Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч

геометрическую и силовую симметрии, будем считать, что нити семейств после изгиба цилиндрической оболочки занимают поло­ жение на геодезических линиях.

Рассмотрим трансформацию двух идентичных цилиндрических оболочек в торовую. Положим, что одна оболочка изготовлена из препрега, а у второй материал обладает упругими свойствами. Ука­ занное исследование пригодится с целью определения перемещения точек А и В нити АВ (см. рис. 5.1) в оболочке из препрега при ее изгибе. Под действием внешней нагрузки получим две идентичные по форме и размеру торовые оболочки. В силу геометрической и силовой симметрий верхняя и нижняя образующие обеих оболочек деформируются одинаково. Точки А и В нити АВ в обоих случаях получают одинаковые перемещения. Следовательно, для нахожде­ ния перемещений точек А и В достаточно вычислить их переме­ щения для упругой цилиндрической оболочки. Для этого восполь­ зуемся зависимостью (5.1).

Из соображений силовой и геометрической симметрий (изделия

иприложенной нагрузки) можно принять, в сл}^ае упругих тел, ги­ потезу плоских сечений: сечения плоские и нормальные к оси ци­ линдрической оболочки из препрега до изгиба, остаются плоскими

инормальными к изогнутой оси оболочки после изгиба. Пользуясь

этой гипотезой, закон изменения удлинений по высоте у (ось О у ,

см. рис. 5.1) устанавливается в следующем виде: ФилоненкоБородич [8]

Уд - координата нейтрального слоя. Линия АВ представляет собой полувиток спирали, вдоль которой расположена рассматриваемая нить. В точке А у = - К , а в точке В у = К.

111

? (>’-> ’о)^с1;§(ро

= I = I б/е. К зшфо

Здесь с учетом задания параметрического уравнения винтовой линии в виде

где расположена исследуемая нить А В ; м® - удлинение нити А В ,

вызванное растягивающими усилиями; м® - укорочение нити А В ,

вызванное сжимающими усилиями; Ь - длина нити А В ; б'о - дли­ на части нити АС, отсчитываемая от точки А до некоторой точки

Снити А В , в которой у = Уо . Подставляя (5.2) в (5.3), получим

Здесь Е - модуль упругости нити при растяжении; К - радиус кривизны нейтрального слоя; ад - напряжение растяжения в нити, установленное при намотке цилиндрической оболочки.

Установим напряженно-деформированное состояние нити в ре­ зультате ее трансформации из положения на цилиндрической обо­ лочке в соответствующее положение наторовой оболочке. Считаем нити в препреге абсолютно гибкими. Это означает, что они облада­ ют следующими свойствами [9 - 13]: нити работают только на рас­

113

тяжение (отсутствие изгибной жесткости приводит к потере уетойчивости при появлении ежимающих уеилий в направлении по каса­ тельной к нити); уеилие, растягивающее нити, веегда направлено по касательной к нитям (вытекает из уеловия равенетва нулю изгиба­ ющего момента в любом еечении нити). Таким образом, в нитях, лежащих на торовой оболочке, не должно быть ежимающих в каеательном направлении к ним напряжений. Это одно из условий для качественного изготовления торовых оболочек. Нити могут ежиматься только в поперечном направлении к ним. Однако такое ежатие тоже не может быть беепредельным. При таком сжатии должны осуществляться только неупругие деформации. Упругие деформа­ ции могут привеети к потере уетойчивоети армирующего материа­ ла, в результате чего етрадает качеетво изготовленного изделия.

В итоге имеем следующую поетановку задачи. Растянутая нить

равную половине длины витка епирали, подверглась нагрузке, ко­ торая переместила ее концы на расетояния, определяемые равенетвами (5.5). При этом перемещениям внутренних точек нити пре­ пятствуют силы трения, которые направлены по касательной к ни­ тям. Силами трения в перпендикулярном направлении к нитям пренебрегаем. Необходимо определить напряжения в этой нити по­ сле установления равновесия.

Следует подчеркнуть, что сделанные допущения (особенно пре­ небрежение еилами трения, действующие в перпендикулярном направлении к нитям) позволяют снизить величину напряжений в нитях. Эти енижения незначительны, однако имеют меето. В то же время, еели вернутьея к первоначальным уеловиям задачи, то для нас является более важным тот факт, что в точке А должны быть только раетягивающие напряжения, так как ежимающие могут при­ вести к потере уетойчивоети. Такое положение являетея одним из условий для качественного изготовления торовой оболочки. В та­ ком случае, еели приближенное решение удовлетворяет этому кри­ терию, то точное решение тоже будет удовлетворять. В этом смыеле нахождение приближенного решения может облегчить решение первоначально поетавленной задачи.

114

Силовые факторы в равенствах всегда положительны (нити мо­ гут только растягиваться, а движение всех точек нити осуществля­ ется только в одну сторону) и зависят от соответствующих напря­ жений. Причем зависимости этих силовых факторов от напряжений выражаются следующим образом

: <ЗИ]Ь,

ёТ = (1<зИф

(И^ = хЬ(Лз.

