Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч
.2.pdfЛ) - радиус в точке М, нити семейства «1», проходящей через точ
ку |
- радиус в точке М, |
линии, перпендикулярной во всех |
точках |
к нитям семейства «1» |
и проходящей через точку А/,; |
а} = а; -0,5%; с1у<0 ; Лц >0.
Решение системы уравнений (4.35) будем искать в виде суммы двух решений: частного решения системы при неравных нулю пра вых частях уравнений и общего решения, когда правые части равны нулю. Обратимся вначале к первым двум зфавнениям. Их общее решение при нулевой правой части имеет вид
81па, -Сг-) сокач. 1 “ 42 '
(4.37)
VI = ^2 81П а ^ + С11сока^.
Частное решение неоднородной системы будем искать методом вариации произвольных постоянных с,1 и ^ 2, рассматривая их как некоторые пока неизвестные функции от а , . С учетом этого усло вия подставим (4.37) в (4.35). В результате пол5Т1им
бс11 |
кша |
бс12 |
, |
ба^ |
—сока^ =^11-^1 кта^ |
||
|
ба |
|
|
бс. |
|
бс |
(4.38) |
|
|
||
11 сока^-----З^кта^ =^?^(-1 + 2^^сока^)= Л] |
|||
ба, |
|
ба |
и- |
|
|
||
Решение системы уравнений (4.38) имеет вид
бс.11 = Лцкта^ +А^2 сока^
ба,
бс12
— = -^11 сока^ +
ба
41
Интегрируя предыдущие равенства и подставляя полученные
выражения для |
и с^2 ®(4-37), найдем частное решеьше системы |
Зфавнений |
|
“ 01
М1*=8та] I (Лц 8ша + И12С08а)<7а-
“ 1
“ 01
-со8а^ I (-Д [ со8а + 81па)<7а =
“ 1
= I [Лц С08(а! - а ) + ^ 2 |
= |
“ 1 |
|
“о'г |
• |
, |
= I |
8 ш ( а 1 - а ) 8 ш а 1 |
|
“1 |
|
|
|
“ 01 |
|
V,’1 =8Ша1 I (-^11 С08а + ^12 |
+ |
|
“ 1
“01
+С08а! I (Лц 8ша + ^12 С08 а)<7а =
“1
“01
=I [-Д] 8^п(а^-а ) +Л^2С08(а1-а)]<7а =
“1
“ 01 |
со8а^+й^ со8(а!-а)]<7а , |
= I |
где ао1 - величина угла а^ на границе рассматриваемой области деформирования нитей семейства 1. Просуммируем найденные общее и частное решения системы. В результате окончательно по лучим, что
“ 01
1 =с^^8^па^ -с,2С08а, - I [2^^й^8^па^ - К ^ 8ш(а, -а)]<7а , (4.39)
“1
42
''^1 ~ ^12зша^ +Сц соза^ - |
“ 01. |
соза, -К^ соз(а1 -а)]й?а . |
|||
| |
|||||
|
|
“ 1 |
|
|
|
Здесь параметры |
и с^2 представляют собой функции от пе |
||||
ременной у . Два последних зфавнения |
системы (4.35) позволяют |
||||
наити выражения |
частных производных |
ди, |
дVл |
||
---- и |
----, которые в |
||||
|
|
|
|
ду |
ду |
результате равны |
|
|
|
|
|
ди-, |
|
■ |
1 |
|
|
—^ = |
|
н---------соза, , |
|
||
|
|
|
"12 |
|
|
^1 |
^11-^1 |
|
К, |
|
(4.40) |
|
|
|
|||
—^ = |
|
со за,-------^ + 81па, . |
|
||
Используя полученные зависимости (4.40) и (4.39), продиффе ренцируем последние по параметру у , найдем выражения для определения неизвестных постоянных с^^ и с,2
|
бс.11 2 |
, |
31П ах |
—со8а^ + |
._ |
^ |
|
2,2 |
2,^К\ |
2 |
|
^ос |
|
|
“ 01 |
|
|
|
|
а, |
^У' |
|
|
|
|
^^12 _ ^ |
'^1 |
зш а, - |
соза |
|
ду |
о |
(4.41) |
|
|
12''Ч |
|
"12 |
|
|
“01 Л/? |
Лг7 |
81па,)| |
|
|
- [ — 5-8та1/а----- |
|
||
43
Элемент препрега в виде первого семейства нитей до деформа ции имел размер равный ё у , а элемент второго семейства нитей -
(—й&г). После деформации их высоты стали соответственно равны ми ( - 6 ^ 1 ) и ( < ^ 2 ) - Таким образом, между предыдущими с к , с !у ,
и йИ?2 с учетом равенств (2.28) и (2.31) можно установить сле дующие зависимости
с1х = —
-21
с1у = —
1-У12-- 112. -12
Разделим первое уравнение на Ж , а второе на ёу и, переходя к пределу, получим
дК^ |
1 - У 1 2 - ^ |
I |
|
|
-12 |
||
|
-12 2 |
||
|
|
(4.42) |
|
дх |
1 - У 2 1 - ^ |
-21 |
|
-21 |
|||
|
При дифференцировании выражений (4.39) предполагалось, что переменная интегрирования ао1 зависит от переменной у .
