Механика

Определим полное ускорение точки А, силу инерции и направление силы инерции:

ним силу тяжести и силу инерции:

Силой веса по сравнению с силой инерции при практических расчетах также можно пренебречь.

Момент сил инерции

Mu

Покажем направление всех векторных величин на чертеже. 5. Определение общего КПД механизма.

η = ηк

Здесь ηк 0,95 – КПД конической пары с учетом потерь в подшипниках.

141

РАЗДЕЛ 3 ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

ГЛАВА 16. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ДЕТАЛИ

16.1. Метод сечений

Под внутренними силами будем подразумевать не их абсолютные значения, а только те приращения, которые вызваны действующими на тело нагрузками,

Для расчета на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по заданным внешним силам.

Основу для решения этой задачи дает метод сечений «Розу»: Р – разрезаем тело плоскостью на две части; О – отбрасываем одну часть;

З – заменяем действие отброшенной части внутренними силами; У – уравновешиваем оставшуюся часть и из уравнения равнове-

сия определяем внутренние силы.

Применяя метод сечений, силы, являющиеся внутренними для тела в целом, переводят во внешние для одной из его частей, полученной в результате мысленно проведенного сечения.

Рассмотрим брус, находящийся в равновесии под действием произвольной системы внешних (активных и реактивных) сил (рис. 16.1). Рассечем его на две части (I и II) некоторой произвольной плоскостью, перпендикулярной его продольной оси, и отбросим одну из частей (например I) (рис. 16.2). Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена к ее главному вектору и главному моменту, которые статически эквивалентны заданной системе сил. Главный вектор системы – три составляющие по осям выбранной системы координат. Главный момент – три момента, каждый из которых стремится повернуть тело вокруг одной из координатных осей.

Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил, возникающих в поперечном сечении бруса (рис. 16.3), носят название внутренних силовых факторов (ВСФ) в этом сечении. Nz – продольная (или нормальная) сила; Qx, Qy – поперечные силы; Mz – крутящий момент; Qx, Qy – изгибающие моменты (рис. 16.4).

142

Истинное напряжение в данной точке рассматриваемого сечения

p lim

Отношение будет величиной конечной.

Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению есть

Паскаль – это напряжение, при котором на площадке в 1 м2 возникает внутренняя сила, равная 1 H; но эта единица очень мала, поэтому используется кратная ей единица – мегапаскаль, 1 МПа = 106 Па.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну – направленную по нормали к сечению (нормальное напряжение ), вторую – лежащую в плоскости сечения (касательное напряже-

ние τ ) (рис. 16.6). Между напряжениями р, и τ существует следующая очевидная зависимость:

p

145

В ряде случаев оказывается удобным разложить вектор р не на две, а на три составляющие, направленные параллельно координатным осям (рис. 16.7):

p .

Правило индексов: первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, второй индекс показывает, какой оси параллельно данное напряжение.

Установим связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса. Элементарные внутренние силы:

dNz σdA ;

dQx τzxdA ;

dQy τzydA .

Выражения составляющих главного вектора внутренних сил:

Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответствующей оси, получаем элементарные моменты внутренних сил:

146

Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получаем выражения для составляющих главного момента внутренних сил:

Выражения (16.1)–(16.6) не служат для вычисления внутренних силовых факторов. Они выражают их физическую сущность.

ГЛАВА 17. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА МАТЕРИАЛА

17.1. Напряженное состояние в точке. Закон парности касательных напряжений. Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний

Напряженное состояние в данной точке тела характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих на бесчисленном множестве различно ориентированных в пространстве площадок, которые можно провести через эту точку.

Предположим, что в окрестности исследуемой точки выделен бесконечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и напряжения, возникающие на его гранях, известны.

Девять величин называют компонентами (рис. 17.1) напряженного состояния в данной точке.

Из условия равновесия выделенного элемента следует, что составляющие касательных напряжений, возникающих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру этих площадок, равны по абсолютному значению, т. е.

147

Рис. 17.1. Напряжения на гранях элементарного куба

Это положение называют законом парности касательных напряжений. Следовательно, из девяти компонентов напряженного состояния независимы лишь шесть.

Первое положение теории напряженного состояния может быть сформулировано следующим образом: напряженное состояние в точке тела задано, если известны напряжения на любых трех проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через исследуемую точку, имеются три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых отсутствуют. Эти площадки и возникающие на них нормальные напряжения называют главными.

Классификацию видов напряженного состояния ведут по главным напряжениям. Если все три главных напряжения отличны от нуля, напряженное состояние называют объемным, пространственным или трехосным. В случае если одно из главных напряжений равно нулю, напряженное состояние называют плоским, или двухосным, наконец, если лишь одно из главных напряжений отлично от нуля, напряженное состояние линейное, или одноосное:

148

Элементы, выделенные главными площадками, для различных частных случаев напряженного состояния показаны на рис. 17.2: а – трехосное растяжение; б – трехосное сжатие; в – трехосное смешанное напряженное состояние; г – двухосное растяжение; д – двухосное сжатие; е – частный случай двухосного смешанного напряженного состояния – чистый сдвиг; ж – одноосное растяжение; з – одноосное сжатие. Площадки, свободные от напряжений, так называемые нулевые главные площадки, покрыты точками.

Рис. 17.2. Различные случаи напряженного состояния

149

17.2.Однородное растяжение бруса как пример реализации одноосного напряженного состояния материала

При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила, обозначаемая Nz или N (рис. 17.3, 17.4).

а

б

Рис. 17.3. Однородное сжатие бруса

а

б

Рис. 17.4. Однородное растяжение бруса

Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, часто называют стержнями.

Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия – отрицательными. При растяжении продольная сила направлена от сечения (рис. 17.4, б), а при сжатии – к сечению (рис. 17.3, а).

Модуль и направление (знак) продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной (оставленной после проведения сечения) части бруса:

150