Механика. В 2 ч. Ч. 1

Рис. 3.31. К примеру 67

Для нахождения трёх неизвестных ( RA , NOC , RB ) составим сис-

тему из трёх уравнений:

M A (FK ) 0;

RB cos(900 ) AB G cos AO

0

NOC cos(90 ( )) AC 0;RB NOC cos 0;

G RA NOC sin 0.

Из 2-го и 3-го уравнений:

RB NOC cos ,

RA G NOC sin подставим в 1-е уравнение

NOC cos sin G cos NOC sin( ) AC 0. 2

140

Пример 68. Кран-мачта при подъеме груза F = 30 кН находится в положении, указанном на рис. 3.32, а. Нижний конец стрелы шарнирно опирается в точке А, а верхний конец стрелы удерживается в равновесии при помощи троса, прикрепленного в точках В и С. Сила тяжести стрелы 2 кН. Точки А и С расположены на одной горизонтальной прямой. Длина стрелы крана АВ = 10 м. Угол = 45° и угол = 30°. Вычислить реакции шарнирной опоры А и натяжение троса СВ.

141

Рис. 3.32. К примеру 68

Решение. Обозначим все силы, действующие на стрелу крана (рис. 3.32, б). Моменты этих сил относительно точки А скомпенсированы, т. к. стрела находится в равновесии.

M A (FK ) 0 ;

NBС AB cos(900 ) F AB cos G AO cos 0 ;

Алгебраическая сумма проекций всех сил на оси равна нулю:

FKX 0; RAX N BC cos 0 ; RAX N BC cos ;

RAX 139,3cos300 120,6 кН.

FKY 0 ; RAY G F N BC sin 0;

RAY G F N BC sin ;

RAY 2 50 139,3sin 300 121,7 кН.

RA RAX2 RAY2 ; RA 120,62 121,72 171,3 кН.

Ответ: RA 171,3 кН; NBС 139,3 кН.

142

Пример 69. Вешалка укреплена шарнирно в точке А и упирается в гладкую вертикальную стенку в точке В (рис. 3.33, а). На равном расстоянии друг от друга а = 0,15 м подвешены пять грузов силой тяжести по 40 Н. Длина вешалки = 2 м, расстояние 1 = 0,8 м, угол= 60°. Вычислить реакции шарнира А и опоры в точке В.

Рис. 3.33. К примеру 69

Решение. Вешалка по условию задачи находится в равновесии. Обозначим все силы, действующие на вешалку, заменяя при этом дей-

143

RB cos AC F(AD 4a) F( AD 3a) F(AD 2a)

F( AD a) F AD 0 ;

Сумма проекций всех сил на координатную ось (X или Y) равна нулю.

FKX 0; RAX RB sin 0 ; RAX RB sin ; RAX 850 sin 600 736 Н

(знак «минус» указывает на то, что направление силы RAX противоположно выбранному).

FKY 0 ; RAY RB cos 5F 0 ; RAY 5F RB cos ; RAY 5 40 850 cos600 225 Н.

RA RAX2 RAY2 7362 2252 770 Н.

Ответ: RA 770 Н; RB 850 Н.

Пример 70 (рис. 3.34, а). Однородная лестница АВ весом 140 Н опирается на пол и стены приямка. В точке С на лестнице стоит человек весом 800 Н. Приняв АВ = 3,6 м и АС = 2,2 м, определить опорные реакции в точках А и В. Трением пренебречь.

Рис. 3.34. К примеру 70

144

Решение. Заменим внешние связи в точках А и В их реакциями. Реакцию в точке А представим через составляющие RAX и RAY . Сила

тяжести лестницы G приложена в точкеО, ОА = ОВ (рис. 3.34, б).

M A (Fi ) 0 ;

RB cos300 AB F cos600 AC G cos600 OA 0;

RB F AC G AO cos600 ;

AB cos300

RB 800 2,2 140 1,8 cos600 323 Н. 3,6 cos300

Fix 0 ; RAX RB 0 ; RAX RB ; RAX 323 Н.

Fiy 0 ; RAY G F 0 ; RAY G F ;

RAY 140 800 940 Н.

Реакция в точке А

RA RAX2 RAY2 ;

RA 3232 9402 994 Н.

Ответ: RA 994 Н; RB 323 Н.

Пример 71 (рис. 3.35, а). Однородная стрела АВ платформенного подъемного крана весом 5 кН, несущая на своем конце груз весом 22 кН, удерживается в равновесии с помощью троса СD барабанной лебедки D. Приняв AB = 5 м и ВС = 1,7 м, определить реакции опорного шарнира А и силу натяжения троса СD.

145

Рис. 3.35. К примеру 71

Решение. Рассмотрим силы, действующие на стрелу АВ. Сила

тяжести G приложена в точке О, ОА = ОВ.

Реакцию опорного шарнира А представим в виде составляющих

RAX и RAY . Реакцию тяги NCD направим вдоль линии СD

(рис. 3.35, б).

Чтобы определить силу натяжения троса, составим уравнение моментов сил:

M A (Fi ) 0 ;

F ABsin 450 G AB sin 450 NCD AC sin 300 0. 2

146

Fiy 0 ; G F RAY NCD sin150 0 ; RAY G F NCD sin150 ;

RAY 22 5 52,5 sin150 40,59 кН.

Реакция опорного шарнира А:

RA RAX2 RAY2 ; RA 50,712 40,592 65 кН.

Ответ: RA 65 кН; NCD 52,5 кН.

Пример 72 (рис. 3.36, а). Поворотный однородный рычаг АВ с помощью растянутой пружины силой упругости 3 H прижат к вращающейся кулачковой шайбе в точкеС. Приняв АD = 50 мм и DC = 60 мм, определить реакции опорного шарнира А и силу давления рычага на кулачок. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.

а)

б)

Рис. 3.36. К примеру 72

147

Решение. На рычаг АВ наложены внешние связи, которые мы

Сила давления рычага на кулачок Fg Rc . Fg 1,18 Н.

Так как рычаг находится в равновесии, то:

Fiy 0 ; RC sin 600 RAY Fy 0 ; RAY Fy RC sin 600 ; RAY 3 1,18sin 600 1,98 Н.

Реакция опорного шарнира А:

Ответ: RA 2,07 Н; Fg 1,18 Н.

Пример 73 (рис. 3.37, а). Однородную плиту АВ весом 4 кН равномерно вытягивают из приямка с помощью барабанной лебедки D. Приняв АВ = 6 м и СВ = 1,5 м, определить для данного положения плиты опорные реакции в точках А и С и силу натяжения троса ВD. Трением пренебречь.

148