Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч

(4.26) на а.2 , ^2, У2 , 5ц , х, У1 , получим уравнения для второго

семейства нитей.

Рассматриваемые тканые материалы имеют свойство неупруго растягиваться и неупруго сжиматься. Тогда под действием растяги­ вающих нагрузок элемент первого семейства нитей с^x^ хёу может

растягиваться в направлении размера <^у и сжиматься в направле­ нии размера (^х^. Неупругие деформации растяжения при этом рав­ ны Уц . Если пренебречь упругими деформациями, то тогда будем

где (25цдлина дуги М 'Р ' . Для дуги М ' ^ \ представляющей со­

причем У1 < У12; У12 - предельное значение неупругих деформаций сжатия семейства нитей в плоскости ткани. Упругими деформация­ ми сжатия пренебрегаем.

Так же зависимости для нитей второго семейства можно полу­

уравнений для решения задач по установлению возможности укладки образцов тканей на выпуклые поверхности с заданными граничными условиями. Анализ этой системы уравнений позволяет сделать следующий важный вывод. В некоторых случаях система (7.4), (7.5) независима от остальных уравнений. В исследованиях ниже приведем пример решения такой задачи.

201

7.3. Укладка квадратного образца ткани на сферическую поверхность

Рассмотрим деформацию нитей первого семейетва. В качеетве объектов изучения деформаций возьмем линии, еовпадающие е ни­ тями семейетв, а также линии, перпендикулярные во веех точках к нитям еемейетв. При деформации первые линии находятея в растя­ нутом состоянии, а вторые - в ежатом в поперечном направлении к ним.

Задача еоетоит в том, чтобы найти хотя бы один из епоеобов укладки образцов ткани на выпуклую поверхноеть. В таком елучае для отыекания законов деформирования зададимея граничными условиями. Пусть каждое из еемейетв нитей при укладке их на вы­ пуклую поверхность деформируется одинаково. Длина каждой ни­ ти, расположенной в любой четверти координатной еиетемы после деформации становится равной 0,5(1 + у^^)а , где а - длина сторо­

ны квадратного образца ткани. Рассматривая деформацию образца ткани в граничных точках, предположим, что здесь отсутствуют сдвигающие деформации. Деформация осуществляетея только за счет поворота нитей между собой. Направление нагружения концов нитей пусть имеет величину равную

где щ , - некоторые поетоянные.

Для угла а^ должны выполняться условия

В таком случае

= (0,5тг)

202

в результате угол Р на границе образца становится равным

Л”1

(7.9)

ставление (7. 9) не только в концевых точках нитей. Пусть для остальных точек такая зависимость представима в виде

В таком случае из (7.4) найдем

Интегрирование предьщущего равенства позволяет найти

Для отыскания неизвестной функции /(x^) обратимся ко вто­

рому уравнению из системы (7.4). В результате с учетом (7.11) получим

203

Подставим эту зависимость в интеграл (7.12) вместо ^г,<70 8ШР[

в этом случае сомножитель 7 позволит исправить ошибку вы­ числения интеграла (7.12). В результате имеем следующую зависимость

(7.13)

Результат вычитания интегралов (7.12) и (7.13) приводит к инте­ гралу, который равен нулю. Применение теоремы о среднем к по­ лученному интегралу позволяет найти функцию 2, которая равна

27?28т^р1

2 =

СО8Р1|(О,5тГ-0')”' *

где 0 < 0 '< 0 ; р; =Ш1(О,5-0')"' .

Путем применения теоремы о среднем к интегралу (7.12) и ис­ пользуя зависимость (7.13) найдем

й (Р1) = 7? 1Ву (р1),

204

где

5ода1«1 (сОзР1)(0,5-6 ')”' ^

V Р1

2К зт^р^

Здесь значение р^ такое же как и при вычислении 7,. Найденные выражения (7.14) позволяют установить зависимость

Можно найти и другие параметры, используя для этого уравне­ ния (7.4) и (7.5). На этом основании (7.10) является решением по­ ставленной задачи с заданными граничными условиями при усло­ вии, что оно единственно. Для доказательства этого факта предпо­

ложим, что имеется два решения р^м р^ , такие, что они отличаются друг от друга во всех точках, кроме граничных, в которых

Оба эти решения должны удовлетворять второму зфавнению из

рого решения р^; пределы интегрирования совпадают, поскольку на границе выполняются (7.16).

205

Произведя вычитание правых и левых частей предыдущих ра­ венств, найдем

Воспользуемся свойством определённого интеграла (теорема о среднем) для непрерывной функции / (х ), которое иллюстрируется в виде следующей зависимости [6]

ь

|/ ( х ) Л = ( й - а ) /( с ) , а<с<Ь.

а

в случае равенства нулю интеграла следует равенство нулю функции /( х ) в точке с . На этом основании равенство нулю

подынтегральной функции интеграла (7.17) приводит к следующей зависимости

Равенство (7.18) выполняется в точке Эд для любых 0д, причем

-4< 6 оо < 0 о < -2.

