Механика. В 2 ч. Ч. 1

Пример 74 (рис. 3.38, а). Однородная плита АВ весом 1,2 кН удерживается в равновесии в горизонтальном положении с помощью трех стержней. Приняв АВ = 4 м и АС = 1,2 м, определить силы, нагружающие стержни.

Рис. 3.38. К примеру 74

Решение. Заменим внешние связи (стержни AD, CD и ВК), наложенные на плиту, их реакциями RA , RB , RC (рис. 3.38, б).

Эти реакции по модулю равны силам, нагружающим стержни: FA RA , FB RB , FC RC , при этом направления их противопо-

ложны: FA RA , FB RB , FC RC .

Сила тяжести G плиты приложена в её геометрическом центре,

АО = ОВ.

Запишем уравнения равновесия:

M A (Fi ) 0; RC AC cos300 G AO 0 ;

MC (Fi ) 0; RA AC cos450 G CO 0 ;

Fix 0 ; RA cos450 RC cos600 RB 0 .

Из первого уравнения:

150

Из второго уравнения:

RB RA cos450 RC cos600 ;

RB 1,13 cos450 2,31 cos600 0,36 кН.

Ответ: RA 1,13 кН; RB 0,36 кН; RC 2,31 кН.

Пример 75 (рис. 3.39, а). Натяжное устройство представляет собой двуплечий рычаг АВС, одно плечо которого несет груз весом 650 Н, а другое плечо служит для натяжения троса. Приняв АВ = 0,1 м и ВС = 0,4 м, определить реакции опорного шарнира В и силу натяжения троса. Весом рычага пренебречь.

Рис. 3.39. К примеру 75

Решение. На рычаг наложены внешние связи – шарнир В и тяга. Заменим их реакциями. Реакцию шарнира В представим через его составляющие RBX и RBY , а реакцию тяги N направим вдоль тро-

са (рис. 3.39, б).

151

Сумма проекций всех сил на оси X и Y равна нулю, т. к. рычаг находится в равновесии:

Fix 0 RBX N 0 ; RBX N ; RBX 5200 Н.

Fiy 0 ; RBY F 0 ; RBY F ; RBY 650 Н.

Реакция шарнира

Ответ: N 5200 Н; RB 5240 Н.

Пример76 (рис. 3.40, а). Однородная плита АВ односкатной крыши весом 14 кН испытывает ветровую нагрузку, равнодействующая которой F = 5 кН приложена в точке С горизонтально. Приняв AB = 6 м и АС = СВ, определить опорныереакции в точках А и В.

Рис. 3.40. К примеру 76

152

Решение. Освободимся от внешних связей, которые наложены на плиту в точках А и В. При этом реакцию в точке А разложим на две составляющие: RAX и RAY (рис. 3.40, б). Составим уравнение моментов сил относительно точки А:

Пример 77 (рис. 3.41, а). Стоящий наклонно однородный щит АВ весом 220 Н удерживается в равновесии веревкой АD. Пренебрегая трением и приняв АВ = 6 м и АС = 5м, определить опорные реакции в точках A и C и силу натяжения веревки.

153

Пример 78 (рис. 3.42, а). Неподвижно зажатый, как показано ни рисунке, опорный столб нагружен силой F = 1,9 H. Приняв АВ = 5 м и АС = CD = 1,5 м, определить опорные реакции в точках A, C, D. Весом столба, а также трением пренебречь.

Рис. 3.42. К примеру 78

Решение. В точках A, C, D на столб наложены внешние связи.

Заменим их реакциями RA , RC и RD (рис. 3.42, б). Запишем урав-

нения равновесия для столба:

MC (Fi ) 0; F cos300 BC RD DC RA cos600 AC 0 ;

M D (Fi ) 0 ; F cos300 BD RC DC RA cos600 AD 0;

Fix 0 ; F cos600 RA cos300 0.

Из последнего уравнения

155

RD 1,9 cos300 (5 1,5) 1,1 cos600 1,5 3,29 Н. 1,5

RC F cos300 BD RA cos600 AD ;

DC

RC 1,9 cos300 (5 3) 1,1 cos600 3 1,09 Н. 1,5

Ответ: RA 1,1 Н; RC 1,09 Н; RD 3,29 Н.

