Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч

вании выбранных направлений выпуклости и вогнутости, ука­ занных на рис. 4.2, мы находимся в условиях

Силовые факторы в равенствах (4.2) всегда положительны и за­ висят от соответствующих напряжений. Предполагаем предсдвиговое состояние. Тогда зависимости этих силовых факторов от напряжений выражаются следующим образом

— с^^^/го

^2 ~ ‘^22^ ^^2 ’

^^2 - 22^0 ^^2 >

Т-1 - С?21^0^2^^^2

=й?СТ21/го

(4.3)

Г^2= ^ 12^0-^1й?а1

й?Г_2 =

12

-^21 “

^22 —'^12^2^^2^^^2>

11

_ пр

42 “ ^21 сова = X

12

_ пр ‘^21 —“^12 С08СС —Т'^21

Знаки плюс или минус выбраны из условия того, что силы и со­ ответствующие напряжения имеют одинаковые направления. Две последние зависимости представляют собой условия предсдвигового состояния. Подставим эти значения силовых факторов в равен­ ство (4.2). После несложных преобразований получим

рассматриваемой зоны выреза. В других зонах знаки для с1а^ и с1а2 могут быть другими. Всего существует четыре разных варианта. Од­ нако выбор знаков для с1а^ и с1а2 не повлияет на вид уравнений (4.4).

4.2. Расчет потенциальной энергии деформации препрегов

Когда происходит плоская деформация препрегов, между слоями ткани отсутствует сдвиг, поэтому при рассмотрении напряженнодеформированного состояния можно обойтись только одним слоем ткани [6]. Пусть в какой-то точке ткани в результате деформации угол между семействами нитей стал равным а . Вырежем неболь-

12

шой ромбик из ткани с длиной стороны а и гранями перпендику­

результате непрерывного нарастания, и промежуточные значения

стадии сила, приложенная, например, к нитям семейства «1» и рас­ тягивающая их будет равна к к ^ ^ а < з , а упругое перемещение этих нитей в направлении С7| у при увеличении к до к + с1к будет

равно аг^^йк, так что полная работа, произведенная силами в направлении ^, в конечном итоге будет равна

Сжатие вырезанного тела в направлении напряжения Оц экви­ валентно сжатию параллелепипеда размером Н^хаха З1па . Такая сжимающая сила будет равна ЙойСТц А: , а упругое перемещение со­ ответствующей поверхности параллелепипеда в направлении Оц выражается зависимостью авцзтаб/А:. Таким образом, работа, произведенная силой йдастц в направлении Стц , будет равна

1 / 2

—1%а ацБцЗша.

13

Аналогичные выражения можно получить и относительно дру­ гих направлений. Сложим их вместе и разделим на объем вырезан­

Необходимо отметить, что конечная величина накопленной энер­ гии независима от характера нагружения и линейное выражение нагрузки в данном случае выбрано лишь для простоты расчета.

Выражение для удельной потенциальной энергии может быть представлено в другой форме. Используя выражения (2.3) и (2.14), можно получить

Таким образом, удельная потенциальная энергия деформации является положительно определенной величиной.

Рассмотрим теперь первое семейство нитей в отдельности от второго. Их взаимодействие заменим касательными силами тре­ ния т^2 и Т21. Вырежем из этого слоя параллелепипед высотой

1% и основанием размером а х а , где а - достаточно малая ве­ личина. Пусть грани параллелепипеда перпендикулярны к глав­

деформаций Вц, 8^2 достигнуты в результате непрерывного нарастания, поэтому промежуточные значения напряжений и упругих относительных деформаций соответственно равны к<з^[,

кс5^2, ^В[[, Аг8^2 . На этом основании промежуточные значения сил трения становятся равными Агт^2 и кх2^. Тогда, так же как

14

и в предыдущем случае, работы, произведенные силами в

Определим работу, совершаемую силами трения. Учтем, что в

^Х218т а . Рассмотрим на расстоянии ^ от края плоскости а х а , в

направлении которого действует сила Хц -Х21С08а , полосу шири­

ной (II:. Тогда сила Ла(т12 -Т 21С0за)<^? совершит работу равную а^г^(хц-Х21 соза)8цб/А:б/г^. Полная работа, произведенная силой

