Мехатроника и динамика мини-роботов

ровать на основе механики деформируемого твердого тела. Уравнения, описывающие распространение волн в сплошной деформируемой среде, являются уравнениями в частных производных.

Приближенное описание динамики сплошного деформируемого твердого тела на основе многомассовой системы может быть проведено с помощью лагранжевого формализма. Так как упругие деформации обычно малы, то линеаризованные уравнения движения представляются в виде (3.7), что для частотного анализа позволяет применять метод интегральных преобразований Лапласа. Это позволяет использовать методы анализа и синтеза систем, основанные на теории цепей и передаточных функций.

Применяя к уравнениям (3.7) преобразование Лапласа

p t e pt dt,

0

получим

представляет собой матрицу операторов динамической податливости свободной системы, элементы которой обладают свойствами передаточных функций линейных систем и связывают преобразования Лапласа r-го входа и s-го выхода так, что решение (3.4) с учетом (3.5) в покомпонентном виде можно записать так:

n

s p Wrs p Mr p , s 1, 2, , n. (3.9)

r 1

90

Так как матрицы A, B, C симметричны, то и матрица W p также симметричная. Компоненты матрицы Wrs p вычисляются по формуле

где rs p – алгебраическое дополнение элемента r-й строки и s-го столбца этого определителя;

p det Ap2 Bp c – характеристический определитель

системы (3.10).

Обычно в машинах диссипация пренебрежимо мала, что позволяет в (3.8) положить B 0. Собственные формы и частоты систе-

мы удовлетворяют системе (3.8) при B 0, M 0.

Кинетическая и потенциальная энергии линеаризованной системы имеют вид

Так как квадратичные формы определенно-положительные, то существует вещественная неособенная замена переменных

приводящая к суммеквадратов сразу обе квадратичные формы (3.11):

91

Обобщенные координаты j называются главными или нор-

мальными. Уравнения движения (3.6) в главных координатах запишутся в виде несвязанных n-уравнений второго порядка:

92

Запишем Aг в виде

Aг diag 0 , 1, , n ;

s as T Aus , s 0, , n;

n

0 Ir Ic ,

r 0

r diag 0 , 1, , n ,

Представим компоненты вектора Мг в виде

MГs us T MГ us0M g usnMn .

Тогда (3.6) записывается в виде n 1 независимых уравнений:

Ic p2 0 M g Mn ;

Решение системы (3.15) запишем в виде

Подставляя (3.12) в (3.6), получим выражения для -решения неоднородных уравнений (3.6), (3.7), описывающих динамику сис-

93

темы под действием внутренних сил. Покомпонентное выражение имеет вид

Выражения для компонентов передаточной матрицы запишутся в безразмерном виде:

94

Выражение (3.16) является условием существования ненулевых амплитуд us , удовлетворяющих системе

Собственные частоты выражаются через собственные формы (формула Рэлея):

2 uT Сus ks usT Сu ,

h s

причем считается, что uso 1, h0 T 1,1, ,1 . Применим к (3.9) обратное преобразование Лапласа

получим выражение для s t в виде

t

s t Wrs t Mr d .

r 10

В случае резонанса, что соответствует в (3.16)

1 k

m m

совпадению с одной из собственных частот системы в знаменателе Wrs j , он становится бесконечным. Это происходит, когда период

(частота) действия на систему, совпадает с собственной частотой.

В этом случае нормальная форма колебаний находится из уравнения типа

asin t,

95

общее решение которого имеет вид

Как следует из (3.18) функция * t растет, а потому линеаризо-

ванные уравнения вибрации должны заменяться более точными нелинейными.

Учет вязкости (диссипации) в системе также позволяет получать более реалистичные конечные режимы движения.

3.1.6. Антирезонансные частоты

Из анализа выражения (3.17) видно, что если закрепить массы в r-й и s-й материальных точках системы, величина Wrs j обра-

щается в 0 при совпадении с одной из собственных частот системы. Эти частоты называются антирезонансными. В отличие от резонансных частот, общих для всех Wrs , антирезонасные частоты

для каждой динамической податливости свои. Антирезонасные частоты диагональных элементов матрицы динамических податливо-

стей Wrr j располагаются между их резонансными частотами:

0 k1 k1 k2 kn kn ,

где k1 – антирезонасные, а ki – резонансные частоты.

При r s расположение антирезонансных частот зависит от перемен знака в ряду чисел

имеется антирезонансная частота km 1. Если знаки различные, то соответствующая антирезонансная частота отсутствует.

96

Число перемен знака в ряду (3.19) всегда равно s r.

Метод передаточных функций позволяет решать задачи синтеза динамических систем с помощью параллельно и последовательно соединяемых звеньев.

3.2.Модели механических подсистем

иметод механических цепей

Механическую систему можно представить в виде соединения элементов, причем одни элементы можно представить имеющими только инерционные свойства, другие — безынерционными упру-

гими элементами, третьи — устройствами с трением. Отдельно представляют элементы, поставляющие энергию в механическую систему и возбуждающие ее движение: активные элементы или источники. Элементы, не имеющие независимых источников сил или кинематических величин, называют пассивными.

Механическую систему, представленную в виде активных и пассивных элементов, называют механической цепью. Механическая цепь отражает динамические свойства исходной механической системы. Места соединения элементов называют узлами. Соединение двух и более пассивных элементов называют звеном. Место, в котором к системе прикладывается воздействие, называют входом. Выходом называют место, в котором оценивают реакцию системы. Вход (или выход) системы, характеризующийся обобщенными координатой и силой, называют полюсом. В общем случае вход и выход системы могут быть многополюсными. Любой элемент механической цепи имеет по крайней мере два полюса. Элемент, имеющий два полюса, называют двухполюсником. Возможны механические цепи, составленные из n-полюсников, однако на практике наиболее распространены цепи из двухполюсников.

Для рассмотрения связанных колебаний пространственно-много- мерных механических цепей наиболее удобны общие методы исследования линейных систем с конечным числом степеней свободы. Однако при исследовании довольно распространенных простран- ственно-одномерных механических цепей для инженерных целей более удобными оказываются методы, в которых уравнения движения системы находят непосредственно из топологии рассматриваемой механической цепи на основе законов Кирхгофа. Это позволяет

97

для описания, анализа и синтеза механических цепей применить аппарат теории графов и дать систематический и формализованный подход к исследованию механических цепей.

3.2.1. Двухполюсные элементы и звенья механических цепей

Переменные двухполюсника. Двухполюсник можно характеризовать силами F1 и F2 , приложенными к его полюсам 1 и 2, и пара-

метрами движения полюсов (рис. 3.6).

Относительное движение полюсов удобно характеризовать с по-

мощью кинематических векторов двухполюсника d, и a (d –

98

относительное перемещение, – относительная скорость; а – относительное ускорение полюсов; ниже эти векторы обобщенно обозначаются буквой k ):

где d , и a – кинематические переменные двухполюсника,

обобщенно обозначаемые буквой k;

ek k d, , a – единичные векторы, направленные от полюса

сбольшим алгебраическим значением кинематической переменной

кполюсу с ее меньшим алгебраическим значением.

Положительно направленным векторам d и отвечает сближе-

ние полюсов двухполюсника, поэтому при условии, что координата xi полюса i меньше координаты j полюса j(xi x j ):

k ki k j ;

k d, , a.

Так, для указанных на рис. 3.7 индексации полюсов и направления оси Ох

d d1 d2;

F1 F1x0 Fx0 F;

(3.21)

F2 F2 x0 Fx0 F,

где F – воспринимаемая двухполюсником сила; F – силовая переменная двухполюсника.

99