Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч

+^?81па0созао(1-со8м)8ту,

V = 5 8 Ш а о С 0 8 а о С 0 8 У - ( Г о - ^ ? С 0 8 у ) ( 1 - С 0 8 м ) 8 Ш У -

- ( Го С08 V - ^?) 81П а о 8Ш М - 81П^ а о (1- С08 и ) 81П УС08 V,

ж = Го8тао8шм8ту-58шаоС08ао 8ту -(го -^?со8V)x

х ( 1 - С 0 8 м ) с 08У + ^?8Ш ^ а ^ ( 1 - С 0 8 м )8 Ш ^ V.

Отметим, что компоненты перемещений нелинейно зависят от координат 8 , V . При трансформации в поверхность, описываемую уравнением (8.19), векторное уравнение исходной поверхности тру­ бы-заготовки можно аналогично представить в виде

^ =Ро(5') + Л(со8у- 1)уо+/?8ттРо ,

где Ро(-5') описывается соотношением (8.26), являющимся урав­ нением образующей цилиндра при V = О. Тогда

17^ =(1-С08ц)[(^?С08V-1)- Го] + ^?8^пао8^пЦЗ^пV,

11у = 81гш[ Г0 -7?(со8т - 1)]-^созад +^?з^па^(1-сози )зтг,

и ,= о .

На рис. (8.8) представлены графики изменения компонент пере­ мещений 11^ , и у от координаты г , построенные при трансформа­

ции в поверхности (8.1) и (8.19) при Го / = 5, м = 7г / 2,ад = 45°,0° .

231

Представляя векторы в декартовом базисе с помощью формул (8.12), (8.18), (8.25) и учитывая соотношения (8.6), (8.7), (8.17), можно определить искомые коэффициенты а^,Ъ^.

Выбор направления и начала отсчета координаты V в классиче­ ском представлении поверхности трубы (8.1) приводит к тому, что

направление векторов (2,(20 Р^с- (^1)) противоположны общепринятым в теории оболочек, например, [4], [5]. Для устране­

Чо ■’ ^20 = ~Чо ! ^0 ~ “ ^0 • ® этом случае можно воспользоваться известными соотношениями [5], связывающими параметры дефор­ маций углов поворота с компонентами перемещений

233

^2 = -(1 -С08м)^8т^ У^ + 81П^ ад С08^ У^

234

со2 =8таоС08ао(1-со8м)со8У1 -со8ао 8тм8шу^,

^2 = - 81П ад 81П и - С08^ ад (1 - СОЗм)81ПVI - С08V^,

где 1о = Го/ к .

8.5. Оценка варианта приближенного вычисления перемещений точек цилиндрической трубы при её изгибе

Знание конечной формы деформированной поверхности для ва­ рианта теории тонкостенных стержней, основанной на гипотезах плоских сечений и недеформируемости контура сечения (данные условия реализованы при трансформации в рассмотренные поверх­ ности трубы) позволяет оценить погрешности, вносимые в геомет­ рические соотношения предположениями о малости деформаций или углов поворота.

В случае линейной теории, когда деформации и повороты ма­ лы [4], [5],

81 » 82 * ^2, У12 « СО) +С02-

Из анализа соотношений (8.29) следует, что для рассматривае­ мой задачи приемлемые результаты по линейной теории можно по­ лучить только в окрестности сечения и = 0 , что явно недостаточно.

Возведем в квадрат левые и правые части равенства (8.28), а также их почленно перемножим. Тогда

+ 00^+812 ^

(1 + 81)^ =1 + 2 ^1 +

(8.30)

235

81ПУ12 =

(1+ ^1)(1 + ^2)

Знак «минус» учитывает изменение направления вектора 4*^ по

отношению к вектору ^2 Равенства (8.30) справедливы для любых деформаций и углов поворота.

