Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч

РЛ1

В каждой точке области деформирования препрег находится в предсдвиговом состоянии и поэтому выполняется равенство [6], [7].

Т12-Т 21СОЗа = т"^.

с }Т1етом этого равенства первый и второй интегралы в выраже­ ниях (4.15) исчезают, поскольку выполняются уравнения равнове­ сия (4.4) и граничные условия (4.10). Таким образом, соотношения (4.15) превращаются в

М 1

Рр ^ \

Сдругой стороны, на основании (4.14) имеем

(4.17)

5^12 = К

Р

Сложив работы (4.16) убеждаемся, что результат равен сумме работ (4.17).

21

Таким образом, имеем

5 4 = 8Щ .

Это означает, что виртуальная работа внешних еил, дейетвующих на еемейство нитей «1», находящееея в равновесии, равна ра­ боте внутренних напряжений на соответствующих виртуальных деформациях. Подставив в предыдущие равенства их значения из (4.11) - (4.13), найдем

(4.18)

Покажем, что из равенства работ (4.18) следуют условия равно­ весия рассматриваемого семейства нитей «1». Для этого подынте­ гральные функции в правой части уравнений представим в виде

^ 12^^12 =*^21^^1,2 ~ { р \ 2 ^ Щ\ 2 “ ^ 12,2^“ 1 .

Воспользовавшись формулой Грина и представлениями выше, уравнение (4.18) предстанет в виде

22

последнего равенства необходимо приравнять нулю подынте­ гральные выражения. В результате получим дифференциальное уравнение равновесия (4.4) и статические граничные условия в напряжениях (4.10). Символ 5 означает, что варьируются только деформации и перемещения. Поэтому его можно вынести за знак интеграла. Тогда, приравнивая сумму работ (4.16) сумме работ (4.17), получаем

Первый интеграл в скобках представляет собой потенциальную энергию деформации, а остальные - потенциал внешних сил. Вели­ чину в квадратных скобках обозначим через П и назовем потенци­ альной энергией деформации семейства нитей «1». Уравнению (4.19) можно придать вид

5П = 0.

Функционал П принимает экстремальное значение. Покажем, что он достигает минимума. С этой целью сравним потенциальную

8щ = о и 6у^= 0 на 5'ц . Поэтому имеем

и ' - и = \ \ Ы [ - щ у р - I (РцУ1+Р12И1)й?5-

(4.20)

23

Разложим работу деформации ^ 1 (211 +58Ц, 812 + 5812 ) в ряд

Тейлора, обрывая этот ряд на величинах второго порядка, в резуль­ тате получим

Учитывая формулы (4.8), имеем

Г1 (11 + 5811,812 + 5812) - )1 ^114^12 ) = ^ 11811 + ^ 12812

Подставим полученные выражения в (4.20) и тогда, с учетом принципа виртуальных работ (4.19), найдем

[

24

Здесь при преобразованиях учитывались равенства (2.28) и (2.31), выражающие зависимости между напряжениями и деформа­ циями. Полученное выражение

П ' - П = ^|Г/?11(5811)ЧЕ12(5812)"'

2 р\-

представляет собой работу деформаций при увеличении их на 88ц

и 8812. Она является положительной величиной, так как положи­

тельна подынтегральная функция. Это гарантирует существование абсолютного минимума для функционала П .

На основании проведенных исследований можно сформулиро­ вать следующее утверждение. Из всех перемещений, удовлетворя­ ющих заданным граничным условиям, только действительные пе­ ремещения, отвечающие состоянию устойчивого равновесия, дают минимальное значение потенциальной энергии.

Остановимся еще на обратной теореме, доказанной выше, кото­ рая гласит: если потенциальная энергия достигает абсолютного ми­ нимума для некоторого поля перемещений, удовлетворяющего гра­ ничным условиям «1 = / 1, VI = /2 на , то это поле должно удо­

влетворять граничным условиям / 11=011 и / 12=012 на 8^ и уравнениям равновесия внутри тела.

Необходимо еще добавить, что все сделатые выводы касаются и нитей семейства «2».