С 5ТЮТОМ (4.42) равенства (4.41) можно записать в виде
8с,11 |
^ зща. |
Я, |
|
|
—С08а^ + |
|
-12 |
■^12^1 |
44
“ 01 ^ |
+ ^ |
|
|
да., |
|
+ Г |
|
^ а + ^ ( 2 ,Д - Л ,с о з а ,) |„ ,= , |
|
||
“1 |
|
-12 У |
'«1=«01 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1- - |
о |
соза, |
(4.43) |
|
= |
3 1 п а , -------------^ + |
|||
|
|
|
12''Ч |
212 |
|
«01 |
з т а |
, |
йащ |
|
|
«1 |
------ |
а а - |
|
(«1 8Ша1)1а,=ао, |
|
-12 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Для производства крупногабаритных изделий из композитов в качестве наполнителей в основном применяются стеклонити, орга нонити, базальтонити и угленити. Деформации вдоль этих напол нителей весьма малы (менее 2%), поэтому логично принять гипоте зу о нерастяжимости нитей. Это несколько упрощает зависимости (4.43). Кроме того, угол ад1 - это тот угол, который принимает угол а! на периферийной границе области деформирования. Если в этих точках отсутствует внешняя нагрузка, то в этих точках в ни тях усилия растяжения практически равны нулю. На этом основа нии угол ао1 должен быть равен исходному, установленному до
нагружения препрега, т.е. он равен нулю во всех точках границы. Руководствуясь сделанными предположениями в зависимостях
(4.36) и (4.42) можно положить равными нулю Оц |
и |
■> пре |
вращает функции 2ц и 212 в постоянные числа. |
В таком слзшае |
|
выражения (4.43) существенно упрощаются и становятся равными [9]
да11 |
|
з т а |
К |
-соза1 5 |
С^У 212^?!о |
|
|
||
-12 |
-12 |
|||
|
|
|
|
(4.44) |
|
= 1- - |
81П а ! |
- |
соза |
ёх |
|
|||
^12< |
|
-12 |
||
|
|
|||
45
4.6. Перемещения и деформации нитей второго семейства
Установим теперь аналогичные зависимости между перемеще ниями и напряжениями для второго семейства нитей, т е. нитей препрега, расположенных в исходном состоянии параллельно оси Оу . Для этого определим касательную и нормальную составляю щие перемещения точки как это было сделано для семейства нитей
«1». На рис. 4.4 для точек |
М , Р |
VI ^ отмечены их конечные по |
ложения - это точки М 1, Р1 и |
, а также соответствующие ком |
|
поненты перемещений Ы2 , |
^2 . |
|
Компоненты перемещения |
определяют два поля пере |
|
мещений. Первое представляет собой семейство кривых, на кото рых лежат точки, до деформации лежавшие на прямых, параллель ных оси Оу , а второе - семейство ортогональных кривых, перпен дикулярных в точках пересечения с кривыми первого семейства. Причем для любой нити семейства «2» функция «2 представляет собой нормальную составляющую перемещения, а V2 - касатель ную. Для ортогональных кривых - с точностью до наоборот. Отме тим также, что функции « 2 и У2 я в л я ю т с я функциями от двух пе ременных а 2 и X. Это касается и параметра Уо ■Таким образом
1/2 =^2(0.2 ,х),
^2 =1^2(“ 2
То =То(“ 2 .^)-
46
+^2^а2 ,X|со8^а2 + Х2 |
,х |
| |
, |
,, ё а 2
у 2 + а82 С08' |
I 81Па 2 - |
-и2 ^а2 ,X^зхпёа}2 |
