Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч
.2.pdfКривизна и кручение винтовой линии являются постоянными величинами
к = |
С0 8 а о К = |
зшад сова,о |
(8.17) |
|
Го+Ь^ |
г-о+Ь^ |
|
При ац = О винтовая линия вырождается в окружность, а винто вая поверхность - в круговой тор.
Установим связь между ортами подвижного базиса т , 0 и декартового неподвижного /, к для винтовой линии. Очевидно
т = Р {и)
5'(м)| ’
где
'(м)|:
ёи
Дифференцируя (8.16) и определив, что
ёз |
о |
Р {и) |
соза о |
|
с учетом первых двух уравнений (8.2) получим
I = -созад8ШМ/Ч-созао созму + зта д ^ ,
V = -с о зм /-зт м 7 , |
(8.18) |
Р = з т ад зт м - зт ад сози ] +соз а^к.
На основании (8.18) можно определить известные свойства вин товой линии: вектор главной нормали V пересекает ось винтовой
221
8.2.Пример трансформации цилиндрической трубы
ввинтовую поверхность
Деформации сжатия нежелательны, поэтому рассмотрим, следуя работе [1], другой вариант образования поверхности, когда направ ляющая р(ц) принадлежит самой поверхности.
Запишем векторное уравнение винтовой поверхности трубы в декартовом базисе. Тогда на основании (8.1) с учетом (8.16), (8.18) имеем
г (м,у) = XI + у] + гк ,
где
х = Г()С08и -Ксо8исо8У+К зшад зтмзшу,
|
у = Г()8ти-К81ПдсозV- |
З1падсози з1пV, |
|||
|
|
2 = (гд 1§ад ) д +Ксозад з1пV. |
|
||
При V = О |
|
|
|
|
|
|
х(м) = |
С08М, |
у ( м ) = зтм, г(м) = |
Х%а1^и . |
|
Данная |
линия |
также |
является |
винтовой |
с параметрами |
= Гд |
и углом подъема |
, определяемого из соотношения |
|||
1§а! =
Выберем эту линию в качестве направляющей (рис. 8.3), но с па раметрами Гд и ад . На практике жесткий цилиндр радиусом Гд может служить опорой для изгиба заготовки.
223
У = со8ао1о-8таоРо ,
к = зтаоХо +со§аоРо • |
|
|||
Базис То,V^ ,Р0 |
в свою |
очередь на основании (8.11) |
||
при к = Х = 0 связан с базисом |
|
соотношениями |
|
|
|
■^0 -^10’ |
|
|
|
То =-81ПТг^9п -С08ТИ, |
’ |
(8.24) |
||
|
20 |
'О |
|
|
Ро |
= С08Т?^20 |
|
• |
|
С учетом (8.23), (8.24) также имеем
?10 = созао У +8шао^ ,
^2^ =8тт/ -8шао |
со8у/' +со8ао С08т^, |
(8.25) |
«о = со8тг + 31пао |
з т т ] - созао 8Ш ук . |
|
Вектор перемещения (7(5',т) определяем из выражения
17(5,т) = г (5,т)-;^(5 ,т),
где Го (5,т) = Ро (5) + К С08тто + К 8штРо - векторное уравнение по
верхности заготовки.
Для поверхности трубы (8.1) имеем
С 7 (5 , у ) = р ( . у ) - Р 0 ( 5 ) + ^ ? С 0 8 т ( т ( 5 ) - У о ) + ^ ? 8 Ш т ( р ( 5 ) - Р о ) ,
229
где зфавнение линии центров заготовки можно предетавить в виде (см. рис. 8.7)
Р о(л ')= Го/ + 5с08аоУ + 5 8шаоАг . |
(8.26) |
Компоненты вектора перемещения в проекциях на оси различ ных начальных базисов представим в виде
0 = и ,1 + и у ] + и ,к ,
С^ = 7/,То,+7/^То+7/рРо ,
V= 1/(10+У(20+IVПо
Сз^етом (8.16), (8.18), (8.22) для винтовой поверхности получим
-С 08м) ( 7?С08УГо) + ^?8Шао зш мзш у,
I/у = 81пм( Го - Л с о з у ) - л’созац ч-Лзшац (1 -со8м )зту .
С/,=0,
где
и =-5'созао
Таким образом, точки заготовки смещаются при трансформации
ввинтовую поверхность параллельно плоскости ХОУ .
Спомощью формул преобразования (8.23), (8.24) нетрудно определить компоненты вектора перемещения в других начальных
базисах (см. рис. 8.1). В частности, в базисе ^ю,^20
^ = С 0 8 а о 8 1 Ш /( Г д - 7 ? С 0 5 т ) - 5 С 0 8 ^ а о +
230