Механика

Правую часть последнего неравенства называют допускаемым напряжением и обозначают

В случае, если предельные, а следовательно, и допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают со-

ответственно σр и σс .

Пользуясь понятием «допускаемое напряжение», можно сказать, что прочность конструкции обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого, т. е.

σ

Это неравенство, так же как и неравенства (18.2) и (18.3), назы-

вают условием прочности.

Будут встречаться три упоминавшиеся уже категории напряжений. 1. Предельные (или опасные) напряжения, при достижении ко-

торых появляются признаки непосредственного разрушения или возникают пластические деформации.

Эти напряжения зависят от свойств материалов и вида деформации, например, для серого чугуна предельное напряжение (пре-

дел текучести) при сжатии σпч.с примерно в четыре раза выше предельного напряжения при растяжении σпч.р

2.Допускаемые напряжения – наибольшие напряжения, которые можно допустить в рассчитываемой конструкции из условий ее безопасной, надежной и долговечной работы.

Эти напряжения зависят от свойств материала, вида деформации

итребуемого (принятого или заданного) коэффициента запаса прочности.

3.Расчетные напряжения – напряжения, которые возникают в элементе конструкции под действием приложенных к нему нагрузок.

Эти напряжения зависят от нагрузок, действующих на элемент конструкции, и его размеров.

161

ГЛАВА 19. РАСЧЕТ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, МОДЕЛИРУЕМЫХ

ВФОРМЕ СТЕРЖНЯ

19.1.Расчеты на прочность стержней при растяжении–сжатии

Условие прочности при растяжении–сжатии записывается в виде

Под σ следует понимать наибольшее расчетное напряжение.

Незначительное превышение наибольших расчетных напряжений над допускаемыми, конечно, не опасно, так как допускаемое напряжение составляет лишь некоторую часть от предельного, обычно до 3 %.

В зависимости от цели расчета (постановки задачи) различают три вида расчетов на прочность:

1)проверочный;

2)проектный;

3)определение допускаемой нагрузки.

1. При проверочном расчете нагрузка бруса, его материал (а следовательно, допускаемое σ или предельное напряжение σпред )

и размеры известны. Определению подлежит наибольшее расчетное напряжение, которое сравнивают с допускаемым. С проверочными расчетами встречаются при экспертизе выполненных проектов.

Расчетная формула (условие прочности при растяжении или сжатии) имеет вид

σN A

где σ – напряжение, возникающее в опасном поперечном сечении бруса (опасным называют сечение, для которого коэффициент запаса прочности имеет наименьшее значение);

N – продольная сила в указанном сечении;

A – площадь опасного поперечного сечения;

162

σ – допускаемое напряжение ( σp при растяжении и σc

при сжатии).

В ряде случаев при проверочном расчете удобнее сопоставлять не расчетное напряжение с допускаемым, а сравнивать расчетный коэффициент запаса прочности для опасного сечения с требуемым, т. е. проверять, соблюдается ли неравенство

σ

n

σ

2.При проектном расчете нагрузки и материал (допускаемые напряжения) известны, и в этом случае определяют требуемую площадь сечения бруса А.

3.В некоторых случаях проверочный расчет удобнее вести в форме определения допускаемой нагрузки. Это целесообразно,

когда возникает необходимость в повышении нагрузок существующего оборудования и, следовательно, надо знать их предельно допускаемое по условию прочности значение.

При этом расчете размеры бруса и его материал (допускаемое напряжение) известны, определению подлежит нагрузка, которую можно допустить по условию его прочности. Определяют допускаемое значение продольной силы [N]. По этому значению с помощью метода сечений определяют допускаемое значение внешних сил – нагрузок.

19.2. Особенности расчета статически неопределимых стержневых систем

Если внутренние силы определялись только на основе условий равновесия отсеченной части системы (или отдельного бруса), си-

стемы называют статически определимыми.

Системы, в которых внутренние силовые факторы (ВСФ), в частности продольные силы, не могут быть определены с помощью только метода сечений, называют статически неопределимыми системами. Соответственно задачи, связанные с расчетом указанных систем, также принято называть статически неопределимыми.

Брус, изображенный на рис. 19.1, жестко заделан обоими концами; в заделках возникают реакции, направленные вдоль оси бруса.