Здесь т - предельное значение удельной силы трения, малейшее увеличение которой приводит к сдвигу нити. Подставим эти выра­ жения в равенства (5.6). Тогда, с учетом того, что <^V|^ - малая вели­ чина, ползшим

^8

(5.7)

а = М /2,

Дифференциальные уравнения (5.7) решаются совместно с крае­ выми условиями

Очевидно, здесь требуется согласование напряжений и перемеще­ ний, так как дифференциальное уравнение задано в напряжениях, а краевые условия - в перемещениях. Это легко сделать, поскольку перемещение и и деформация е связаны зависимостью

116

Для семейств нитей, выполненных из стеклянных волокон, мож­ но воспользоваться законом Гука

Таким образом, полученное дифференциальное уравнение (5.11) с учетом краевых условий (5.8) дает возможность найти решение поставленной задачи. Однако для нахождения такого решения необходимо установить функциональную зависимость для сил тре­ ния от напряжения в нитях и давления между слоями ткани. Отме­ тим также, что уравнения (5.7) и (5.11) можно использовать для ре­ шения задач, в постановке которых применяются такие понятия как сдвиг со смещением или сдвиг без смещения (упругий сдвиг). Пер­ вые задачи относятся к препрегам, а вторые используются при по­ становке их для твердых упругих тел. Как в одном, так и в другом случаях, окончательное решение формируется путем установления способа нахождения сил сопротивления.

5.3.Исследование напряженного состояния

вармирующем материале препрегов с учетом количественной оценки сил трения

По-прежнему предполагаем симметричное расположение арми­ рующего материала препрега на гибкой оправке. В таком сл}шае при ее трансформации в торовую в тканях гладкого переплетения выполняется условие = СТ22 . Таким образом, предельная сила трения в любом случае может зависеть только от напряжений рас­ тяжения для рассматриваемого семейства нитей и от давления р , ,

117

оказываемого на них другими семействами нитей. Обобщая сказан­ ное, предельная сила внутреннего трения может быть представлена в виде [16] - [18]

Здесь а, - напряжения растяжения в нитях рассматриваемого

намоткой нитью. В зависимости от способа армирования препрегов все остальные коэффициенты установлены и определены при вы­ воде силы трения в виде зависимостей (2.56), (2.57), (2.62).

Воспользуемся зависимостью (5.12) для подстановки значения в уравнение (5.11) вместо силы трения т и последующего решения этого уравнения. Однако, пока что это невозможно, так как неизвестна величина давления . Вместе с тем отметим,

что при намотке армирующего материала на цилиндрическую оправку и при последующем превращении ее в торовую, такое давление является контактным, которое возникает в результате воздействия натянутых нитей на выпуклую криволинейную по­ верхность. При этом максимальное давление представляет собой суммарную величину контактных давлений каждого слоя намо­ танного армирующего материала.

Очевидно, что при таких условиях контактное давление слоя ни­

в рассматриваемой точке, которую образует нить семейства.

118

в любой касательной плоскости к гладкой поверхности суще­ ствуют два перпендикулярных между собой направления и /2 та­ кие, что нормальную кривизну в произвольном направлении I мож­ но представить с помощью так называемой формулы Эйлера [19]

называются главными кривизнами, а /1 и /2 - главными направле­

ниями поверхности. В нашем случае направление /1совпадает с окружностью, которая параллельна образующей линии, а направ­ ление /2 - это окружность перпендикулярного сечения тора. В та­ ком случае

щий материал, намотанный на цилиндрическую оболочку, с ее обра­ зующей; - изменение угла Фо (рис. 5.1) при изгибе цилиндриче­ ской оболочки. Угол , конечно, можно определить в обобщенном

виде напрямую, пользуясь приемами, разработанными в аналитиче­ ской и дифференциальной геометриях. Однако такое решение пред­ ставляет только теоретический интерес. Поступим проще, будем ис­ кать решение, руководствуясь следующими свойствами угла \|/.

1. Представим процесс изгиба цилиндрической оболочки в виде чистого изгиба и равномерного растяжения или сжатия. При растя­

119

ляет собой окружность радиуса К -у^^ а нейтральная линия -

окружность радиуса К . Таким образом, относительная деформация срединной линии определяется равенством (см. формулу (5.1))

8 = - Ж

к

Величина 8 также представляет собой равномерное относитель­ ное растяжение оболочки, если <0, а. если Уо ^ ^ ? то величина 8 является той долей деформации оболочки при изгибе, которая отвечает за ее равномерное сжатие. При этом нетрудно убедиться, что имеет место зависимость

С 0 8 (ф о + \ | / 1) = (1 + 8 ) с 0 5 ф о .

Отсюда найдем, что

2. При чистом изгибе система координат располагается на нейтральной поверхности, которая в таком сл5Ч1ае является и сре­ динной поверхностью. Верхняя часть цилиндрической оболочки растягивается в осевом направлении, а нижняя - сжимается сим­ метрично. Таким образом, следует ожидать, что угол Ц>2 (Уг - из­ менение угла \|/ за счет чистого изгиба) положителен в области растяжения, а в области сжатия он отрицателен. Из условия сим­ метрии он должен быть равным нулю в точке пересечеьшя нити с нейтральной поверхностью.

3. Первоначально, на цилиндрической поверхности нити распо­ лагаются вдоль геодезических линий. При изгибе геодезические линии остаются геодезическими. Кроме того, касательные к геоде­ зическим линиям имеют постоянное значение угла с касательными к линиям главных кривизн [20]. На этом основании угол фг = ^ .

120