Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5274 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Механика жидкости и газа. В 4 ч. Ч. 2

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
24.11.2025
Размер:
2.15 Mб
Скачать
☆

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра гидравлики

И.В. Качанов В.В. Кулебякин В.К. Недбальский

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Курс лекций

В4 частях

Ча с т ь 2

Минск

БНТУ

2011

УДК 532.5 – 533.6 ББК 30.123я7

К 30

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор В.И. Байков, доктор физико-математических наук В.А. Бабенко

Качанов, И.В.

К 30 Механика жидкости и газа: курс лекций: в 4 ч. / И.В. Качанов, В.В. Кулебякин, В.К. Недбальский. – Минск: БНТУ, 2011. – Ч. 2. – 44 с.

ISBN 978-985-525-511-7 (Ч. 2).

Издание содержит изложение основных разделов механики жидкости и газа в объеме курса лекций, предусмотренных учебным планом для строительных специальностей БНТУ. Может быть использовано в самостоятельной работе студентов, для подготовки к экзаменам и зачетам, при проведении лабораторных работ и практических занятий, окажет большую помощь студентам других специальностей, изучающим гидравлику.

Часть 1 настоящего издания вышла в 2010 г. в БНТУ.

УДК 532.5 – 533.6 ББК 30.123я7

ISBN 978-985-525-511-7

(Ч. 2)

Качанов И.В.,

ISBN 978-985-525-261-1

 

Кулебякин В.В.,

Недбальский В.К., 2011

БНТУ, 2011

 

1. ДВИЖЕНИЕ ДЕФОРМИРУЕМОЙ

 

 

ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ

 

Движение жидкой частицы является более сложным, чем в

случае твердого тела, которое, как известно из механики, мо-

жет складываться из поступательного движения полюса и

вращательного движения тела относительно этого полюса.

Особенностью частиц жидкости, как уже неоднократно отме-

чалось, является текучесть, т. е. легкая их деформируемость

под действием самых ничтожных сил. Поэтому, помимо по-

ступательного и вращательного жидкая частица может участ-

вовать также в деформационном движении. Это положение и

составляет суть так называемой первой теоремы Гельмгольца,

к рассмотрению которой мы приступаем. Важнейшим досто-

инством приводимых ниже выкладок и рассуждений, доста-

точно простых, но требующих внимания, является то, что они

раскрывают физический смысл и вносят ясность в ряд каза-

лось бы совершенно абстрактных понятий.

z

y

 

Рассмотрим жидкую частицу в

 

x

 

форме прямоугольного паралле-

 

 

 

лепипеда (рис. 1.1). Длина его

 

dz

 

ребер dx, dy, dz. Деформация та-

 

 

кой жидкой частицы может быть

 

dx

dy

 

как линейной (ребра удлиняются

 

 

 

 

Рис. 1.1

 

и укорачиваются), так и угловой

(возникает перекос граней). Наиболее удобно рассматривать

каждый из этих видов деформаций раздельно.

Угловые деформации

Из рис. 1.1 следует, что угловая деформация (перекос граней и углов между ними) может возникнуть из-за разности скоростей, перпендикулярных ребрам. Для упрощения ограничим рассмотрение лишь одной гранью, показанной на рис. 1.2.

3

y

B

B

C

 

 

d

 

 

dy

 

D

 

 

 

 

 

 

d

 

A

dx

D

 

 

 

x

 

 

Рис. 1.2

 

Пусть компоненты скорости в точке A равны ux , u y , uz . Найдем скорости в точке B, считая, что движение установившееся и, следовательно, все производные по времени равны нулю. Приращение компоненты скорости при переходе из одной точки пространства в дру-

гую можно представить как u + du. Так, для проекции ux можем записать ux dux , где, очевидно, что

dux

ux dx

ux dy

ux dz .

 

x

y

z

Аналогичные выражения можно записать и для других проекций.

Рассмотрим приращение ux при переходе от точки A к точке B. В этом случае dx dz 0 , т. е.

ux( B)

ux( A)

dux ux( A)

 

ux dy .

 

 

 

 

y

Предположим, что за время dt из-за разности скоростей в точках A и B ребро займет положение AB'.

Аналогично рассуждая относительно компоненты скорости u y в точках A и D, получим:

точка A: u y (по условию);

точка D: uy( D)

uy( A)

 

uy dx .

 

 

 

x

В связи с разностью этих скоростей точка D займет позицию D'. Таким образом, получим

4

ux( B)

uy( D)

ux( A)

uy( A)

ux dy ;

y

uy dx .

x

Путь, который проходит точка B за время dt, попадая в положение B', определяет величину перекоса, которую можно найти как

BB ux dydt .

y

Угловая деформация характеризуется тангенсом угла d :

tg d BB ux dt d AB y

(при этом считаем, что AB dy ).

Вследствие малости угла d можно принять, что tg d d . Аналогично рассуждая, можно записать, что

tg d DD uy dt d . AD x

Полный перекос первоначально прямого угла A соответственно определится как сумма:

 

u

x

u

 

 

(1.1)

d d

 

 

y dt .

