граф представляет собой схематический рисунок в виде сетки, элементами которой являются отрезки линий и места их соединений. Отрезки линий вместе с концевыми точками называют ребрами графа, а концевые точки ребра – вершинами. Строго линейным графом называют множество ребер, не имеющих никаких других общих точек, кроме вершин. При анализе механических цепей используют линейные графы цепей (графы цепей) и линейные графы сигналов (графы сигналов, графы потока сигналов) цепей. И те и другие гра-

фы являются направленными, так как каждое ребро в них ориентировано. Граф цепи несет информацию о соединении элементов цепи и всю информацию о связи переменных этой цепи.

3.2.3.Элементарные пассивные двухполюсники

Косновным элементарным пассивным двухполюсникам отно-

сятся: упругий элемент (УЭ) – упругость, диссипативный элемент (ДЭ) – демпфер и инерционный элемент (ИЭ) – масса. От-

личительной чертой этих элементов является простота математических соотношений, связывающих переменные двухполюсника.

Упругий элемент (упругость). Упругость – это идеальный механический элемент, относительное перемещение d полюсов которого пропорционально приложенной (воспринимаемой) силе F (рис. 3.9).

Для сил F1 и F2 , приложенных к полюсам 1 и 2, имеем (см. уравнение (3.21))

101

где F и D – переменные двухполюсника;

c – коэффициент жесткости упругого элемента. Положительному значению переменной d отвечает деформация

сжатия УЭ, а отрицательному – деформация растяжения.

Диссипативный элемент (демпфер). Демпфер (рис. 3.10) – это идеальный механический элемент, у которого относительная скорость v полюсов пропорциональна приложенной (воспринимаемой)

силе F (рис. 3.11).

Рис. 10. Упругий элемент с выбранным ассоциированным направлением (AH) и его граф G: a d , F 0; б d , F 0

102

Из уравнения (3.24) следует, что

Инерционный элемент (масса). Масса – это идеальный меха-

нический элемент, у которого относительное ускорение полюсов а

пропорционально приложенной (воспринимаемой) силе F в принятой системе отсчета. Один полюс массы как двухполюсника жестко связан с принятой системой отсчета (в общем случае неинерциальной) и имеет ее ускорение (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Схема инерционного элемента как двухполюсника

С принятой системой отсчета связана ось Ox, ось O ' x ' связана

с инерциальной системой отсчета. Для ускорений полюсов можно записать

a ax0 a1 a2 a1 a2 (a1 a2 )x0,

где а – относительное ускорение полюсов двухполюсника; x0 – единичный вектор осей x и x ;

a1, a2 – ускорения полюсов в принятой системе отсчета;

a1, a2 – абсолютные ускорения полюсов (в инерциальной системе отсчета).

104

В принятой системе отсчета в полюсах приложены силы F1 и F2

(рис. 3.14):

где m – масса инерционного элемента.

Рис. 3.14. Инерционный элемент с выбранным ассоциированным направлением AH и его граф G: a a, F 0; б a, F 0

3.2.4. Элементарные активные двухполюсники

Активные двухполюсники являются идеализированными механическими элементами — источниками механической энергии. Их условно делят на источники (возбудители) силы и источники (возбудители) кинематических величин — перемещений, скоро-

стей, ускорений.

Источник силы. Источник силы есть идеальный механический элемент с нулевым внутренним сопротивлением, который создает

105

в полюсах силы известного вида при произвольных, определяемых свойствами возбуждаемой системы, перемещениях полюсов

(рис. 3.15).

Рис. 3.15. Источник силы и его граф G с выбранным ассоциированным направлением (AH): а – воспринимаемая источником сила F 0; б F 0

Для источника силы в полюсах 1 и 2 имеем

1 x0 ; 2 x0 ;

F1 F 1 x0; F3 F 2 x0 ,

где 1, 2 – силы, создаваемые источником силы в полюсах 1 и 2; F1, F2 – силы, воспринимаемые источником силы в полюсах 1

и 2 при взаимодействии с механической системой.

Таким образом, источник силы можно характеризовать создаваемой силой и воспринимаемой силой F (см. рис. 3.15), F . Воспринимаемая сила положительна (F 0) при сжимающих вос-

принимаемых силах полюсов (рис. 3.15, а) и отрицательна (F 0)

при растягивающих силах (рис. 3.15, б). Знаки создаваемых сил противоположны.

106

При изображении механической цепи можно пользоваться создаваемыми силами. При составлении графа цепи и написании динамических уравнений во избежание ошибок следует использовать воспринимаемые силы. Таким образом, силовой переменной двухполюсника является воспринимаемая сила F .

На рис. 3.15 показан граф G источника силы с выбранным ассоциированным направлением AH.

Источники кинематических величин. Источник кинематиче-

ской величины (перемещения, скорости, ускорения) есть идеальный механический элемент с бесконечным внутренним сопротивлением, который задает определенное относительное движение полюсов при произвольных, определяемых свойствами возбуждаемой системы силах в полюсах (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Источник кинематической величины и его граф G с выбранным ассоциированным направлением (AH):

a d, , a 0; б d, , a 0

Для источника кинематической величины известен вектор относительного перемещения полюсов d. В зависимости от вида кинема-

107

тической величины, используемой в конкретной решаемой задаче,

различают источники перемещения d, скорости или ускорения а. Для сил в полюсах 1 и 2 имеем

F1 F Fx0 ; F2 F Fx0 ,

где F1, F2 – силы, воспринимаемые источником перемещения в по-

люсах 1 и 2;

F – сила, воспринимаемая источником перемещения;

– сила, создаваемая источником перемещения: F. Относительное перемещение полюсов

d d1 d2 dx0 ,

где d1, d2 – перемещение полюсов в принятой системе отсчета;

x0 – единичный вектор оси Ox.

В качестве переменных двухполюсника берем силу F и относи-

тельное перемещение d, скорость или ускорение а, в зависимости от решаемой задачи.

Соединения двухполюсников. При применении цепей требуется рассматривать взаимные соединения элементов, при которых полюсы двухполюсников соединяются в узлы. Особенно это важно при решении задач, в которых рассматривается движение только нескольких точек или элементов. В этом случае целесообразно упрощать систему, вводя эквивалентные двухполюсные элементы, внутри которых «спрятаны» полюса, не представляющие интереса при исследовании. Существуют два типа соединения элементов:

параллельное и последовательное. Двухполюсник, получающийся в результате соединения элементов, называют результирующим

или эквивалентным.

При параллельном соединении двухполюсников их полюсы объединяются в два узла (рис. 3.17) и у результирующего двухпо-

люсника воспринимаемая сила F равна сумме воспринимаемых сил Fi отдельных двухполюсников:

F Fi , i 1, 2,..., n,

i

108

а относительные перемещение d, скорость v и ускорение а полюсов такие же, как и у всех двухполюсников:

На рис. 3.17 показан граф G параллельного соединения двухполюсников.

Рис. 3.17. Параллельное соединение двухполюсников 1, 2, 3, 4 и его граф G

При последовательном соединении двухполюсников их по-

люсы соединяются так, что каждый узел принадлежит только двум двухполюсникам (рис. 3.18). У результирующего двухполюсника

воспринимаемая сила F равна воспринимаемым силам F1 отдельных двухполюсников:

F Fi , i 1, 2, ..., n),

а кинематические векторы d, v и a равны сумме кинематических векторов отдельных двухполюсников:

109