Механика

При растяжении напряжения считают положительными. В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения (рис. 17.6). Это яв-

ление называют концентрацией напряжений.

В тех случаях когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика – эпюры нор-

мальных напряжений.

17.3. Продольная и поперечная деформации. Закон Гука. Модуль упругости. Коэффициент Пуассона

Вопрос об определении нормальных напряжений теснейшим образом связан с расчетами бруса на прочность. Умение вычислять деформации и перемещения необходимо для расчетов на жесткость, а также для определения сил в статически неопределимых системах.

Выделим из бруса, изображенного на рис. 17.7, бесконечно малый элемент длиной dz.

Рис. 17.7. К определению продольных и поперечных деформаций бруса при его растяжении

Отношение приращения (изменения) длины элемента к его первоначальной длине называется относительным удлинением или

продольной деформацией:

152

Значения коэффициента Пуассона для различных материалов находятся в пределах от 0 до 0,5.

Минимальное значение коэффициент Пуассона имеет для пробки ( μ = 0); максимальное – для каучука ( μ 0,5). Для большинства ме-

таллов и сплавов значение коэффициента Пуассона колеблется в сравнительно узких пределах: от 0,23 до 0,35 (в среднем примерно 0,3).

Определение изменения длины (удлинения или укорочения)

бруса. Удлинение или укорочение равно

Nl

(17.1)

E A

Выражение (17.1) часто называют формулой Гука, а произведение Е ∙ А условно называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии). Жесткость бруса (участка бруса) определяется по формуле

и численно равна силе, вызывающей удлинение (или укорочение) бруса, равное единице длины: 1 м или 1 см и т. п.

При расчетах в единицах СИ коэффициент жесткости выражают в ньютонах на метр (Н/м).

Величину, обратную коэффициенту жесткости, называют коэф-

фициентом податливости:

1 1

βс E A .

Коэффициент податливости численно равен удлинению (укорочению) бруса, вызванному силой, равной единице силы: 1 H или 1 кН:

N

с

или

154

17.4. Частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге

Рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния, для которого отличные от нуля главные напряжения равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 17.8).

Рис. 17.8. Частный случай плоского напряженного состояния

Такое напряженное состояние носит название чистого сдвига. Максимальное главное напряжение следует обозначить σ1 , мини-

мальное σ3 ; по условию σ1 σ3 ; промежуточное главное напряжение σ2 = 0.

Чистым сдвигом называют такое плоское напряженное состояние, при котором в окрестности данной точки можно выделить элемент таким образом, чтобы на четырех его гранях были только равные между собой касательные напряжения.

В качестве примера, иллюстрирующего возникновение чистого сдвига, рассмотрим кручение тонкостенной трубы (рис. 17.9, а). Из условия равновесия отсеченной части трубы, изображенной отдельно на рис. 17.9, б, следует, что в поперечном сечении (любом) возникает лишь один внутренний силовой фактор – крутящий момент Mz, численно равный внешнему моменту М. В поперечном сечении трубы возникают касательные напряжения τ .

Деформация сдвига. Изобразим элемент, выделенный площадками, на которых возникают только касательные напряжения (рис. 17.10). Учитывая, что нас интересуют деформации элемента, а не его перемещения как твердого тела, одну из граней будем считать неподвижной. Мерой деформации сдвига служит изменение перво-

155

начального прямого угла между гранями элемента, называемое углом сдвига и обозначаемое γ . Угол сдвига, выражается в радианах.

а

б

Рис. 17.9. Кручение тонкостенной трубы

Рис. 17.10. Деформация элемента при сдвиге

Между углом сдвига и соответствующим касательным напряжением существует прямая пропорциональность – закон Гука при сдвиге:

τ G γ.

Здесь G – упругая постоянная материала, характеризующая его жесткость при деформации сдвига и называемая модулем сдвига

или модулем упругости 2-го рода:

E

G 2(1 μ) .

Размерность модуля сдвига та же, что и напряжения.

156

ГЛАВА 18. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

18.1. Экспериментальные исследования механических свойств при проведении стандартных испытаний на растяжение

Основные механические характеристики.

1.Прочность – способность материала не разрушаясь воспринимать внешние механические воздействия.

2.Пластичность – способность материала не разрушаясь давать значительные остаточные деформации.

3.Упругость – способность материала после снятия нагрузок восстанавливать свои первоначальные формы и размеры.

4.Твердость – способность материала сопротивляться проникновению в него другого тела, практически не получающего остаточных деформаций.

По характеру нагружения различают испытания статические, динамические и испытания на усталость (при переменных напряжениях).

По виду деформации различают испытания на растяжение, сжатие, срез, кручение, изгиб. Реже проводят испытания при сложном нагружении, например на совместное действие изгиба и кручения.

Механические испытания проводят на образцах, формы и размеры которых установлены государственными стандартами или техническими условиями (рис. 18.1).

Рис. 18.1. Образец для проведения испытаний

Статические испытания на растяжение. Наиболее распростра-

ненным является испытание на растяжение статической нагрузкой. Испытания проводят на разрывных или универсальных машинах

с механическим или гидравлическим силообразованием.

157

Машина снабжена диаграммным аппаратом, который в процессе испытания вычерчивает график зависимости между силой F, растя-

б

Рис. 18.2. График зависимости F( l) (а) при растягивании образца (б)

Для получения механических характеристик материала (т. е. для того, чтобы исключить влияние абсолютных размеров образца) эту диаграмму перестраивают: все ординаты делят на начальную пло-

158

щадь поперечного сечения А0, а все абсциссы – на начальную расчетную длину l0. В результате получают так называемую условную диаграмму растяжения (рис. 18.3).

стижения которого в образце не возникает остаточных деформаций;

исходит рост пластических деформаций образца при практически постоянной нагрузке;

ние) – условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом до разрушения.

159

18.2. Условие прочности, коэффициент запаса прочности, допускаемые напряжения

Конструкционные материалы можно разделить на три основные группы: пластичные, хрупкопластичные, хрупкие.

Механические испытания материалов позволяют определить те напряжения, при которых образец из данного материала разрушается или в нем возникают заметные пластические деформации. Эти напряжения называют предельными (или опасными).

Отношение предельного напряжения σпред к наибольшему рас-

четному напряжению σ , возникающему в элементе конструкции при эксплуатационной нагрузке, обозначают буквой n и называют

коэффициентом запаса прочности (или, как иногда говорят, коэффициент запаса):

Значение n должно быть больше единицы (n > 1), иначе прочность конструкции будет нарушена. Устанавливают значение минимально необходимого коэффициента запаса прочности. Этот коэффициент обозначают [n] и называют требуемым (или норма-

тивным) коэффициентом запаса прочности.

Прочность элемента конструкции считают обеспеченной, если его расчетный коэффициент запаса прочности не ниже требуемого, т. е.

n

Это неравенство называют условием прочности.

Используя выражение (18.1), перепишем условие прочности в виде

Отсюда можно получить и такую форму записи условия прочности:

160