Методы решения олимпиадных задач по высшей математике

1

x 1

1

x

1

7.1.

а)

Вычислим

e

x x

dx

u e

x , du 1

e

x dx

x2

dv dx,

v x

xe

1

1

x

1

x

1

C;

x

x

e dx. Тогда

1 x

x

e

x dx xe

x

б)

1

xn

ln

xn 1

C (замена xn t );

n

33 x4 1 4

в)

1

6

3

г)

C;

C;

4 x 3 4

5 x 3 5

2 x 3 6

16

1

2

502

10 x

2

501

д)

x

10

10

C;

2

502

501

е)

1ln

x7

C (замена x7

1 t );

x7 1

7

1arctgx3

1 x4

1 x

2

x

4

x

2

ж) arctgx

C

;

3

1 x

6

1 x

6

ln ln x 1

з)

C (замена ln x t, интегрирование по частям).

ln x

1 2

n 1 2

a

2

1

a

... a

n

1;

7.2. а) lim

n

a x 2 dx a2

a

n

n

0

3

1

2

3

б)

lim

sin

sin

sinxdx 2;

sin

n

n

n

... sin

n n

0

1

1

1

1

1

1

1

в)

lim

...

lim

1

n 1

n 2

2n 1

1

1 n

1

2 n

n n

n n

...

1

1

dx

ln2;

1 n 1

n

0 x 1

1

1

xk dx

при k 1;

k 1

0

2

1

2

4

2

2

6

3

2

2n

n 2

д)

lim

e n

e n

e n

...

2

e n

2

n

2

n

2

n

n

n

1

2

2

2

3 2

n

2

1

2

1 2

4

6

2n

x

2

lim

e

n

e

n

e

n

...

e

n

2xe

e

1;

n n

n

n

n

n

0

е)

lim

1 cos

2

1

8

1

8

2

...

1

8n 2

n

n

n

n

n

2

lim 2sin

2

1 8

1 8 2

...

1 8n

n

n

n

n

n

lim

2

2

1

8

1

8 2

...

1

8n

2

n

n

n

n

n

2 2 lim

1 8

1

1 8 2

... 1

1 8n

2

1

n

n

n

n

n

n

n

1

2

1

8x

3

2

2

2

2 2

2 2

2

10

27 1 2

1 8xdx

2

169

.

0

12

144

18

7.3. Пусть радиус основания стакана равен R, высота – H.

Сечения получившегося тела (цилиндриче-

ского клина) плоскостями, перпендикулярными

диаметру дна, являются подобными друг другу

треугольниками. Его объем получается инте-

грированием площадей этих сечений:

S х

1

R2 x2

H R2 x2

H R2 x2

.

Ох

2

R

2R

Тогда искомый объем равен

V

H

R

R2 x2 dx

2HR2,

что составляет

х

2

2R R

3

объема всего стакана.

3

7.4. Для первого слагаемого

2

ctg2nxdx

2

1

ctgx

2n 2

1

dx

2

x

sin

4

4

ctgx

2n

1

2

2n 2

2

2n 2

2

2n 2

ctgx

d ctgx ctgx

dx

2

ctgx

dx

2n 1