В таком случае в силу непрерывности подынтегральной функции интеграла (7.17) равенство (7.18) справедливо для всех бд из про­ межутка

4 ° 2

206

Возведя в квадрат обе части равенства (7.18) и применяя к полу­ ченному равенству обратную теорему о среднем, получим

Обратимся теперь ко второму уравнению системы (7.7). Посту­ пая аналогичным образом, как и при выводе (7.18) найдем

При выводе равенства (7.20) также предполагалось, что пределы интегрирования в интегралах совпадают, поскольку на границе об­ разца, где = 0,5а , выполняется равенство (7.16).

Аналогично (7.19), из (7.20) найдем

к последнему равенству применим теорему о среднем. В резуль­

тате в некоторой точке Од =0д , где 0,25тг<Оо <0д, имеет место следующее равенство

207

Полученное равенство эквивалентно следующей зависимости

единственность решения (7.10) доказана.

Так как деформация нитей на границе происходит только за счет поворота нитей, то в граничных точках образца должна выполнять­ ся следующая зависимость

т = 12

8ша

где ё1 - длина границы образца; а - угол между нитями семейств в рассматриваемой точке границы. В условиях симметрии граница / образца совпадает с линией, которую образует крайняя нить вто­ рого семейства нитей. В таком случае длина границы / и длина ни­ тей второго семейства равны между собой. Это условие с учетом (7.5) эквивалентно следующей зависимости

208

7.4. Практическая реализация предложенного способа укладки квадратного образца ткани на сферическую поверхность

Рассмотрим один из вариантов практической реализации пред­ ложенного способа укладки образца ткани на сферическую поверх­ ность. Пусть квадратный образец ткани имеет технологический припуск. Этот припуск заворачивается вокруг бечевки, образуя пет­ лю. Край петли прошивается. Подготовленный таким образом обра­ зец ткани укладывается на поверхность сферы путем натяжения бе­ чевки под углом Рю , который составляет направление усилия при натяжении концов бечевки с диагональю образца. В данном случае угол Рю подлежит определению.

При натяжении бечевки сопротивление этому процессу оказы­ вают нити второго семейства, которые в исходном состоянии пер­ пендикулярны бечевке. Деформация образца этот угол меняет. Из­ менение угла между нитями второго семейства и бечевкой приво­ дит к сжатию нитей в перпендикулярном к ним направлении. Кроме того, такой поворот нитей приводит к изменению размеров элемен­ тарной ячейки ткани. Одна диагональ этой ячейки увеличивается, а другая уменьшается. Такая трансформация способствует укладке образца ткани на сферическую поверхность. Напомним, что образец будет уложен на поверхность сферы без екладок, еели вее его нити после трансформации находятся в натянутом состоянии.

Сделаем одно ограничение на деформацию образца ткани, не влияющее на результат процесса укладки: предполагаем еимметричность нагружения всех четырех бечевок. В этих условиях пред­ положим также, что не все нити находятся в натянутом состоянии. Учитывая это и сделанное допущение, можно констатировать, что существует интервал на границе образца, на котором все нити вто­ рого семейства не находятся в натянутом состоянии. Пусть границы этого интервала принадлежат внутренним точкам границы образца. Таким образом, на этом интервале отсутствует взаимодействие между нитями и бечевкой. Бечевка в любом случае натянута. По­ этому она должна лежать на поверхности сферы, занимая кратчай­ шее расстояние между граничными точками интервала, т.е. нахо­ диться на окружности большого диаметра. Такой же интервал, со­

209

стоящий из ненатянутых нитеи, имеется и на противоположной стороне образца. На нем тоже можно построить окружность боль­ шого диаметра. В результате имеем две окружности. Их плоскости находятся под некоторым углом друг к другу, концы ненатянутых нитей находятся на этих окружностях. Поэтому у последней натя­ нутой нити, лежащей ближе к угловой точке, расстояние между ее концами имеет значение, меньшее по сравнению с другими нитями из рассматриваемого интервала. Эта нить также занимает положе­ ние на окружности большого диаметра. В противном случае она должна быть больше длины дуги окружности большого диаметра и не быть плоской. Тогда неплоской будет и следующая за ней нена­ тянутая нить. Однако такая трансформация может произойти только под действием натяжения. В результате последняя натянутая нить не может быть последней. Следовательно, рассматриваемая нить, чтобы быть ненатянутой, в любом случае должна быть длиннее. Получили противоречие, так как у образца все нити в исходном со­ стоянии имеют одинаковую длину. Отсюда сделанное допущение о существовании внутреннего интервала на границе образца, где нити ненатянуты, неверно. Если такой интервал расположен на краю гра­ ницы образца, то его можно ликвидировать путем изменения угла Рю, уменьшая его. Таким образом, указанный способ укладки об­

разцов ткани с использованием бечевки осуществляет это без складок и его можно использовать для практического применения. Экспери­ ментальная проверка подтверждает результаты исследований [7].

Более простой способ закрепления бечевки по краю образца предусматривает прошивание ею ткани простым обметочным пря­ молинейным швом. На рис. 7.3 показано расположение образца ткани на сферической поверхности при его укладке таким спосо­ бом. Укладка осуществлялась путем натяжения концов бечевки под

углом Рю = (0,25тг)”' с диагональю образца.

210