 

y

x

 

 

 

 

 

5

 

Здесь следует обратить внимание на одно весьма суще-

ственное обстоятельство, а именно: рассматриваемое переме-

щение ребер вызвано не только деформацией, но и вращением

частицы. Действительно, если бы грань только деформирова-

лась без вращения, то ребра повернулись бы на одинаковый

угол навстречу друг другу. Наоборот, в случае если бы проис-

ходило только вращение, ребра поворачивались бы на одина-

ковый угол в направлении вращения. Таким образом, в общем

y

d

случае движение жидкого элемента

можно рассматривать как сумму де-

d

 

 

формационного и вращательного дви-

 

d

жений и таким образом определить

 

d и d . Рассмотрим деформацию

 

 

 

d d

прямого угла A, считая, что враще-

 

ние происходит против часовой стрел-

 

d

ки. Чисто деформационное движение

 

x

будем характеризовать углами d , а

 

Рис. 1.3

чисто вращательное d

 

(рис. 1.3).

 

 

 

 

Из рис. 1.3 следует, что

 

 

 

d d d и

d d d

т. е.

d d 2d ,

откуда

d 12 d d .

Вычитая, получим

d 12 d d .

6

Таким образом приходим к выводу, что деформация характеризуется полусуммой углов, а вращение – их полуразностью. В соответствии с соотношением (1.1) можно записать:

 

1

 

u

 

u

 

 

d

 

 

 

x

 

y dt.

 

 

 

 

2

 

y

x

 

 

 

 

Таким образом получим скорость угловой деформации, происходящей вокруг оси z:

 

 

 

d

 

1

 

u

 

u

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

x

 

y .

 

 

 

 

 

 

dt

 

2

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

И по аналогии относительно других осей:

 

y

 

1

 

u

x

u

 

 

 

 

 

 

 

z ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

x

 

 

 

 

 

 

1

 

u

 

u

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

z

 

y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению,

d

есть угловая скорость вращения

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жидкой частицы. Проекции угловых скоростей при этом определятся из формул

 

 

 

 

1

 

u

 

u

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

z

 

y

;

(1.2)

 

 

 

 

 

 

2

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1

 

u

x

u

 

 

 

 

 

 

 

 

z ;

(1.3)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

u

y

u

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

x .

(1.4)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Соотношения (1.2)–(1.4) играют исключительно важную роль в механике жидкости и газа. Они устанавливают связь между угловой и поступательной скоростями деформируемой жидкой частицы. Вопрос о знаках – это вопрос выбора. В гидромеханике поворот против часовой стрелки обычно считается положительным, по часовой – отрицательным.

В векторной форме выражение для угловой скорости может быть записано как

ex x ey y ez z .

Заменяя x ,

y

и z

 

их выражениями из (1.2)–(1.4), полу-

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

u

 

 

u

y

 

 

 

 

u

 

u

 

 

 

u

y

u

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

z

 

 

e

y

 

 

x

 

z

e

 

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

y

 

z

 

 

 

 

z

x

 

 

x

y

 

 

Учитывая соотношения векторной алгебры (применительно к вектору скорости жидкой частицы), можем записать

 

1

rot

 

 

(1.5)

u

2

 

 

 

 

 

 

либо

 

 

 

 

 

 

rot

 

2 .

(1.6)

u

Формула (1.6) раскрывает гидромеханический смысл вихря (ротора) векторного поля скоростей. Если u характеризует поле мгновенных скоростей, то векторное поле rot u представляет собой поле удвоенных угловых скоростей частиц жидкости этого поля.

8

Линейные деформации

Очевидно, что линейные деформации жидкой частицы могут возникнуть в результате различия скоростей в точках, совпадающих с направлением ее ребер. Как и ранее полагаем компоненты скорости в точке A равными ux , u y , uz .

 

 

Вдоль оси x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка A:

ux( A)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точка D:

ux( D)

 

 

ux( A)

 

ux dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

B

 

C

 

 

Разность скоростей, вызываю-

 

 

 

 

щая удлинение ребра AD (рис. 1.4):

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

x dx . Удлинение частицы

DD"

 

 

 

 

 

 

 

D''

за время dt

 

 

 

 

A

 

D

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.4

 

 

 

 

 

DD"

ux dxdt.

(1.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

Относительное удлинение

DD" ux dt d x.

AD x

Скорость относительного удлинения

d x ux x. dt x

Аналогичные выражения можно получить для других осей:

y

uy ;

z

uz .

 

y

 

z

9

Если процесс происходит одновременно вдоль всех осей, то это приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Таким образом, объемная деформация сводится к изменению первоначального объема параллелепипеда dV dxdydz на

величину V Vx Vy Vz за счет растяжения либо сжатия ребер. При этом

Vx DD"dydz ,

и с учетом (1.7)

Vx ux dV dt .

x

К аналогичным выводам можно прийти, рассматривая изменения по другим осям координат:

V

y

uy dV dt

и V uz dV dt .

 

y

 

 

 

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

x

u

y

u

 

 

 

V

 

 

 

z dV dt .

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

Скоростью относительной объемной деформации назовем отношение изменения объема к его первоначальному объему

и времени, за которое это изменение произошло, т. е.

V

 

ux

uy

uz

div

 

.

u

 

z

dV dt

 

x

y

 

 

 

Если div u 0 , то это означает, что V 0 , т. е. деформация жидкой частицы происходит без изменения ее объема. В

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности