Механика

Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы, учитывая совместное действие изгиба и кручения.

При расчете валов, а также других элементов конструкций, испытывающих одновременное действие изгиба и кручения, влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как соответствующие им касательные напряжения в опасных точках бруса, невелики по сравнению с касательными напряжениями от кручения и нормальными напряжениями от изгиба.

На рис. 19.16, а показан вал, на который насажены зубчатое колесо диаметром d1 и шкив ременной передачи диаметром d2 . На зубчатое колесо действуют окружная Ft и радиальная Fr силы, на шкив – силы F1 и F2 натяжения ветвей ремня. Для составления расчетной схемы вала (рис. 19.16, б) все силы должны быть приведены к его оси. При переносе силы Ft к оси вала добавляется скручивающая

181

а

б

Рис. 19.16. Изгиб с кручением вала

182

а

б

Рис. 19.17. Перенос сил к оси вала

При равномерном вращении вала (только такой случай и рассматривается) M1 M2 , что следует из основного уравнения ди-

намики для вращательного движения.

На основе расчетной схемы определяют опорные реакции и строят эпюры M z , M x и M y , по которым определяют опасное се-

чение вала.

Для вала, диаметр которого по всей длине постоянен, опасным будет сечение, в котором одновременно возникают наибольшие

крутящий M z и изгибающий M и моменты. В рассматриваемом

случае опасным будет сечение C под серединой шкива.

Валы, как правило, изготовляют из среднеуглеродистой конструкционной или реже – легированной стали. Их расчет выполняют на основе третьей или пятой гипотез прочности.

Составим расчетную зависимость по третьей гипотезе прочности.

По формуле

183

σэкв σ2 4τ2 ,

подставляя в нее значения σ и τ , получаем

σэкв .

Учитывая, что для круглого (сплошного или кольцевого) сечения Wp 2Wи , имеем

Внешне эта формула аналогична расчетной зависимости для определения максимальных нормальных напряжений при изгибе, поэтому величину, стоящую в числителе, называют эквивалентным (или приведенным) моментом, при этом условие прочности имеет вид

M

σэкв Wи

Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением ведется аналогично расчету на изгиб, но вместо изгибающего момента в расчетную формулу входит так называемый эквивалентный момент, который зависит от изгибающих и крутящего моментов, а также от принятой гипотезы прочности. По гипотезе наибольших касательных напряжений,

Mэкв

При проектном расчете определяют требуемое значение момента сопротивления поперечного сечения:

Wи .

184

получаем следующую формулу для определения требуемого диаметра вала:

Понятие «эквивалентный момент» не имеет смысла при изгибе с кручением бруса некруглого поперечного сечения. Неприменимо оно и в случае, если помимо изгиба и кручения брус круглого сечения испытывает растяжение или сжатие.

Для бруса с постоянным диаметром опасная точка находится в сечении, для которого эквивалентный момент имеет наибольшее значение. Это сечение также называют опасным. Для отыскания

опасного сечения иногда помимо эпюр M x , M y , M z строят эпю-

ру M и , а затем эпюру M экв . Практически в этом нет необходимо-

сти; в случае, если по эпюрам M x , M y , M z положение опасного сечения определить нельзя, проще вычислить M экв для нескольких сечений, чем строить эпюры M и и M экв .

ГЛАВА 20. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

20.1. Понятие о критической силе для сжатого стержня. Формула Эйлера

Из физики известно, что равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила или пара сил, возвращающая его в положение равновесия. Кроме устойчивого известны также неустойчивое и безразличное равновесия, но для механических конструкций допустимы лишь случаи устойчивого равновесия. Если по каким-либо причинам упругое тело или кон-

185

струкция при отклонении от равновесного положения не возвращается к исходному, то говорят, что произошла потеря устойчивости.

Явление потери устойчивости упругого тела рассмотрим на примере сжатого стержня. Представим, что на прямолинейный стальной стержень, зажатый одним концом в вертикальном положении (рис. 20.1, а) сверху надет шар. При небольшом значении силы тяжести G1, сжимающей стержень, он сохраняет прямолинейную форму и находится в устойчивом равновесии.

Действительно, если отклонить шар вместе с верхней частью стержня в сторону, то под действием упругих сил стержень, поколебавшись около положения равновесия, снова примет прямолинейную форму. Постепенно увеличивая сжимающую нагрузку путем установки более тяжелых шаров (рис. 20.1, б), увидим, что стержень хотя и сохраняет прямолинейную форму, но при отклонении от положения равновесия возвращается в исходное положение гораздо медленнее. Наконец, при некоторой нагрузке G3 (рис. 20.1, в) стержень изогнется, и прямолинейная форма устойчивого равновесия переходит в новую, криволинейную форму устойчивого равновесия.

Рис. 20.1. Потеря устойчивости

Если теперь стержень принудительно выпрямить или, наоборот, изогнуть еще больше, он после нескольких колебаний займет исходное равновесное положение в изогнутом состоянии.

186

Максимальная сжимающая нагрузка Fкр , при которой прямоли-

нейная форма стержня устойчива, называется критической силой. Смысл расчета на устойчивость сжатого стержня заключается в

том, чтобы он при некотором значении F осевой нагрузки сохранял устойчивость прямолинейной формы и обладал при этом некоторым запасом устойчивости (рис. 20.2):

S FFкр .

Рис. 20.2. К определению запаса устойчивости

Условие устойчивости сжатого стержня

F

Sy F

где Sy – коэффициент запаса устойчивости.

Задачу определения критической силы впервые чисто математически решил Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

187

где Imin – минимальное значение момента инерции площадки попе-

речного сечения стержня, так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости;

l – длина стержня;

μ – коэффициент приведения длины, т. е. число, показывающее,

во сколько раз следует увеличить длину шарнирно закрепленного с обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него была равна критической силе стержня в данных условиях закрепления.

Экспериментальные исследования, связанные с проверкой формулы Эйлера, показывают, что при прочих равных условиях (одинаковые материал, форма и размеры поперечного сечения, а также длина стержня) значение критической силы зависит от способа закрепления его концов.

д е

г

Рис. 20.3. Значения коэффициента приведения длины стержня при различных способах закрепления его концов

188

На рис. 20.3 изображены несколько случаев закрепления стержня

иуказаны соответствующие значения коэффициента приведения μ:

–оба конца шарнирно закреплены (рис. 20.3, а);

–один конец жестко закреплен, другой – свободен (рис. 20.3, б);

–один конец закреплен шарнирно, второй имеет «плавающую» заделку (рис. 20.3, в);

–один конец заделан жестко, второй имеет «плавающую» задел-

ку (рис. 20.3, г);

–оба конца заделаны жестко (рис. 20.3, д);

–один конец заделан жестко, другой закреплен шарнирно

(рис. 20.3, е).

20.2. Критическое напряжение. Пределы применимости формулы Эйлера

При осевом нагружении стержня в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения сжатия, которые возрастают по мере увеличения нагрузки. Нормальные напряжения, соответствующие критической силе, называются критическими:

σкр FAкр .

После подстановки значения критической силы из формулы

min

189

ня. Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости; с увеличением гибкости уменьшается сопротивляемость стержня потере устойчивости. Заметим, что гибкость λ стержня не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой и размерами сечения.

Определяя значение критической силы, Эйлер исходил из рассмотрения упругой линии изогнутого стержня, поэтому формула

π2 E σкр λ2

справедлива только в пределах применимости закона Гука, иначе говоря, до тех пор, пока критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня, т. е. при условии

π2 E

σкр λ

Отсюда

λE

σпц

Стоящая в правой части неравенства постоянная для данного материала безразмерная величина называется предельной гибкостью:

E

λпред π σпц .

Применимость формулы Эйлера определяется условием

λ

Формула Эйлера применима только в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости того материала, из которого он изготовлен. Как правило, многие конструкции имеют стержни с гибкостью меньше предельной.

190