25

4.3. Существование и единственность решения краевых задач для препрегов

Из доказанного в разделе 4.2 и из физических соображений оче­ видно, что препреги под воздействием внешней нагрузки находят­ ся, по крайней мере, в одном равновесном состоянии. Кроме того, математические формулировки задач теории препрегов базируются на фундаментальных физических принципах, поэтому следует ожи­ дать, что выводимые из них соотношения не могут привести к аб- С5ФДНЫМ результатам. Это говорит о существовании решения крае­ вой задачи для препрегов. При этом следует иметь в виду, что при формулировке краевых задач граничные условия не могут быть произвольными функциями в строгом смысле. Действительно, в отличие от твердого тела, напряжения растяжения и сжатия долж­ ны быть напряжениями растяжения нитей в продольном направле­ нии и напряжениями сжатия нитей в поперечном направлении. Это накладывает серьезные ограничения на граничные условия. В про­ тивном случае армирующий материал препрега либо теряет устой­ чивость, либо образуются зоны, свободные от армирующего мате­ риала. В последнем случае поставленную задачу следует пересмот­ реть и учесть граничные условия на контуре этих зон. Таким образом, для строгого доказательства существования решения крае­ вых задач необходимо провести классификацию граничных условий и наложить на них определенные ограничения, позволяющие до­ пускать существование решения краевой задачи. Критерием суще­ ствования решения должна быть положительная определенность напряжений [8]. Вместе с тем эта задача представляет собой одну из труднейших математических задач, решение которой выходит за рамки поставленной цели исследований в настоящей работе.

Остановимся теперь на доказательстве единственности решения краевых задач статики препрегов, если решение существует. Такое доказательство строится на решении, удовлетворяющем как диффе­ ренциальным уравнениям статики, так и граничным условиям зада­ чи. Оно базируется на том, что предположение о неединственности приводит к противоречию. Предположим, имеются два решения:

26

одним и тем же граничным условиям и основным уравнениям (2.28), (2.31), (4.4).

творяют обобщенному закону Гука (2.28) и (2.31) при равенстве нулю неупругих относительных деформаций уу и уравнениям рав­

новесия (4.4). Также компоненты перемещений и компоненты напряжений удовлетворяют нулевым граничным условиям. Кро­ ме того, в силу изотермического процесса деформирования препрегов работу сил трения на соответствующих перемещениях считаем равной нулю. С учетом сделанных замечаний покажем, что внутри препрега исчезают деформации и напряжения. С этой целью рассмотрим работу деформации одного слоя ткани. На ос­ новании (4.5) имеем

Преобразуем выражение (4.21). 5Т1итывая (4.4) и (4.9), получим

27

Воспользовавшись формулой Грина и представлениями выше, (4.21) предстанет в виде

=1^1 + 012^1 + ^ 22^2 +521^2 )й?5' +

2 о

+“ I (^”2^1 + ^2\Щ + ^12^2 + ^12^1281П“ )й?-^ •

2 /7 '

влетворяют нулевым граничным условиям. Второй интеграл в по­ лученном равенстве тоже равен нулю в силу того, что он представ­ ляет работу сил трения на перемещениях й^^ и \у . В таком случае

равенство (4.21) принимает вид

\ Ш Р = 0.

р

Из-за положительной определенности удельной потенциальной энергии упругой деформации и с учетом (2.18) и (2.31) это равен­ ство может быть выполнено только для

ё у = 0 , а,^ .= 0

Отсюда следует

что и доказывает единственность решения краевой задачи.

28

4.4.Решение системы дифференциальных уравнений

Вдальнейшем будем предполагать, что давление р внутри пре-

прега равно нулю. Рассмотрим первые два уравнения системы (4.4). С учетом (2.56) рассматриваемые уравнеьшя приобретают вид

(4.22)

да

Будем искать решение системы в следующем виде

а-^-^=с-^е^, а22=С 2в'^,

где и С2 - параметры, которые не зависят от переменной а ; а параметр \|/ зависит от переменных а , К^, ^?2•

Требуется определить параметры , Сз и у так, чтобы функ­ ции 011,022 удовлетворяли системе уравнений (4.22). Подставляя их в систему (4.22), получим

29

Параметр у представим в виде

да

где к - параметр, не зависящий от переменной а . После под­ становки найденного значения для у система (4.23) преобразу­

ется к виду

Г

К,

^ + ^11 — <^1 +^12 7 ^ <^2=0=

(4.25)

к+ к22 — < ^ 2 + ^ 2 1 ^ П = 0 -

КК

линейных алгебраических уравнений относительно с^ и Сз. Не­ тривиальное решение системы получим только при таких значени­ ях параметра к , при которых определитель системы (3.25) обраща­ ется в нуль. Таким образом ползшим

30