+ х2 ^а2 ,х|созёа}2, |
|
||
|
ё а 2 |
|
(4 .4 5 ) |
|
|
« 2 + ё ^ ^ со з |
= - ё х 31П а 2 |
||
+ ^ 2 ^ а 2 , X + ё х I с о з ё а 2 + Х2 ^ а 2 , х + ё х 131П ё а |
|
|||
|
ё а 2 |
- |
|
|
|
У2 - ё ^ ^ 31П |
= ё х с о з а |
|
|
-Ы2 ^а2 ,х + ё х |з1пёа2 + Х2 ^а2 ,х + ё х |с о з ё а 2 . |
|
|||
Д л я н и т е й |
в т о р о г о с е м е й с т в а в е л и ч и н ы |
ё х и ё у 00. |
о п р е д е л я ю т с я |
|
р а в е н с т в а м и |
[9] |
|
|
|
|
ё х = 221^ 2.ё а 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
(4 .4 6 ) |
|
ёУ0 = 2 22^ 2ё а 2 ’ |
|
|
|
гд е |
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 - / |
|
|
|
|
1 -У21 |
|
(4 .4 7 ) |
|
|
|
-21 ^ |
|
|
48
■^22 “ 7 |
Л • |
1 - У 2 2 + ^ -22 У
На основании определения, длину отрезка ф'о можно также представить в виде
^Л = л(а2+ < ^«2 .-^)-7о(а2 |
= |
■ |
|||
Разложим |
функции |
|
^2(“ г ) ’ |
и2^о.2,х +(^х^, |
|
У2^а.2,х +(Ьс^, |
в ряд Тейлора в окрестности точки |
(а 2 ,х). В ре |
|||
зультате подстановки значений для |
и |
|
в (4.45) получим си |
||
стему уравнений, выражающую зависимость между компонентами перемещений и напряжений для нитей второго семейства
^ 2 |
-У2= 2221^2^050.2 , |
^2 ' |
и<2—-^2 ^22^2 ^2 |
|
(4.48) |
^+ У2 + ^ 2 2 , 4 = 4 У22,к1^та2 ,
|
аоо |
ах |
|
|
^ - Н 2 + - ^ ^ 2 1 ^ 2 = -ад °С 0 8 а2 . |
||
|
аао |
ах |
|
Здесь |
у21 и |
У22 “ относительные необратимые удлинения при |
|
сжатии |
и растяжении семейства нитей; Е22 ^ |
Е21 - жесткости на |
|
растяжение и сжатие семейства нитей; 022 |
- растягивающие |
||
49
напряжения, & а 2\ ~ сжимающие напряжения семейства нитеи в
точке |
“ радиус кривизны нити, а |
- радиус кривизны |
|||||
ортогональной кривой |
|
|
в точке |
М ,. |
|
||
|
Решение системы (4 .4 4 ) |
п о л 5Т1и м , |
используя первые два уравне |
||||
ния. При этом оно имеет вид |
|
|
|
||||
|
|
|
аг |
|
|
■■Л2 81п(а2 -а)]<^а |
|
«2 = С2181па2 +С22соза2 + I I с о з а 2 |
|||||||
|
|
|
“ 02 |
|
|
|
(4.49) |
V, |
- 21СОКа2 т |
“ 2 |
, |
|
+^2 |
||
|
=С225Ша2-С21С08а2 + |
| |
[.^22^2 |
“ С^)] |
|||
|
|
|
“ 02 |
|
|
|
|
|
Здесь произвольные постоянные С21 и С22 являются функциями |
||||||
от переменной х . |
|
|
|
|
|
||
|
Из последних двух зфавнений системы (4.48) найдем |
||||||
|
дН2 |
= — |
|
|
1 |
|
|
|
----- |
~ со8а-, н------ |
|
||||
|
дх |
^21^2 |
|
22, |
(4.50) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аУ2 |
^22^2 |
■ |
^2 |
|
|
|
|
|
— . 81П(ЭСо------^ |
|
||||
|
ЙГ |
^21^2 |
|
^21^2 |
|
||
Возьмем частную производную по х от правых и левых частей представлений (4.49). В результате сравнения полученных после дифференцирования равенств с предыдущими найдем
Зс22 |
^22^2 |
СО8СС2 |
т-зша, - |
----------------ах |
?г-'------------------ |
2 , |
|
2 2 , 2 |
22,К^ |
||
—(У |
|
^ОС |
|
“ 02 2 |
|
|
|
- 1 — ( ^ 2 2 - ^ 2 + ^ 2 8 1 П а ) < ^ а + ^ ^ ( 2 2 2 ^ ? 2 + ^ 2 8 1 П а 2 )1 а 2 = а о 2 ’ |
|
дх |
дх |
“ 02 |
|
50