Механика. В 2 ч. Ч. 1

Пусть мачта АВ в данный момент подъема составляет с горизонтом угол, равный 75°, а тяга ВК наклонена к горизонту под углом 35°. Угол между мачтой и канатом получается равным 40°. Пусть центр тяжести С делит длину мачты на отрезки а = 7 м и b = 12 м. Вес

мачты F 14 104 Н (масса 14 т). Требуется определить силу N натяжения каната и реакцию опоры RA .

Решение. За начало координат принять шарнир А, направив ось Х в сторону наклона мачты, а ось Y вверх. Тогда уравнение моментов примет вид

где h (a b) cos40 (плечо силы N относительно центра моментов А).

Отсюда

Уравнения проекций сил на координатные оси:

FiX RX N cos35 0;

(3.37)

FiY RY F N sin 35 0 ,

откуда

RX N cos35 2,1 104 0,819 1,7 104 Н;

RY F N sin 35 14 104 2,1 104 0,574 15,2 104 Н.

Положительные значения реакций указывают на то, что их направления на чертеже выбраны верно (не забудьте, что ось Х здесь направлена влево!).

Полная реакция шарнира RA

180

RA 104 1,72 15,22 15,3 104 Н.

Её угол с горизонтом легко определяется по тангенсу.

Для проверки решения нужно убедиться, что линия действия реакции RA действительновыходит на точкупересечения линийсил F и N.

Ответ: RA 15,3 104 Н; N 2,1 104 Н.

Пример 92. Пластинка ОА, поворачиваясь относительно оси шарнира О, может устанавливаться под любым углом к горизонту (рис. 3.57, а). На пластинке лежит тело В весом G. Определить наибольший угол наклона пластинки, при котором тело будет оставаться в равновесии.

Рис. 3.57. К примеру 92

Решение. Примем систему координат Оху. На тело В действуют сила тяжести G, нормальная реакцияR и сила трения Ff (рис. 3.57, б).

Составим уравнения равновесия тела:

FiX 0 ; Ff G sin 0 ;

FiY 0 ; R G cos 0 ,

из которых найдём

tg Ff . R

181

Заметим, что отношение силы трения Ff к нормальной реакции R есть коэффициент трения f. Тогда угол будет углом трения : f = tg . Таким образом, для равновесия тела необходимо, чтобы выполнялось условие .

С помощью рассматриваемого простого устройства можно экспериментально определять коэффициенты трения скольжения.

Например, в момент начала движения стального бруска по стальной пластине 6 50 ; следовательно, коэффициент трения стали по стали f tg 0,12.

Ответ: 6050'.

Пример 93. Груз весом G = 280 Н подвешен в точке Е горизонтальной балки АВ весом G1 = 160 H. Балка АВ укреплена при помощи шарнира А и свободно опирается концом В на балку СD весом G2 = 120 H. Балка CD имеет шарнир С и концом D опирается на гладкую вертикальную стену. Расстояние АЕ = 1/4 АВ; CB = 1/3 CD. Определить реакции опор A, C и D (рис. 3.58).

Рис. 3.58. К примеру 93

Решение. Реакции шарниров А и С, не известные по направлению, разложим на составляющие RAX, RAY, RCX, RCY. Реакция стены RD направлена перпендикулярно к ней (рис. 3.59, a). Пять неизвестных величин RAX, RAY, RCX, RCY, RD нельзя определить из системы

182

трех уравнений равновесия. Поэтому произведем расчленение балок, т. е. рассмотрим отдельно равновесие сил, приложенных к каждой из балок.

На балку АВ действуют заданные силы веса G и G1, составляющие RAX, RAY реакции шарнира А и реакция RB балки CD, направленная по нормали к ее поверхности (рис. 3.59, б).

Рис. 3.59. К примеру 93

На балку CD действуют вес балки G2, приложенный в середине

CD, реакция RB' балки АВ, равная по модулю реакции RB и противоположная ей, составляющие RCX, RCY реакции шарнира С и реакция стены RD.

Составим по три уравнения равновесия сил, действующих на каждую балку, и определим шесть неизвестных величин RAX, RAY,

RCX, RCY, RD, RB RB' .

Для сил, приложенных к балке АВ, получим:

M A (Fi ) 0; G 1/ 4 AB G1 1/ 2 AB RB AB sin 300 0 ;

Для сил, приложенных к балке CD:

183

MC (F i ) 0 ;

RB' 1/ 3 CD G2 1/ 2 CD cos 600 RD CD sin 600 0 ; (3.39)

FiX 0; RCX RB' cos 300 RD 0 ;

FiY 0; RCY RB' cos 600 G2 0 .

