Механика жидкости и газа (кинематика жидкости, одномерное течение газа)

1,4. Найти уравнение семейства линий тока для плоского течения, заданного в задаче 1.3.

Решение. Найдем проекции поля скоростей

Для построения линий тока определим функцию тока данного течения

ду дх

dvj/ = — d v + — d y = 8(_ydx- + xdу) ~ 8d(xy).

дх ду

После интегрирования имеем у = Ъху + с'. Уравнение линий тока полу-

чают путем придания функции тока различных постоянных значений. Следовательно, общий вид этих уравнений будет

20

1.5. При каком значении коэффициента а возможны течения несжимаемой жидкости со следующими проекциями поля

ди ди

удовлетворяться уравнение неразрывности — - + —— = 0.

дх ду

Впервом случае а + а = 0, если а = 0. Следовательно, их = 0,

щ= 0, т. е. движение отсутствует.

ловие выполняется при любом значении коэффициента а. Чтобы определить характер течения, воспользуемся соот-

ношениями (1.8), при которых (Од = coy = 0. т. е. течение потенциально

21

Эквипотенциальные линии - равнобокие гиперболы (асимптоты - биссектрисы углов между координатными осями). Линии тока также равнобокие гиперболы (асимптоты _ осей координат).

Форму линий тока (при а > 0) находим, проводя кривые, которые пересекают эквипотенциальные линии под прямым углом (рис. 1.3).

9 '

Рис. 1.3. Линии тока и эквипотенциальные линии для потока при их = 2ах и иу = -lay

1.6. Аналитическим сложением плоских источника и стока с расходами Q = бтг м2/с и прямолинейно-поступательного потока жидкости со скоростью Do= 5 м/с, параллельной оси абсцисс, определить форму результирующего потоку и его скорость в точках с координатами х\ ~=у\ =0,2 и х2 =у2=] м. Расстояние между источником и стоком, расположенной на оси абсцисс симметрично относительно начала координат^ а ~ 1 м (рис. 1.4).

Решение. Для определения формы результирующего потока найдем его функцию тока, суммируя функции тока источ-

22

Рис.1.4. Диполь

Функция тока результирующего потока

Для определения линий тока приравняем функцию тоКа у постоянной величине, при а = 1 м

откуда

Определим форму нулевой линии тока (с = 0)

23

Одно из решений этого уравнения у « о (ось абсцисс). Пользуясь известной тригонометрической формулой

1 + tgatgp

видоизменим уравнение нулевой линии тока:

откуда

При малых углах tga « а, поэтому при у = о

x = ± J j + 0 , 2 5 м=+0,922 м .

Другие точки этой линии тока получим, задав различные значения у.

Для остальных линий тока

24

Из рис. 1.5 следует, что результирующий поток состоит из потока, обтекающего овальный цилиндр (овал Ранкина) и внутреннего потока от источника к стоку. Компоненты скорости результирующего потока найдем по известной функции тока

Рис. 1-5. Схема обтекания овального цилиндра:

О - расчетные точки; © - точки, соответствующие решениям

Дифференцируя, получаем

25

1.7. Графическим сложением плоских источника и стока с расходами Q = 6л м2/с и прямолинейно-поступательного потока жидкости со скоростью ц> = 5 м/с, параллельной оси абсцисс, определить форму результирующего потока и его скорость в точках с координатами х\ ~ у\ = 0,2 и хг = yi = 1 м. Расстояние между источником и стоком, расположенными на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, а - 1м (рис. 1.4).

Решение. Начнем со сложения источника и стока. Для этого проведем несколько линий тока, соблюдая условие

Л0„ = Д6СТ - const, т, е. линии тока источника и стока (прямые лучи, исходящие из источника и стока) должны быть проведены па одинаковом угловом расстоянии друг от друга.

друг от друга.

Построив линии тока источника и стока в каждом из четырехугольников, образованных пересечением линий тока, проведем диагональ, являющуюся одновременно вектором скорости и приближенно отрезком линии тока результирующего течения (рис. 1.6).

26

Рис. 1.6. Схема графического сложения скоростей

Последовательности этих отрезков соответствуют линиям тока результирующего потока, представляющим собой окружности, проходящие через источник и сток. Далее пересечем iix линиями тока прямолинейно-поступательного потока, проведенными на расстоянии Ду друг от друга, и проведем диагонали четырехугольников, образованные пересечением линий тока результирующего потока с линиями тока прямо- линейно-поступательного потока. При сложении источника, стока и прямолинейно-поступательного потока получим течение вокруг- и внутри овального цилиндра.

На рис. 1.7 построение приведено только для верхней по- ловины рисунка, причем те участки линий тока, которые не могли быть получены непосредственно из построения, изображены штриховыми линиями. Для нахождения скорости результирующего потока в заданных точках х\=у\- 0,2 м, ~ - у2 = 1 м рассмотрим ближайшие к ним диагонали четырехугольников, полученных при построении. Длины диагоналей, в соответствующем масштабе, равны искомым скоростям. Для

угольника (эта величина соответствует скорости прямолиней- но-поступательного потока о0-- 5 м/с).

27

Рис. 1.7. Линии тока от сложения источника, стока и прямолинейно-поступательного потока:

• - точки, соответствующие решениям

Таким образом, для заданных точек получаем

2

что достаточно близко к результатам, полученным аналитически для тех же данных в задаче 1.6.

1.8. Выяснить, какие из движений жидкости, компоненты скоростей которых приведены ниже, являются вихревыми.

Для вихревых движений построить зависимость <ог = / ( у ) :

28

Решение. Для выяснения характера движения воспользуемся выражениями (1.6)

т. е. движение вихревое.

Зависимость со2 = /(у) для этого и других случаев приведена на рис. 1.8.

—

.е.е

„ у

. Л*

Рис. 1.8. Зависимости со. = / ( у ) для движений, заданных в задаче 1,8

29