Механика

iаНb 1 iаНb ,

где индекс b соответствует неподвижному центральному колесу. Планетарные механизмы часто называются планетарными пере-

дачами. Они позволяют получать большие передаточные отношения при малых габаритах.

ГЛАВА 14. ОСНОВЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МЕХАНИЗМОВ

14.1. Задачи и методы кинематического анализа механизмов. Масштабные коэффициенты

Кинематический анализ механизма состоит в определении движения его звеньев по заданному движению начальных звеньев. При этом считается известной кинематическая схема механизма, т. е. его структурная схема с указанием размеров звеньев, необходимых для кинематического анализа.

Основные задачи кинематического анализа.

1.Определение положений звеньев и траекторий отдельных точек звеньев.

2.Определение линейных скоростей и ускорений точек, угловых скоростей и ускорений звеньев.

3.Определение передаточных отношений между звеньями.

Эти задачи могут решаться графическими, аналитическими и экспериментальными методами.

Масштабные коэффициенты

Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину.

Например, если длина звена равна l = 0,05 м, а отрезок, изображающий это звено, AB = 50 мм, то масштабный коэффициент длин μ1 = 0,05/50 = 0,001 м/мм, что соответствует чертежному масшта-

бу 1 : 1; если же АВ = 25 мм, то μ1 = 0,05/25 = 0,002 м/мм (1 : 2).

121

14.2. Построение положений рычажных механизмов методом засечек

Кинематический анализ механизмов выполняется в порядке присоединения структурных групп.

Построение положений плоских механизмов второго класса обычно выполняется методом засечек. В качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис.14.1).

Рис. 14.1. Кривошипно-ползунный механизм

Вначале находим крайние положения механизма (0 и 3), в которых кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Для этого из центра О делаем засечки радиусами АВ + ОА и АB – ОА на линии движения ползуна 3. Далее делим окружность, описываемую точкой А, на равные части (например, на шесть) и отмечаем последовательные положения точки А – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а затем методом засечек на линии движения ползуна получаем последовательные положения точки В – 0, 1, 2, 3 (движение справа налево) 4, 5, 6

122

(движение слева направо). S – ход ползуна. В результате получаем последовательные положения всех звеньев механизма.

Траектория некоторой точки К шатуна получается, если все последовательные положения точки соединить плавной кривой.

14.3. Определение скоростей и ускорений рычажных механизмов методом планов

щий . Точка p – полюс плана скоростей.

123

Рассматриваем структурную группу (2, 3). Для определения скорости точки B составляем векторное уравнение согласно теореме о плоскопараллельном движении:

(14.1)

где – скорость точки В во вращательном движении звена 2 от-

носительно точки А, ,

Уравнение (14.1) решаем графически. Для этого из полюса p от-

затем из полюса p проводим прямую в направлении суммарного

вектора , т. е. параллельно х – х. Пересечение указанных направлений дает точку b. В результате находим

AB

Для определения направления угловой скорости ω2 шатуна 2

ку В и наблюдаем, в какую сторону он поворачивает звено 2 относительно точки А.

Скорость точки K шатуна находим на основании векторных уравнений

Отметим основные свойства планов скоростей.

1. Векторы абсолютных скоростей начинаются в полюсе плана.

124

2. Векторы относительных скоростей соединяют концы векторов абсолютных скоростей, причем вектор на плане направлен к той

точке, которая стоит первой в индексе, например, – от а к b.

3. Теорема подобия. Отрезки относительных скоростей точек, принадлежащих одному звену, образуют фигуру, подобную соответствующей фигуре звена и сходственно с нею расположенную. Сходственное расположение означает, что направления обхода одноименных контуров совпадают (например, а-b-k и А-В-K – по часо-

вой стрелке). В рассмотренном примере ~ .

Построение плана ускорений. Ускорение точки А начального звена

aA aA aA ,

где anA – нормальное ускорение;

atA – касательное (тангенциальное) ускорение.

aA

aA πa μa .

Рассматриваем структурную группу (2, 3). Для определения ускорения точки В составляем векторное уравнение согласно теореме о плоскопараллельном движении:

125

где aBA и aBA – нормальная и касательная составляющие ускорения aBA точки В во вращательном движении звена 2 относительно точки А, причем вектор anBA направлен вдоль АВ от В к А, а atBA AB .

Нормальная составляющая находится также по величине

aBA

lAB

Отрезок, изображающий anBA , равен

an

an2 μBA , мм.

a

Уравнение (14.2) решаем графически. Для этого из точки a откладываем отрезок an2 в направлении вектора anBA из точки n2

проводим прямую в направлении вектора atBA , а из полюса π про-

водим прямую в направлении суммарного вектора aB , т. е. параллельно х – х. Пересечение указанных направлений дает точку b. В результате находим

Для определения направления углового ускорения ε2 шатуна 2

переносим вектор касательного ускорения atBA (отрезок n2b ) в точ-

ку В и наблюдаем, в какую сторону он поворачивает звено 2 относительно точки А.

Ускорение точки K находим на основании теоремы подобия, которая справедлива и для плана ускорений. Для этого методом засе-

126

Основные свойства планов ускорений такие же, как и планов скоростей.

ГЛАВА 15. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

КРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

15.1.Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения

Основным кинематическим параметром зубчатого механизма является передаточное отношение.

Передаточным отношением i12 называется отношение угловой скорости звена 1 ( ω1 ) к угловой скорости звена 2 ( ω2 ) (рис. 15.1).

Очевидно, что

127

Для механизмов с параллельными осями передаточное отношение считается положительным при одинаковом направлении угловых скоростей и отрицательным – при противоположном.

Для цилиндрической передачи знак «плюс» соответствует внутреннему зацеплению (рис. 15.1, б), а «минус» – внешнему (рис. 15.1, а).

Рис. 15.1. К вопросу о передаточном отношении

Передаточное отношение можно представить в виде

Многоступенчатый зубчатый механизм можно образовать последовательным соединением колес (рис. 15.2), при котором вращение от ведущего вала О1 передается ведомому валу О4 через промежуточные валы О2 и O3, на каждом из которых помещено по два колеса: 2 и 2´, 3 и 3´. Колёса 2 и 2´ жестко соединены с валом O2 и имеют

общую угловую скорость ω2 ; аналогично колёса 3 и 3´ также жестко соединены с валом О3 и имеют общую угловую скорость ω3 .

На одной проекции (см. рис. 15.2) направление угловых скоростей показано круговыми стрелками, а на второй – прямыми.

При последовательном ступенчатом соединении колес передаточное отношение равно произведению передаточных отношений промежуточных зацеплений (см. рис. 15.2):

128

В общем случае

где K – число внешних зацеплений.

«Паразитные» колеса могут изменять знак передаточного отношения; например, при внешнем зацеплении (см. рис. 15.3) каждое четное колесо 2 и 4 вращается в сторону, противоположную вращению входного колеса 1, а каждое нечетное колесо 3 – в сторону вращения входного колеса 1.

Рис. 15.3. Последовательное соединение зубчатых колес

На рис. 15.4 показано последовательное соединение, состоящее из трех колес: 1, «паразитное» 2 и выходное 3 с внутренним зацеплением. Передаточное отношение

130