Механика

– сила тяжести G, нормальная реакция наклонной плоскости Rn, значение которой

Rn G cos α;

– сила трения Rf, значение которой

Rf

Рис. 10.7. Работа силы на наклонной плоскости

При равномерном подъеме тела М четыре силы образуют уравновешенную систему. Алгебраическая сумма работ этих сил равна нулю:

WF WG WRf WRn 0;

WF

где WG – работа силы тяжести; WRf – работа силы трения;

WRn – работа нормальной реакции.

WG

WRf

WRn

WF

Если же требуется определить значение силы F, то с учетом того, что WF F S , получаем

91

Полезную часть работы сил F составляет работа по подъему тела на высоту h S sin α и тогда

Wп

Таким образом, КПД наклонной плоскости при подъеме груза силой направленной параллельно наклонной плоскости:

Вывод: КПД наклонной плоскости зависит только от угла ее наклона и коэффициента трения при перемещении груза по плоскости.

10.7. Работа и мощность при вращательном движении тел

Допустим, что к рукоятке C колеса, насаженного на ось OZ, приложена сила F , постоянно направленная перпендикулярно CO r

(рис. 10.8). При вращении колеса точка приложения силы F перемещается по окружности и элементарная работа этой силы

dW F dS .

Рис. 10.8. Вектор силы при вращательном движении тела

92

(работа при вращении тела равна произведению вращающего момента на угол поворота).

Разделив обе части этого равенства на t t2 t1 (время действия вращающего момента), получим его мощность:

(мощность при вращении тела равна произведению вращающего момента на угловую скорость).

Из формулы (10.3) вытекает важное следствие:

P

M z ω

93

(при постоянной мощности вращающий момент обратно пропорционален угловой скорости).

10.8. Трение качения. Работа при качении тел

Трением качения называется сопротивление, возникающее при перекатывании одного тела по поверхности другого. Тело 1 и каток 2 (рис. 10.9) абсолютно недеформируемые. Малая сила F вместе с си-

лой трения Rf , приложенной к катку в точке K, образуют пару (F ,

Rf ), под действием которой каток начинает катиться (рис. 10.9, а).

Рис. 10.9. Работа сил при качении тела

На самом деле абсолютно недеформируемых тел нет (рис. 10.9, б). При перекатывании катка силой F деформация смещается вперед по направлению качения и место приложения полной реакции R опорной поверхности также смещается несколько вперед на длину fk относительно теоретической точки касания K и отклоняется от нормали Bn на небольшой угол (рис. 10.9, в).

При качении катка на него действуют четыре силы, образующие две пары сил: движущую пару ( F , Rf ) с моментом F r и пару

сопротивления качению ( G , Rn ) с моментом Rn fk . Момент пары сопротивления иначе называют моментом трения качения, а ве-

личину fk – коэффициентом трения качения. Значение fk зави-

сит от материала тел и выражается обычно в сантиметрах. Напри-

94

мер, для трения мягкой стали по стали fk = 0,005 см, а для трения закаленной стали по стали (подшипники качения) fk = 0,001 см. Качение катка 2 начинается при условии

F

Для перекатывания катка сила

F

R f r

ГЛАВА 11. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

11.1. Импульс силы. Количество движения. Кинетическая энергия

Любое взаимодействие тел, приводящее к какому-либо изменению движения, длится некоторое время. Векторная мера действия

силы F dt , равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия, называется элементарным импульсом силы. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора силы. Единица импульса в СИ – Н ∙ с:

произведению массы точки на ее скорость в данный момент времени, называется количеством движения. Направление вектора количества движения совпадает с направлением вектора скорости.

Единица количества движения в СИ – кг м . Как видим, единицы

с

импульса силы и количества движения одинаковы.

95

половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией. Единица кинетической энергии – джоуль (Дж):

11.2. Теорема об изменении количества движения точки

Пусть на точку массой m действует система постоянных сил, равнодействующая которых F согласно основному закону динамики

F ma,

F

так как a (11.1)

(изменение количества движения точки равно импульсу всех сил). Спроецировав на оси координат обе части векторного равен-

ства (11.1), в общем случае получим:

а) систему трех скалярных уравнений:

F

F

F

где F

б) если силы, действующие на точку, лежат в одной плоскости, то получим два скалярных уравнения;

в) если силы действуют вдоль одной прямой, то, спроецировав уравнение (11.1) на эту прямую, получим одно скалярное уравнение:

96

11.3. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Пусть на точку действует система постоянных сил, равнодействующая которых F . Допустим, что силы действуют вдоль одной прямой. Тогда

,

2

т. е. изменение кинетической энергии точки равно сумме работ действующих сил.

11.4. Понятие о механической системе

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой (рис. 11.1). Например, механическую систему образуют Земля и Луна или спортивный самолет и буксируемый им планер.

Любое материальное тело рассматривается в механике как механическая система, образуемая совокупностью материальных точек. Абсолютно твердое тело носит название неизменяемой механической

97

системы, так как расстояние между материальными точками остается неизменным. Изменяемые системы – любые машины или механизмы.

F12 F21 F23 F32 F31 F13

и т.д.

Рис. 11.1. К понятию о механической системе

Если рассматривать какую-либо механическую систему, то силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему, называются внешними (Fe, Re), а силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел этой же системы, называются внутренними (Fi).

Главный вектор всех внутренних сил механической системы равен нулю, причем это условие соблюдается, только если рассматриваемая механическая система неизменяемая.

Движение механической системы зависит:

1)от действующих сил;

2)суммарной массы системы

m ,

где m – масса механической системы;

–массы ее отдельных точек;

3)положения центра масс системы.

Движение центра масс определяется (только при поступательном движении) уравнением

Fс maс ,

где Fс – результирующая всех внешних сил, приложенных к точ-

кам системы;

98

m – масса системы;

aс – ускорение центра масс системы.

Как видим, это уравнение аналогично основному уравнению динамики точки. Смысл его состоит в том, что центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и приложены все внешние силы.

11.5. Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело (рис. 11.2) под действием внешних сил Fek

(эти силы на рис. 11.2 не показаны) вращается около оси OZ с угловым ускорением ε .

Fинkt

akn ρk

akt

Fинkn

Рис. 11.2. К определению работы сил, действующих на вращающееся тело

Алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси OZ

Mez

называется вращающим моментом.

99

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем

этих точек движется по окружности радиуса ρk , с ускорением ak , которое разложим на касательное akτ и нормальное akn ускорение.

Приложим к каждой материальной точке элементарные силы

силы реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему. Поэтому алгебраическая сумма моментов всех этих сил относительно оси OZ должна быть равна нулю, т. е.

Mez

нии действия этих сил пересекают ось).

У любой точки вращающегося тела числовое значение каса-

, где ε – угловое ускорение тела. Тогда

Mez

точек тела на квадраты их расстояний от оси вращения, называется

моментом инерции тела (системы) относительно этой оси.

Основное уравнение динамики вращающегося тела:

Mez ε Iz .

В СИ момент инерции тела выражается в кг · м2.

100