трения (х|2 -Т 21 соза) в направлении Оц, в конечном состоянии будет равна

а\ ^

^^а^(x^2-Т 21 соза)8[[СЙ:с/г = —(т^2~'^2\ соза)8цС

-------- *

Сложив их вместе и разделив на объем параллелепипеда а , пол>'чим удельную потещиальную энергию деформации первого семейства нитей

15

Выражение для Щ следует рассматривать в пределе, когда

й —> О. Устремляя размер а параллелепипеда к нулю, получим

При выводе формул (4.6) и (4.7) предполагалось, что нагрузки, приложенные к препрегу, возрастают очень медленно от нулевых до своих окончательных значений и остаются в этом конечном со­ стоянии без изменений. Допускалось, что тепло, выделяемое в про­ цессе этого медленного деформирования, отводится так, что термо­ динамический процесс можно считать изотермическим. Исключает­ ся возникновение источников тепла и нагревание поверхности. В частности, тепло, вырабатываемое силами трения, выводится полностью в окружающую среду. На этом основании объясняется отсутствие влияния сил трения на удельные потенциальные энергии деформации семейств нитей. Другими словами, работу сил трения на соответствующих перемещениях при выводе энергетических за­ висимостей для физической системы следует полагать равной нулю.

Очевидно, удельная потенциальная энергия деформации препрега должна быть равна сумме удельных потенциальных энергий де­ формаций семейства нитей «1» и семейства нитей «2». Суммируя

Будем рассматривать потенциальную энергию деформации пер­ вого семейства нитей в цилиндрических координатах (а;,7^).

16

Между деформациями и перемещениями существует связь, которая называется соотношениями Коши в цилиндрических координатах

В случае невыполнения последних зависимостей (геометриче­ ски нелинейная теория упругости) следует в соотношениях (4.9) ввести квадраты слагаемых от компонент деформации. Впрочем, судить об этом следует по величине деформаций, представляющих левую часть соотношений (4.9). Для тканей гладкого переплетения

величины 8ц и 8ц достаточно малы и поэтому выражения (4.9)

, следствием которых являются виртуальные деформации 58ц и

58ц. Предполагаем, что вариации 5М[ и 5У[ достаточно малы и не влияют на равновесие внешних сил и внутренних напряжений, и совместимы с условиями закрепления на границах. Это означает, что они кинематически допустимые функции, т е. 5м^ =0 и 5V^ = 0

на 8^ (на границе заданы перемещения, а на границе 8^ - напряжения).

Предположение об абсолютной гибкости нитей позволяет сде­ лать вывод о том, что на границе области нити совпадают по направлению с внешней растягивающей силой и перпендикулярны сжимающей силе. Таким образом, граничные условия имеют вид

17

Считаем массовые силы отсутствующими. Тогда работа поверх­ ностных сил на виртуальных перемещениях выражается следую­ щим образом

векторов; Х12 и Х21 ~ силы трения, распределенные по поверхности

которой заданы поверхностные внешние силы (граничные условия). Если соответствующие векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. С учетом этого условия вир­ туальные работы преобразуются к виду

Здесь во втором интеграле взят знак «-», так как сока < О. Это доказано при выводе формулы (4.1).

Аналогично виртуальные работы внутренних сил определяются как работы действительных внутренних напряжений на возможных деформациях

18

С з^етом зависимостей (4.9) справедливы равенства

5 (е ц - У ц ) = б811 = - ^ 5 у ц + - ^ ,

(4.14)

5812 “ ^^1,2 !

где выражения 5у1д и ^Щ 2 определяются из

В дальнейшем все преобразования будем проводить для работ 5^11 и 5^ 11, так как для остальных работ проводимые преобразова­ ния не имеют принципиальных отличий. Покажем, что если семей­ ство нитей находится в равновесии, то следует равенство работ 5^1

изменяется, то рассматриваемый интеграл преобразуется в криво­ линейный интеграл по кривой . Причем

I I Стц дV^С^^ = /?о I <^11бV1С08(«,х)й!х: .

19

Воспользуемся формулой Грина

^= -^ [о 1, 5у, С08(п,1)] = С08(и,х)(а[, 6у,)_, ^

В таком случае рассматриваемый интеграл на основании форму­ лы Грина будет равен

Воспользуемся равенством

(стц5у1)1 = а ц 15У1+ац5уц

и подставим полученные преобразования в (4.12), применяя их только к добавленному интегралу. В результате найдем

Р V^1

(4.15)

1 (^11-'^11)5V1Й?^+/%^^5V1д^К

р

20