163

Таким образом на брус действует система сил, направленных по одной прямой; статика в этом случае дает одно уравнение равновесия:

неизвестных же сил – две.

Рис. 19.1. Статически неопределимая система

Для решения статически неопределимой задачи помимо уравнений статики надо составить так называемые уравнения перемещений, основанные на рассмотрении деформации системы (это геометрическая сторона задачи) и применении закона Гука.

Пусть невесомая, весьма жесткая балка, нагруженная силой F, подвешена на стержнях (рис. 19.2). Стержни изготовлены из одинакового материала и имеют одинаковые сечения. Система один раз статически неопределима: для плоской системы параллельных сил статика дает два независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил – три. Обозначим реакции, так же, как и силы, действующие на стержни, через N1, N2, N3.

Рис. 19.2. Статически неопределимая задача

164

Составляем уравнения равновесия приложенных к балке сил

(рис. 19.3):

(19.1)

N3

Рис. 19.3. Схема деформации системы

В результате деформации стержней балка займет положение, показанное на рис. 19.3 штриховыми линиями. Действительно, предположение о высокой жесткости балки позволяет пренебречь ее изгибом, а симметрия самой системы и нагрузки приводит к заключению, что все стержни удлиняются одинаково. Таким образом, геометрическая сторона задачи может быть выражена уравнением

Выражая удлинения стержней по формуле Гука, получим

165

19.3. Напряженно-деформированное состояние при прямом поперечном изгибе

Изгиб – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы; такой изгиб называют поперечным; если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым.

Плоскость, проходящую через продольную ось бруса (OZ) и одну из главных центральных осей его поперечного сечения (OY),

называют главной плоскостью бруса (рис. 19.4).

Рис. 19.4. Схема нагружения бруса при прямом поперечном изгибе

В случае если силовая плоскость, т. е. плоскость действия нагрузок, совпадает с одной из главных плоскостей (см. рис. 19.4), имеет место прямой изгиб бруса. В общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях бруса возникают два внутренних силовых фактора: по-

перечная сила Qy и изгибающий момент M x (рис. 19.5).

166

Учитывая, что при прямом поперечном изгибе все внешние силы расположены в одной плоскости, при определении ВСФ нет надобности прибегать к аксонометрическим изображениям.

Брус (балку) изображают одной линией, к которой приложены заданные нагрузки. Эта линия представляет собой продольную ось бруса.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 9.7). Считаем, что опорные реакции известны.

Рис. 19.7. К определению внутренних силовых факторов в сечении изгибаемой балки

Определяем реакции в опорах:

откуда

168

Поперечная сила Qy в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к его отсеченной части.

Изгибающий момент Mx в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно той точки продольной оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение.

Для определенности при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов установим для них правила знаков.

При построении эпюр удобнее устанавливать знаки Qy и Mx по внешним силам.

Внешняя сила, стремящаяся повернуть отсеченную часть балки по часовой стрелке вокруг той точки оси, которая соответствует проведенному сечению, вызывает положительную поперечную силу

(рис. 19.8, а).

Внешняя сила (момент), изгибающая эту часть выпуклостью вниз, т. е. таким образом, что сжатые волокна находятся сверху, дает положительный изгибающий момент (рис. 19.8, б).

а

б

Рис. 19.8. Правило знаков для Qy и Mx

169

19.4. Условия прочности при прямом поперечном изгибе

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными, как известно, возникают и касательные напряжения, но они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются:

Qy

A

M x

A

Расчет балок из пластичных материалов. Прочность балки из

пластичного материала обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном поперечном сечении, не превышают допускаемых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны (пока только такими балками и ограничимся), опасное сечение – то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках опасного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной

оси. Будем называть эти точки опасными. Ymax – расстояние от

опасной точки до нейтральной оси. Тогда получим условие прочности в виде

где σmax – максимальное нормальное напряжение;

M x max – максимальный изгибающий момент;

Ix – момент инерции относительно оси ОХ – осевой момент инерции;

σ – допускаемое напряжение, принимаемое при статическом

нагружении таким же, как и в случае растяжения (сжатия) бруса из того же материала.

170