Механика. В 2 ч. Ч. 1

Ответ: RAY 1,5 кН; RB 2,1 кН.

Пример 81. Для балки (рис. 3.45, a) определить реакции опор в точках А и В, если F 16 кН, q 2 кН/м, M 12 кН м.

Рис. 3.45. К примеру 81

Решение. Рассматривая равновесие балки, освобождаем точки А и В от связей и заменяем связи силами реакций связей RA и RB (рис. 3.45, б). Действие на балку равномерно распределенной нагрузки интенсивности q заменяем равнодействующей Q q 4 2 4 8 кН, которая расположена в серединедлины этой нагрузки (рис.3.45, б).

Таким образом, на балку действуют пара сил с моментом М и система параллельных сил RA, Q, F и RB. Для определения неизвестных реакций связей балки RA и RB используем уравнения равновесия

M A (F i ) 0 и M B (F i ) 0 . В качестве проверочного урав-

нения принимаем уравнение FiY 0 . Выберем систему коорди-

нат X и Y с началом в точке А и составим уравнения равновесия сил:

160

Из уравнения (3.18)

Из уравнения (3.20) следует, что 8,5 8 16 + 15,5 = 0, следовательно, реакции RA и RB балки по величине и направлению определены верно.

Следует отметить, что момент М в отличие от сил не изменяет своего знака относительно точек А и В балки (и других произвольных точек) при написании уравнений моментов сил.

Ответ: RA 8,5 кН; RB 15,5 кН.

Пример 82. Для балки (рис. 3.46, a) определить реакции опор в точках А и В, если F 22 кН, q 4 кН/м и M 44 кН м.

Решение. Рассматривая равновесие балки, освобождаем балки А и

Вот связей и заменяем связи силами реакций связей. (рис. 3.46, б).

Вшарнирно-подвижной опоре (точка А) возникает одна реакция связи RA, расположенная перпендикулярно к основанию опоры. В шарнирно-неподвижной опоре (точка В) реакция связи в общем случае неизвестна по направлению, поэтому будущую реакцию точки В представим составляющими RBX и RBY. Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q заменим равнодействующей

161

Q q 2 4 2 8 кН (рис.3.46, б). Для решения задачи составим три уравнения равновесия:

M A (F i ) 0 ; M B (F i ) 0 ; FiX 0 .

Выбираем систему координат X и Y с началом в точке А и составляем уравнения равновесия системы сил:

Рис. 3.46. К примеру 82

162

Из уравнения (3.21):

= 35,2 кН.

Значение составляющей RBY реакции точки В получено со знаком минус. Это означает, что RBY по направлению выбрано неверно. Следует изменить направление на обратное (рис. 3.46, в), зачеркнув прежнее направление, тогда RBY = 8,25 кH.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки со-

ставляем уравнение FiY 0 . В этом случае

Q RA F sin 600 RBY 0 ,

163

или

или

8 35,25 19 8,25 0.

Следовательно, значения реакций RBY и RBX балки по величине и направлению определены верно.

Итоговая реакция опоры В балки определится по уравнению

RB RBY2 RBX2 8,252 112 68,2 121 189,2

= 13,8 кН (рис. 3.46, в).

Ответ: RA 35,2 кН; RB 13,8 кН.

Пример 83. Для заданной двухопорной балки (рис. 3.47, a) определить опорные реакции.

Рис. 3.47. К примеру 83

Решение. Рассматриваем равновесие балки AD. К ней приложены заданные активные силы F1 и F2 и момент М. Рассматривая тело AD как свободное, отбрасываем связи (шарнирные опоры А и В), заменяя

164

их действие реакциями. Реакция RA шарнирно-подвижной опоры А направлена по нормали к опорной поверхности. Для шарнирнонеподвижной опоры В показываем составляющие реакции RX и RY по осям координат. Расчетная схема изображена на рис. 3.47, б. Для полученной плоской произвольной системы сил составляем три уравнения равновесия, выбрав в качестве центра моментов точки А и В (точки пересечения двух неизвестных сил):

1) M A (F i ) 0 ;

F1 cos300 AC M RBY AB F2 AD 0 ;

8 0,866 1,6 10 RBY 2 5 2,5 0 ,

отсюда RBY 16,8 кН.

2) M B (F i ) 0 ;

RA AB F1 cos300 CB M F2 BD 0 ;

RA 2 8 0,866 0,4 10 5 0,5 0 ,

отсюда RA 4,86 кН.

3) FiX 0 ; F1 cos600 RBX 0 ; 8 0,5 RBX 0 ,

отсюда RBX 4 кН.

Составляем проверочное уравнение равновесия:

FiY RA F1 cos300 RBY F2 4,86 8 0,866 16,8 5

16,8 16,8 0 .

Следовательно, реакции определены верно. Реакция RA получилась отрицательной, значит, ее действительное направление противоположно предварительно выбранному.

Примененная система уравнений равновесия наиболее целесообразна при рассмотрении равновесия любых двухопорных балок.

Полная реакция опоры RB :

RB 42 16,82 17,3 кН.

Ответ: RA 4,86 кН; RB 17,3 кН.

165

Пример 84. Однородная балка закреплена в точке А с помощью шарнирно-неподвижной опоры и поддерживается в точке В стержнем (рис. 3.48, а). Найти реакции шарнирно-неподвижной опоры и

Решение. Изобразим балку вместе с нагрузками, соблюдая заданные размеры ее участков и угла (рис. 3.48, б).

Рис. 3.48. К примеру 84

Освободим балку от связей в точках А и В, заменив эти связи их реакциями. Начало координат поместим в точке А, ось Х совместим с осью балки, а ось Y направим перпендикулярно балке. Если стержень растягивается, то его реакция направлена в сторону от рассматриваемого тела, а при сжатии - от стержня к телу.

Составим три уравнения равновесия:

FiX 0 алгебраическая сумма проекций сил на ось Х;

FiY 0 алгебраическая сумма проекций сил на ось Y;

M A (F i ) 0 алгебраическая сумма моментов относительно

точки А.

Уравнение проекций сил на ось Х имеет вид

166

Силы F и RAY не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси Х и их проекции на эту ось равны нулю.

Проекции силы на ось Y:

реакция RAX перпендикулярна оси Y, и ее проекция на эту ось равна нулю.

Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы RB равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки А (центра моментов) к линии действия силы RB. Из рис. 3.48, б видно, что AD = (a + b) cos60 .

Выразим из (3.25)

RAY F RB cos600 .

Подставив значения сил, получим

RAY 4000 2000 0,5 3000 Н.

Из (3.24)

RAX RB sin 600 2000 0,866 1732H.

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

167

M B (F i ) 0; RAY (a b) M F b 0.

Подставим числовые значения:

Задача решена верно, так как при подстановке получили тождество 0 = 0.

Полная реакция опоры RA

RA 17322 30002 3464 Н.

Ответ: RA 3464 Н; RB 2000 Н.

Пример 85. Для балки (рис. 3.49, а) определить опорные реакции

Рис. 3.49. К примеру 85

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рис. 3.49, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия:

168

M A (F i ) 0 ; M B (F i ) 0 .

Уравнение моментов относительно точки А

M A (Fi ) 0 ;

M B (Fi ) 0 ;

(3.28)

F2 a qc(a b c ) F1 (a b c) M RA (2a b c) 0 .

2

Из уравнения (3.27)

169