Механика препрегов - расчет изделий из армированных композиционных материалов. В 2 ч. Ч
.1.pdf= /1 А О В -^ О В ; 8^2 - деформация сдвига в осях 1 , 2 (измене
ние прямого угла АВС после деформации); 8^2 = /1А'В'С' - /А ВС . Определим деформации линейных элементов:
-деформация нитей
1
-деформации координатных линий а , р
ОА' |
, |
|
^3 = |
ОВ' , |
|
=------- |
Ц |
^ |
--------В |
й |
|
^ О А |
|
О |
|
||
-деформация в направлении перпендикулярном нитям
ВС |
' |
ВС |
Здесь поперечная деформация |
соответствует направлению, |
|
перпендикулярному деформированному положению нити. Дефор
мация |
представляет деформацию первого семейства нитей в |
перпендикулярном направлении к ним.
Установим соотношения между введенными деформациями. Из АОАВ найдем, что
ОА =й?/о С08фд^.
Тогда на основании предыдущего равенства получим
ОА' = ОА{\ + г^) = (й^{1 + г^)со%а^1^ ■
271
Из АО'Л'О следует
О'А' = ОА'С088^р = ^10(1+ 8^ )С08фО)1^ С088^р
В результате из АО'А'В' найдем
|
(1) О'А' |
|
С088,, |
|
(1+ 8а) с08Фо1^ : ’Ь„р |
||
|
С08Ф ’ =----- |
= --------------- |
1 + 8(1)---------- - |
|
|
|
|
|
. |
(1) |
О'В' |
|
81ПФ ^ = |
----- |
|
где |
О'В' = О'О + ОВ'. |
|
|
Из |
АО'А'О найдем, что |
|
|
|
О'О = ОА' 81П8ар = ^/0 (1+ 8а )С08фО1) 81П8ар |
||
Из |
АОАВ определим |
|
|
ОВ = й1081пфО1) .
Тогда
ОВ' = ОВ(1+ 8р) = В10(1 + 8р) 81пфО1) .
Окончательно имеем
. |
( 1) |
( 1 + |
8р ) 8^ПФо1) + ( 1 + |
8 а ) С08Фо1) 81 |
81П |
Ф ’ = |
^ |
^ -------------------------------- |
'(1) |
|
|
|
1 + 8 |
(3.60)
(3.61)
272
Возведем в квадрат каждое из выражений (3.60) и (3.61) и сло жим. Получим
(1 + I = (1+ |
со8^ |
+ (1+ |
)(1 + 8р)8ш2ф[,^) |
|
|
|
(3.62) |
|
/ |
• 2 |
(1) |
Х 5 Ш 8 ^ р + (1 + 8 р ] 8Ш |
(ру. |
||
Рассмотрим А АВС . Очевидно
,(1) ВС =й?/д С1§ф5 ^.
Тогда найдем
5'С' = б//о(1 + 8(2^)с1§ф},^).
Для прямоугольного АВВ"С справедливо соотношение
{В'С')^ ={В'В”)^ +{В”С')^,
(3.63)
где
В'В" =О'А' =с//о (1 + 8„ )с 0 8 ф |,^ ) С 0 8 8 ар-
Рассмотрим треугольники ВВС и В 'В 'С . Точка О зафиксиро вана. Поэтому при деформации она остается на месте. Это было ис пользовано при предыдущих исследованиях. Величины (И и сИ^ выбраны достаточно малыми, и поэтому можно считать, что отно сительные деформации осей ОВ и АС одинаковы. В таком слу чае должны выполняться соотношения
ОВ' |
В 'С |
|
||
ОВ |
|
—1+ 8о. |
|
|
ВС |
|
|||
В свою очередь |
|
|
|
|
|
(й.о |
2 |
(1) |
|
ОС = АС -О В = |
Л/ • (1) Л7 |
‘РО |
||
• |
(1) |
- г//о 81Пф^о ^ = г//о------ |
|
|
|
81Пф^' |
81Пф^' |
||
273
Тогда
|
|
|
2 |
(1) |
|
В'С' = |
|
С08 ф0 ^ |
|
|
( 1 + 8р ) — |
|
||
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
81П ф0 |
|
Из АО В'С' можно записать |
|
|
||
|
В С' = В'С' - |
В'В", |
|
|
где В 'В' = О'О = |
(1+ 8^ )С08ф01) 81П8^р. |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
( 1 + 8 р ) С0 8 " ф01) |
) |
(1) . |
|
В С ' = (В . |
----------- ^ |
-------------( 1 + 8 а ) |
С08 Фо 81П8 ар |
|
|
|
(1) |
|
|
81П фО^
Подставляя найденные выражения в формулу (3.63) после пре образований получим
(1 + 8 21)) = (1 + 8а)2 81п 2 фо1) - (1 + 8а )(1 + 8р)^
(3.64)
X 81П 2ф 01) 81П8 а р + (1 + 8 р ^ С 082 фО1^.
