Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч

5а

соза,

^(7?2^"^^^^^2;Iа2=ао2

в случае, если можно принять гипотезу о нерастяжимости нитей, то с учетом предположения об отсутствии растягивающих усилий в нитях на периферийных участках границы выражения (4.51) можно записать в виде

51

4.7. Связь перемещ ений и деф орм аций нитей обоих семейств

Итак, зависимости (4.35) и (4.48) получены при следующих предположениях: напряжения растяжения и сжатия воспринима­ ются нитями семейств в продольном и поперечном направлениях соответственно; система напряжений сжатия и растяжения взаим­ но-перпендикулярная для каждого семейства нитей. Эти предпо­ ложения позволили получить довольно простые зависимости меж­ ду перемещениями и напряжениями. Параметры а[ и а 2, во­ обще говоря, независимы. Однако иногда существует необходимость рассматривать эти уравнения как функциональную связь всех параметров на одной кривой семейства, например, при рассмотрении граничных условий. В таком случае параметры а^

и 0.2 становятся зависимыми между собой. Установим такую за­ висимость.

Пусть точка О в координатной системе О'х'у* имеет координа­

ты {х,у) и представляет собой точку пересечения двух нитей из

рассматриваемых систем в исходном состоянии. Другими словами, нить семейства «2», совпадающая с осью Оу , находится на рассто­

янии X от оси О^у^, а нить семейства «1», совпадающая с осью Ох ,

находится на расстоянии у от оси О^х^. И пусть точки М и Р ,

лежащие на соответствующих нитях, после деформации сходятся в

совпадают с модулями компонент векторов соответствующих пере­ мещений (рис. 4.5).

52

Здесь = ^0(^) “ расстояние между точкой Н и осью О'х*.

Переместим точку М^ в положение М^ двигаясь вдоль кривой

/«2^2 в положительном направлении. Напомним, что за положи­ тельное направление на линии семейства «2» принято направление движения от точки /«2 точке . Тогда, если в точке М [ пересе­

каются нити и /«[И), то в точке пересекаются нити

и п\у\ . В исходном положении, т.е. до деформации, эти нити пере­ секаются в точке ^ которая имеет координаты {х,у +ёу) . Так же,

как и координаты точки , координаты точки М2 выразим дву­

мя способами: либо используя для этого компоненты перемещения щ и , либо компоненты перемещения «2 и Г2 . На основании

формул (4.53) координаты точки М^ выражаются через следующие

параметры: «2; ^2 ; ^ ; Т; ^0; То; ^2 • Рдссмотрим, как они изменя­

перемещения «2 и Г2 будут другими, т.е. вычисленными при зна­

чении угла «2 равного значению «2 ■Координата у о тоже имеет

другую величину, равную Уо + ^Уо , при этом, как было установлено

М| на кривой, так как она характеризует расположение нити »г2«2 в исходном положении до деформации. Что касается значения ве­ личины у , то она, очевидно, изменяется при движении точки вдоль кривой Щ2П2 и поэтому в точке М2 она будет равной у +ёу.

54

На основании сказанного и руководствуясь формулами (4.53), коор­ динаты точки М2 будут иметь вид

Х2 = Д-М2(<^^^)8Ша2+Т2^а2,х|сОЗа2 ,

(4.54)

3^2 = 5'о(х) -Уо («2,х| + ^2 (а2,х|соза2 + Т2 ^а2,х^8та2

Координаты точки М2, выражаемые в компонентах перемеще­

ти т\п\ в исходном положении составляет {~<^у). После де­

формации в результате сжатия оно становится равным {-<^у) 11x2 ■

Поэтому, с учетом того, что нить ГП2П2 пересекает эти две нити под углом а , найдем

с^у

=81ПаЗ?2<^ОС2 •

-12

АналэгинеэепопожЕЩЕможнэусгаювиаидляншей ?И2Й2 иЩ2^2- В результате между параметрами й?Хд, йу, йо^х и йа.2 должны

иметь место следующие зависимости

йу =-3?2^12 0Сй?а2

(4.56)

й?х = Кх2хх 8тай?а1.

55

с точностью до бесконечно малых первого порядка, если вос­ пользуемся формулами (4.52) и (4.55), найдем, что

С учетом (4.36) подставляя в предыдущие равенства выражения

Аналогично, воспользовавшись зависимостями (4.53) и (4.54), найдем

Х2 - Х[ = К 2 С08 0.2(1уХ2 ,

(4.58)

У2 -3^1 =-^2 81ПОС2<^а2-

56

Приравняем соответствующие выражения правых частей ра­ венств (4.57) и (4.58). Разделим каждое из полученных равенств на (7а2. Затем, перейдем к пределу при <7а2 ^ О. В результате получим

с1а^

В полученные равенства подставим вместо производных по у от функций м, и V, их значения, представленные формулами (4.40).

воспользуемся также зависимостями (4.36) для нахождения произ­ водной

^0 ду ^12<

В результате система уравнений предстанет в виде

Полученная система уравнений представляет собой линейную форму относительно производных по а 2 от функций и у . Ее решение выражается зависимостями

57

ф

Следует обратить внимание на то, что производную от функции у можно было бы найти из зависимоетей (4.56). Совпадение ре­ зультатов иееледования подтверждает еправедливоеть выдвинутых предположений о поведении еистемы нитей в еоетоянии препрега при их деформировании.

Перемеетим теперь точку М, в точку М3, двигаяеь вдоль кри­

вой . Расетояние между нитями М2П2 и « 2^2 ^ находящимиея в иеходном положении, обозначим через Лс. Тогда координаты точки М3 выражаютея через соответствующие перемещения по формулам

Хз =Хо(а},д;)-М1(а{,у;)5ша{ -Г; (а},д;)со8а}.

= ;; + г/1 (а},д;)соза} - VI (а},у;)8ша}

или

смотрении зависимостей (4.48). В силу произвольности их величи­ ны, несомненно, разные. Искомые зависимости между параметрами и а.2, если рассматривать их на кривой, представляющей со­ бой одну из нитей семейства «2», получим при рассмотрении выра­

жений Хз - и Уз - у^

58

ди2

Уз - У, = ^ 281п а 2а а 2 + ^ ^ с 08а 2 +-д^2 81па 2 ]-а^ а а , +

Здесь следует иметь в виду, что Ых на основании (4.56) выража­ ется равенством

Ых = К,22181Па аа, .

Приравнивая соответствующие выражения для х3 - х, и для

Уз - У,, получим

59

Из полученной системы найдем

ди

= А2С08а2+В28та2 ,

бх

дУ'— = А25та2~В2С05а2 . бх

Найденные выражения имеют смысл, если установлена функци­ ональная зависимость всех параметров от переменной .

Сравним теперь полученные равенства с выражениями (4.50). На этом основании получим

с^а^, Я К, .

— ^ = — созан— ^ 81па,

К2 Щ

Л

б/а. = К^2,2\

(4.60)

- ^2-^22•

сти их изменения, поэтому между ними существует зависимость

ёа.2

■= 1 .

ёа.2

60