Из системы уравнений (3.38) имеем:

RAX RB cos 300 300 0,866 260 Н;

RAY G G1 RB cos 600 280 160 300 0,5 290 Н.

Так как RB' RB , из системы уравнений (3.39) следует, что

Знаки в ответах показывают, что сила RCX направлена влево, а действительные направления остальных сил совпадают с указанными на схеме.

Полная реакция опоры RA

RA 2602 2902 389,5 Н.

Полная реакция опоры RC

RC ( 110)2 2702 291,5 Н.

Ответ: RA 389,5 Н; RC 291,5 Н; RD 150 Н.

184

Пример 94. Две балки АВ и ВС одинаковой длины l = 3 м соединены между собой шарниром В (рис. 3.60, а). Конец А балки АВ заделан в вертикальной стене, а конец С балки ВС опирается на подвижную опору, расположенную под углом 1 = 30 к оси балки ВС. На балку АВ по всей её длине действует равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q = 3 кH/м. На балку ВС действует сила F = 10 кH, приложенная в середине балки под углом = 60 к её оси. Определить реакции опор А и С, а также в шарнире В, пренебрегая силами тяжести балок.

Рис. 3.60. К примеру 94

Решение. Составная балка АВС находится в равновесии, следовательно, балки АВ и ВС также находятся в равновесии.

Рассмотрим условия равновесия каждой балки в системе координат Аху (рис. 3.60, б). На балку ВС действуют активная сила F и реакции связей RC, RBX, RBY. Реакция RC подвижной опоры балки ВС направлена по нормали к поверхности опоры. Ни модуль, ни на-

185

правление реакции RB в шарнире В не известны. Поэтому она представлена в виде двух составляющих: RBX, RBY.

На балку АВ действуют равномерно распределённая нагрузка q, равнодействующая которой Q = ql приложена в середине балки АВ и направлена перпендикулярно к её оси, реакции связей RBX и RBY , которые, согласно закону действия и противодействия, имеют одинаковые модули и противоположные силам RBX и RBY направления

ментом МА. Итак, балка АВ находится в равновесии при действии сил

Q, RBX , RBY , RAX , RAY и реактивной пары сил с моментом МА. Составим уравнения равновесия балки ВС:

FiX RBX F cos RC sin 1 0 ;FiY RBY F sin RC cos 1 0 ;

M B (F i ) RC l cos 1 F l sin 0. 2

Уравнения равновесия балки АВ:

FiX RAX RBX 0 ;

FiY RAY ql RBY 0 ;

Решив эти системы уравнений при RBX RBX , RBY RBY , найдём:

186

Так как реакции в шарнире В, действующие на балки АВ и ВС, направлены в противоположные стороны, получаем RBX 7,5 кН,

RBY 2,53 кН.

Полная реакция опоры RA

RA 7,52 4,32 8,7 кН.

Ответ: RA 8,7 кН; M A 26,5 кН м; RC 5 кН.

Пример 95. На губки схвата манипулятора при удержании детали действует сила F = 6 кH (рис. 3.61, а). Найти реакции в шарнирах А, В, С и силу привода FП, если h1 = 180 мм, h2 = 120 мм, а углы 1 = 7 ,2 = 9 . Силами трения и силами тяжести звеньев пренебречь.

Решение. Сначала рассмотрим равновесие звена 2 (рис. 3.61, б). На него действует сила F, реакция F21 звена 1, направленная вдоль его оси, и реакция шарнира А, представленная её составляю-

щими RAX, RAY.

Составим уравнения равновесия звена 2:

M A (F i ) Fh1 F21h2 cos 2 0 ;

FiX F21 sin 2 RAX 0 ;

FiY F21 cos 2 F RAY 0 ,

187

откуда:

RA RAX2 RAY2 14252 150002 15068 Н.

Рис.3.61. К примеру 95

Сила, действующая на звено 1 и направленная вдоль его оси,

F12 = F21 = 9112 H.

Рассматривая равновесие шарнира С (рис. 3.61, в), определим силу привода:

FП 2F12 sin 2 2 9112sin 9 2851 Н.

188

Найденные величины используются для расчёта на прочность деталей схвата.

Ответ: RA 15068 Н; F12 F21 9112 Н; FП 2851 Н.

Пример 96. Определить усилия в стержнях 8, 9 и 10 фермы, изображённой на рис. 3.62, а, если F1 = 50 кH, F2 = 70 кH, F3 = 15 кH,

F4 = 35 кH, F5 = 15 кH, AB = 4a, KD = 2a.

а)

Рис. 3.62. К примеру 96

189