Выведем формулу для деформации 8 " 1) . По определению
1 + 8 2 1 ) = Е |
С |
21 |
В С ’ |
откуда
ВС = ЕС'
( 1) '
1 + 8 21
274
С другой стороны
ВС = В'С
( ! ) •
1 + 8 2
Тогда
1 + 8 2 1^ “( 1 I+1 8+ 28^2 ) 1 С -
Из прямоугольного АВЕС имеем
Е С |
(1) |
------ = |
С 0 8 8 1 2 . |
В ' С ' |
12 |
Тогда
(3.65)
1 + 821) = (1 + 821)) С088(2) .
Чтобы получить выражение для деформации 8(2) , рассмотрим
А А В'С'. По определению
|
8(12) =А АВ'С'-% /2 . |
|
Тогда |
|
|
008А А В |
' С ' =008(8 (2) + л /2) = - 8^п8 (2) . |
|
По теореме косинусов |
|
|
С08 А А'В'С' = |
- 8 .П 8 (2' = |
2 + (В2 > 2 - (А' С )2 |
|
12 |
2В1(В'С' ) |
где А 'С ' = А 'О' + О 'С' . С учетом ранее выведенных зависимостей
275
в 'С =(1+8^2 ^) Б С , й с |
= й'/о |
, |
|
2 |
(1) |
АЪ'=ОВ\ |
|
В'С'=^/о(1 + Вр)— |
, |
||
|
(1) |
’ |
|
ОВ' = (1 + Вр )ОВ, |
ОВ =(И^ 51П ф(^), |
||
получим |
|
|
2 ( 1) -|2 |
|
|
|
|
|
|
|
СОЗ Фо |
(1+8®!) - ( 1 + 8^2) с1§^Фо^- (1 + 8р)зтф[)'Ч(1 + 8р)— |
|||
(1)У_ ------------------------ |
•- |
|
зтсро |
2(1+8('*)(1+8®)с1ёф[)'^
После преобразований найдем
(1+ Ер )^ - (1 + 8а СОЗф® з1п ф® +(1+ 8р)(1 + ) з1п 8 „р СОЗ2ф® (3.66)
(1 + 8®1(1 + 8®)
Выражения (3.60) - (3.62), (3.34) - (3.60) полностью соответ ствуют полученным соотношениям в работе [19].
Расчетные формулы для второго семейства нитей можно полу-
|
|
|
|
|
„ |
(1) |
(1) |
(1) |
(1) (1) |
, |
чить из найденных соотношении заменой |
8 ] % |
^, 8^2 |
, в^(; Фо |
|||||||
(1) |
(2) |
(2) |
(2) |
(2) / (2)\ |
I (2)\ |
|
|
|
||
ф^ ^ на |
8[ % |
8^% |
в]2 |
, |
^2 1 -’ (“ Фо I’ |
(“ ф^ |
I’ соответственно, |
|||
сохраняя обозначения для деформаций |
8^^, |
8р,в^^р |
(из условия |
|||||||
совместности). Тогда получим |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(2) |
(1 + 8„)с08ф[,^)с088„р |
|
|
|
|
|||
|
СОЗф'- |
^ = |
|
1+ 8(2) |
|
|
|
(3.67) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
276
8Ш ф.'(2), |
(1 + |
Бр ^ 8тср [,^ ' - (1+ |
|
) С08ф[,^' 8Ш 8,ар |
|
(3.68) |
||||||||||
|
|
|
|
1 + в Р |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(1 + 8<^>) |
= (1+ 8„ |
СОЗ^ |
- (1 + 8„) (1 + 8р) > |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.69) |
|
|
|
хзт2ф^^^ 81П8„р + (1 + 8ру |
81П^ ф|)^) ; |
|
|
||||||||||
|
(1+ 4 ^^) |
= |
(1+ |
у81П^ ф[,^) + |
(1+ 8 „ ) (1+ 8р ); |
(3.70) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81П |
81П 8 ( ^ р + |
(1+ 8 р |
) |
|
2 .п(2) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
С 08^ ф[,' |
|
|
|||||||||
8 Ш 8 |
(2) |
|
|
|
|
|
(1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
I |
|
(1 |
+ |
2 а ) ^ - |
2 р |
|
81П |
|
С 0 8 |
+ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 8 р ) I (1+ 8^/^ I^ |
(3.71) |
|||
+ (1 + 2 а ) (1 + 2р ) 8Ш 8^ р С08 2ф[)^) I |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
^1 + 8^^^) “ (^ ■'■^2^^ |с |
|
(2) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 8 8 12 |
|
|
|
|
||||||
Десять |
независимых |
зфавнений |
(3.61), |
(3.62), |
(3.64) - |
(3.66), |
||||||||||
(3.68) |
- (3.72) связывают 13 параметров; |
ф^^^, ф^^4 8|^4 |
г^, |
|||||||||||||
8 р, 8 (^р, |
(1) |
, |
|
(2) |
(1) |
(2) |
(1) |
|
(2) |
„ |
|
|
|
|||
8 2 |
|
^2 |
, в}2 , в}2 |
, В21 |
, |
821 |
• В таком случае три пара |
|||||||||
метра должны быть либо заданы, либо получены из дополнитель ных условий.