Пример 79. Для балки, изображенной на рис. 3.43, найти реакции опор, если F 4 кН, M 6 кН м, q 0,8 кН/м, a 1 м.

Решение. Освободим балку от связей, мысленно отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции.

Реакция шарнирно-неподвижной опоры А неизвестна как по модулю, так и по направлению, поэтому изобразим ее в виде двух составляющих RAX и RAY, направленных вдоль выбранных осей координат X и Y. В шарнирно-подвижной опоре возникает одна реакция, направленная перпендикулярно плоскости, по которой она может перемещаться.

Рис. 3.43. К примеру 79

156

В данном случае направим реакцию RB вертикально вверх. Реакции изображены на том же рисунке, где и опоры. Система сил, действующих на балку, представляет плоскую систему произвольно расположенных сил, поэтому для нее можно составить три независимых уравнения равновесия. Запишем одно уравнение проекций на ось Х и два уравнения моментов. В качестве центра моментов целесообразно принять точки А и В балки. В этом случае уравнения упрощаются.

Уравнение проекций на ось Х имеет такой вид:

Равномерно распределенная нагрузка перпендикулярна оси Х, поэтому ее проекция на ось Х равна нулю.

Уравнение моментов относительно точки А имеет следующий вид:

M A Fi F AC q 5a 2,5a RB 5a M 0 . (3.16)

Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки равна 5aq и приложена в середине своего участка, т. е. на расстояние 2,5а от опоры А.

Момент сосредоточенной силы и реакции RB, а также сосредоточенный момент вращают балку вокруг точки А против часовой стрелки, поэтому вошли в уравнение моментов с отрицательным знаком, равнодействующая равномерно распределенной нагрузки вращает балку вокруг точки А по часовой стрелке, следовательно, ее момент имеет знак «плюс».

Составим уравнение моментов относительно точки В:

M B Fi F BD q5a 2,5a RAY 5a M 0. (3.17)

Моменты силы F, равнодействующей распределенной нагрузки и сосредоточенный момент М направлены против часовой стрелки и войдут в уравнение моментов со знаком «минус», а момент составляющей RAY, направленный по часовой стрелке, войдет со знаком «плюс».

157

Из уравнения (3.15)

RAX F cos300 4 0,866 3,46 кН.

Из уравнения (3.16)

RB ( F AC q 5a 2,5a M ) /(5a) ,

где

AC a sin 300 1 0,5 0,5 м.

Тогда

RB ( 4 0,5 4 2,5 1 6) (5 1) 0,4 кН.

Из уравнения (3.17)

RAY (F BD q 5a 2,5a M ) /(5a) ,

где

BD 6a sin 300 6 1 0,5 3 м,

тогда

RAY (4 3 4 2,5 1 6) /(5 1) 5,6 кН.

В качестве проверки используем уравнение проекций на ось Y:

FiY F cos600 RAY q 5a RB 0 .

Подставив числовые значения, получим

FiY 4 0,5 5,6 4 0,4 0 , т. е. 0 = 0.

Задача решена верно. Полная реакция опоры RA

RA 3,462 5,62 6,58 кН.

Ответ: RA 6,58 кН; RB 0,4 кН.

158

Пример 80. На двухконсольную горизонтальную балку CD на

ка интенсивности q, а в точке D правой консоли вертикальная нагрузка F2 . Определить реакции опор, если F = 1 кH, F2 = 2 кH, q = 2 кH/м, a = 0,8 м (рис. 3.44).

Рис. 3.44. К примеру 80

Решение. Рассмотрим равновесие плоской системы сил, действующих на балку CD. На нее действуют сила F2 , пара с моментом

M и равнодействующая распределенной нагрузки FP q a , приложенная посередине консоли СА. Мысленно отбрасываем связи: шарнирно-неподвижную опору А и опору на катках В, заменяя их действие соответственно составляющими реакции RAX, RAY и реакцией RB.

Для плоской системы сил FP, RAX, RAY, RB, F2 и пары сил с моментом M составим систему уравнений равновесия:

M A (F i ) 0 ; M B (F i ) 0 ; FiX 0 .

Получим систему уравнений:

FP 0,5 a F1 a RB 2 a F2 3 a 0 ;

FP 2,5 a RAY 2 a F1 a F2 a 0 ;

RAX 0 .

159