Нетрудно убедиться, что уравнения (8.30) тождественно удовле­ творяются при подстановке в них выражений (8.6) - (8.8), (8.17), (8.29) для малых деформаций и произвольных углов поворота, по­

лагая (1 + 8^)^ «1 + 28^ и пренебрегая деформациями в третьем

уравнении (8.30) по сравнению с единицей, имеем приближенные формулы, аналогичные приведенным в [4]

^1

У12 = - [ 0 + е1)®2 +(1 + 62)®! + ^ 1^2] .

Тогда в варианте (8.31) на основании точных соотношений (8.6), (8.8), (8.20), (8.21) для поверхности (8.1) имеем

2

(8.32)

236

Аналогично для поверхности (8.19) имеем

(8.33)

У[2 «^?К(1 + С08V^).

Оценка погрешности формул (8.32), (8.33) по сравнению с точ­ ными, для различных параметров винтовой поверхности приведе­ ны в таблице 8.1. Расчеты выполнены при трансформации в по­ верхности (8.19), для которой деформации растяжения больше, чем для поверхности (8.1), при V^ = 0 (г = тг), а 8[ и У12 - макси­

мальны (см. рис. 8.2).

Таблица 8.1

Из данных таблицы видно, что максимальная погрешность при определении деформаций 8^ соответствует нулевому кручению

(а 0 = о ), когда кривизна направляющей винтовой линии макси­

мальна. С увеличением параметра значения деформаций и сдвигов снижаются, соответственно снижается и погрешность А .

237

8.6.Нагрузки, обеспечивающие трансформацию заготовки

ввинтовую поверхность

Проанализируем нагрузки, с помощью которых можно осуще­ ствить трансформацию заготовки, которую будем рассматривать как гибкий прямолинейный стержень кольцевого сечения со сред­ ним радиусом К . Стержень закреплен в начале (5 = 0) направля­ ющей линии под углом ад (см. рис. 8.7) и изгибается приложен­

ными на другом конце следующими нагрузками - моментом Т и

силой Р . Распределенные нагрузки отсутствуют. Задача заключа­ ется в определении проекций усилий на оси подвижного базиса для пол}Л1ения требуемой конфигурации стержня.

Уравнение равновесия стержня в проекциях на оси связанной

Д7з +М 2К1 -М 1К2 + а =0. <75

Для моментов имеют место соотношения

М 1 -у4л К1, М 2 -У422К2,

238

вого и второго рода оправки. В первом приближении считаем, что неотвержденные нити, сдвигаясь, не оказывают сопротивления при изгибе оправки.

Для компонент кривизны имеют место следующие соотношения

плоскости нормального сечения стержня.

Для стержня кольцевого сечения в силу симметрии главные оси

Таким образом, для трансформации заготовки в винтовой стер­ жень необходимо приложить на свободном конце стержня следя­ щие изгибающий момент и перерезывающую силу, направленные по бинормали к винтовой линии, и крутящий момент и осевую си­ лу. Для элемента кругового тора (К = 0) достаточно приложить только изгибающий момент.

Литература

1. Мигкевич А.Б. Геометрические соотношения трансформации цилиндрической трубы, выполненной спиральной намоткой, в кри­ волинейный отвод // Механика композит.материалов. - 2009. - Т.45, № 4. - С. 497-506.

2. Мигкевич А.Б. Параметры трансформации цилиндрической спирально армированной трубы в криволинейный трубопровод // Механика композит.материалов. - 2012. - Т.48, № 2. - С. 1-18.

239

3.Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. - М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010. - 560 с.

4.Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Стати­

ка. - М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.

5.Филин А.П. Элементы теории оболочек. - 3-е изд., перераб. и доп. - Л.: Стройиздат.Ленингр.отд-ние, 1987. - 384 с.

6.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

7.Светлицкий В.А. Строительная механика машин. Механика стержней. В 2 т. Т. 1. Статика. - М.: Физматлит, 2009. - 408 с.

240