277
3.12. Моделирование деформаций из нерастяжимых нитей
Так как деформации вдоль направлений армирования весьма малы (менее 2 %), то логично принять гипотезу о нерастяжимости нитей.
Получим систему разрешающих уравнений с учетом гипотезы о нерастяжимости нитей. Вычтем из уравнения (3.62) уравнение
(3.69), полагая в них |
8^^= |
0. Тогда после преобразований |
получим |
|
|
2 |
/ |
\ 2 |
( 1 + 8 а ) |
- ( 1 + В р ) |
|
81П8^р = |
|
(3.73) |
2(1 + ^а)(1 + ^р)
Подставляя полученный результат в любое из уравнений (3.62), (3.69) найдем
(1+ е „ )'- 1 |
(1) |
(2) |
С08 ф5 ' |
С08 ф5 ’ + |
( 1 + 8 р ) - 1 8Шф[)^^8тф[,^^ =0. (3.74
)
Рассмотрим |
вариант |
ортогональной ткани, для |
которой |
|
Фо ^ + Фо^^ = 71 / 2. Тогда из (3.73) и (3.74) найдем |
|
|||
|
|
.(1) ( 1 + 8 р ) |
- ( 1 + 8 о^ ) |
|
81П8^р =С1§2ф^ |
|
(3.75) |
||
|
|
2(1 + ^а)(1 + ^р) |
||
|
(1+ ^а) |
+(1 + ^р) |
“ 2- |
(3.76) |
|
|
|||
Уравнение |
(3.76) в осях а и р |
представляет собой уравне |
||
ние окружности с центром, координаты которого (-1,-1), и ра
диусом лЯ .
278
в случае если исходная ткань неортогональная, то зфавнение (3.74) представляет собой зфавнение эллипса с центром с координа тами (-1,-1)
0 |
+ ^а)^ I + |
(3.77) |
где |
|
|
+ |
|
=1 + с1§ф5,'*с1§ф[,^^ |
Такие ткани относятся к классу биаксиальных.
Рассмотрим вариант биаксиальной симметричной ткани с углами
т’ |
(1) |
(2) |
- Фо и |
на основании соотноше |
армирования +фо . 1 огда Фо |
- Фо |
|||
ния (3.73) ползшим, что |
=0 . Данный результат является след |
|||
ствием симметрии ткани. Соответственно |
|
|||
|
1 |
^ |
1 |
(3.78) |
а =--------; |
о = ------ |
|||
С08 фо |
81П фо |
|
||
Рассмотрим уравнения (3.64) и (3.70) для поперечных деформа
ций ткани г2 ■ |
|
|
||
В |
случае |
|
ортогонального |
расположения нитей, полагая |
(2) |
, |
(1) |
|
|
Фд |
= 71 / 2 - ф5 |
' и складывая почленно уравнения, получим следу |
||
ющий инвариант, не зависящий от угла армирования |
||||
|
|
|
(1+ 5?^) +(1 + 4^^) |
=(1 + еа)^+(1 + 5 р )4 |
Это соотношение с учетом уравнения (3.76) удовлетворяется в случае, если
8(2^=б(/)=0. (3.79)
279
Полученный результат вполне объясним физически, и являет ся следствием ортогонального армирования и гипотезы о нерастяжимости.
Для биаксиальных симметричных тканей
Д1)_Л2)_ |
52- |
^2 “ ^2 |
Так как 81П8 ^р = о , то из любого изуравнений (3.64), (3.70) получим
(1 + 82)^ =(1 + 8^)^зт^Фо +(1 + 8р)^со8^фо. |
(3.80) |
В отличие от ортогонального армирования в биаксиальных тка нях деформации 8 2 не равны нулю.
Для определения 8^2 рассмотрим уравнения (3.66) и (3.71). Для
нерастяжимых нитей ортогонального армирования примем в этих уравнениях
8 « = 8 р )= 8 (')= 8 И = 0 .
Складывая почленно полученные соотношения, получим
8т8|2^ + 81П8|2^ = 0 ,
ИЛИ
^12 “ ^12 |
^12 • |
Таким образом, сдвиговые деформации 8^2 первого и второго семейства нитей равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Подставим в уравнение (3.66) и (3.71) выражение длязте^рв форме (3.17). Тогда после преобразований с учетом (3.79) получим
280