Методы решения олимпиадных задач по высшей математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 3»

Е. И. Федорако

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Пособие для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций»,

1-70 02 01 «Промышленное и гражданское строительство», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью», 1-70 03 01 «Автомобильные дороги», 1-70 03 02 «Мосты, транспортные тоннели и метрополитены»,

1-70 04 01 «Водохозяйственное строительство», 1-70 04 02 «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна», 1-70 04 03 «Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов»,

1-70 07 01 «Строительство тепловых и атомных электростанций»

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области строительства и архитектуры

Минск

БНТУ

2018

1

УДК 51(075.8) ББК 22.1я7 Ф33

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра «Высшая математика» Полоцкого государственного университета (заведующий кафедрой, кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Козлов);

доцент кафедры «Общая математика и информатика» Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук,

доцент А. А. Самодуров

Федорако, Е. И.

Ф33 Методы решения олимпиадных задач по высшей математике : пособие для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 01 «Промышленное и гражданское строительство», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью», 1-70 03 01 «Автомобильные дороги», 1-70 03 02 «Мосты, транспортные тоннели и метрополитены», 1-70 04 01 «Водохозяйственное строительство», 1-70 04 02 «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна», 1-70 04 03 «Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов», 1-70 07 01 «Строительство тепловых и атомных электростанций» / Е. И. Федорако. –

Минск: БНТУ, 2018. – 46 с. ISBN 978-985-583-220-2.

Пособие предназначено для преподавателей, осуществляющих подготовку студентов к участию в предметных олимпиадах по высшей математике, а также для самостоятельной работы студентов, желающих изучать дисциплину «Математика» на повышенном уровне.

2

3

1.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1.Решить системы уравнений ai R :

1.2. Найти все целочисленные решения систем:

4

1.4. Решить матричное уравнение AXB AX E, где

ная матрица размера 2×2.

1.7. Вычислить определители:

где α и β – корни уравнения x2 px q 0.

1.8. Построить график функции

5

6

1.11. Числа 53 295, 67 507, 88 825, 81 719 и 39 083 кратны 3553.

1.12. Две квадратные матрицы А и В порядка п п удовлетво-

ряют следующим равенствам: 4А2 12А+ 9Е = 0; 9В2 + 6В + Е = 0,

где Е – единичная.

а) Доказать, что матрицы А и В – невырождены.

б) Доказать, что матрица 6А 1В 1 9А 1 2В 1 3Е – невырождена. 1.13. Найти порядок определителя, при котором уравнение

7

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Найти площадь треугольника, если середина стороны АС лежит на оси Оу, а середина ВС – в плоскости Oxz.

2.9. При каком существует вектор a, удовлетворяющий усло-

виям: a i 2 j k 3, a j i 2k i j k . Найти a.

2.10. Известно, что a b c 2, a b c 0.

а) Доказать, что среди векторов a, b и c нет ни одной пары коллинеарных.

8

б) Найти A a, b b, c c, a .

сотой, опущенной из вершины С.

2.14. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм. Плоскость β отсекает от трех боковых ребер SA, SB и SC соот-

ветственно 13, 14 и 15 (считая от вершины S). Какую часть она

отсекает от ребра SD?

2.15. Дан тетраэдр. Известно, что две пары его непересекающихся ребер перпендикулярны. Доказать, что для третьей пары это так-

2.18. Средствами векторной алгебры доказать неравенства:

а) a1a2 b1b2 c1c2 2 a12 b12 c12 a22 b22 c22 для любых

a1, a2, b1, b2, c1, c2 R;

б) ma nb c 2, если m2 n2 a2 b2 c2 1; в) ab bc ca a2 b2 c2.

2.19. Дан правильный треугольник АВС со стороной 1. Найти

значение выражения AB BC BC CA CA AB.

9

3.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3.1.Эллипс задан уравнением

дина стороны АС лежит на прямой 2х 0у z 31, а середина сторо-

ны ВС – на плоскости 3x 4y z 2. Найти площадь АВС.

3.3. Треугольник АВС, где А 1; 1; 2 , В 0; 0; 2 , С 4; 4; 2

проектируется на некоторую плоскость в отрезок длины. Записать уравнение этой плоскости, зная, что она проходит через точку

М0 1;1;1 .

3.4.Дана окружность единичного радиуса, ОА – фиксированный

диаметр, В – произвольная точка окружности, BA BM , точка М

лежит на продолжении хорды ОВ за точку В. Написать уравнение геометрического места точек М, когда В пробегает верхнюю полуокружность.

3.5. Найдите координаты центра и радиус шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоско-

стью 3x 4y 12z 96 0.

3.6. Доказать, что все треугольники, образованные асимптотами гиперболы и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь. Выразите эту площадь через полуоси гиперболы.

10